安徽省安庆市2016届高三下学期第二次模拟考试-数学文.doc

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2016年安庆市高三模拟考试（二模）
数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．

4.如图所示的算法框图中，是自然对数的底数，则输出的的值为（参考数值：）（ ）
A． B． C． D．

5.双曲线（，）的一条渐近线方程为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6.已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A． B． C． D．

8.已知函数是定义在上的偶函数，当时，为减函数，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．里 B．里 C．里 D．里
10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，

11.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设等差数列的前项和为，若，则 ．
14.若，满足约束条件，，则的取值范围是 ．
15.某学校高二年级共有女生人，现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介于分钟到分钟之间，右图是统计结果的频率分布直方图，则她们的平均运动时间大约是 分钟．

16.已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为，过点的直线与圆切于点，则的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分12分）已知，．
（I）求的最小正周期；
（II）在中，，，若的最大值为，求的面积．

18.（本题满分12分）随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减．卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有个猴宝宝降生，其中个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有个猴宝宝降生，其中个是“二孩”宝宝．
（I）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取个宝宝做健康咨询．
①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？
②若从个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率；
（II）根据以上数据，能否有%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？

19.（本题满分12分）
如图，圆柱中，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，，点、在圆上，且，且，．
（I）求证：平面平面；
（II）若与底面所成角为，求几何体的体积．

20.（本题满分12分）已知圆的圆心是椭圆（）的右焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆相切．
（I）求椭圆的方程；
（II）椭圆上有两点、，、斜率之积为，求的值．

21.（本题满分12分）已知函数，．
（I）讨论函数的单调性；
（II）若函数的两个零点为，，且，求证：．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，以的边为直径作，与边的交点恰为边的中点，过点作于点．
（I）求证：是的切线；
（II）若，求的值．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）．
（I）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（II）若直线与曲线有唯一的公共点，求角的大小．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数，其中．
（I）当时，解不等式；
（II）若对于任意实数，恒有成立，求的取值范围．

2016年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题(文科)参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
A
D
A
B
D
B
C
B
C
D
1.D.解析：.选D.
2.D.解析：由题意知.选D.
3.A.解析：由可得，故三角形为钝角三角形，反之不成立.选A.
4.D.解析：由得，而，则输出的的值为8.
5.A.解析：由已知，，选A.
6.B.解析：由有，则,选B.
7.D.解析：由三视图可知，该几何体为底面直径为3，高为4的圆柱与它的外接球组成的几何体，球的直径为5，所以表面积为25，选D.

9.C. 解析：记每天走的路程里数为，易知是公比的等比数列，，，选 C.
10.B.解析：由图象可知，，所以，故.
由，得（）. ∵ ∴
所以. 由（），得（）.
或：，所以，，，
所以的单增区间是（）.
11.C.解析：设边的中点为
，选C.
12.D.解析：结合函数图像可知，答案为D，选D.

二、填空题
题号
13
14
15
16
答案
16
[-3,2]
56.5
3
13.16.解析：由有，得，
故.
14.[-3,2].解析：作图易知在点处取最大值2，在点处取最小值-3.
15.56.5.解析：平均数为
35×0.1+45×0.1+55×0.5+65×0.2+75×0.05+85×0.05=56.5
16.3.解析：.
由抛物线的定义知：为点到准线的距离，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，.
三、解答题
17．解析:
……… 4分
(I) ……… 6分
(II) 为 的内角，且，
又是的最大值，
………… 9分
在中，由余弦定理得
………… 12分

18．解析：（Ⅰ）(1)由分层抽样知在市第一医院出生的宝宝有个,其中一孩宝宝有2个. ………… 2分
(2) 在抽取7个宝宝中,市一院出生的一孩宝宝2人,分别记为,二孩宝宝2人,分别记为,妇幼保健院出生的一孩宝宝2人,分别记为,二孩宝宝1人,记为,从7人中抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件空间为 … 5分
用表示：“两个宝宝恰出生不同医院且均属二孩”，则
………… 7分
（Ⅱ）列联表

一孩
二孩
合计
第一医院
20
20
40
妇幼保健院
20
10
30
合 计
40
30
70
………… 9分
，故没有85％的把握认为一孩、二孩宝宝的出生与医院有关. ………… 12分

19．解析：（Ⅰ）由已知，，,且，故
平面，所以平面平面. ………… 5分
（Ⅱ）因垂直于底面，若与底面所成角为，则，故,
则四棱锥的高为，又，；三棱锥的高为1，而中，，，所以，则，所以几何体的体积为. ………… 12分
20．解析：(Ⅰ) 圆
圆心坐标为，
过椭圆：的左焦点和上顶点的直线的斜率显然大于0，可设直线的方程为：
，因为直线与圆相切，又
直线的方程为：， …… 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，有，，
由、斜率之积为可得，

………… 12分
21．解析：（Ⅰ）函数，的定义域为
在上单调增；
在上单调增；
在上单调减. ………… 5分
（Ⅱ）

令，令，则

令，令，则
在上单调增， … 12分

选做题
22．解析：（Ⅰ）如图，连接.
因为是的中点，是的中点，
所以 //.
因为，所以，
所以是⊙的切线. ………… 5分
（Ⅱ）因为是⊙的直径，点在⊙上，所以.
又是的中点，所以 .故.
因为，所以.在直角三角形中，；
在直角三角形中，.
于是 ………… 10分

23.解析：（Ⅰ）当时，直线的普通方程为；
当时，直线的普通方程为. ………… 2分
由，得，
所以，即为曲线的直角坐标方程. ………… 4分
（Ⅱ）把，代入，整理得.
由 ，得，所以或，
故直线倾斜角为或. ………… 10分
24．解析：（Ⅰ）时，就是
当时，，得，不成立；
当时，，得，所以；
当时，，即，恒成立，所以.
综上可知，不等式的解集是. …………5分
(Ⅱ) 因为，
所以的最大值为.
对于任意实数，恒有成立等价于.
当时，，得；
当时，，，不成立.
综上，所求的取值范围是. ………… 10分

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