高等数学二模拟题（开卷）.doc

中国地质大学（北京）继续教育学院 2012年09课程考试
《高等数学二》模拟题（开卷）
一．填空题
1．设 则 ___0____ , __1_____．
2．已知, 则 _______．
3. 设，则 ．
4．改变积分次序后，I=____________．
5. 设L是圆周：, 则曲线积分 =________．
6. =____2____, 其中.
7．若级数收敛，则 1 ．
8．幂级数的收敛区间是 (-1,1) ．
9．=(1，-5，8)，=(-1，-1，4)，则= 6 ．
10．函数的间断点是 ．
11．改变积分次序后，I=____________．
12. 设L是圆周：, 则曲线积分 =________．
13．若级数收敛，则 ．
14．幂级数的收敛区间是 (-1,1) ．

二．单项选择题
1．函数的定义域是（ A ）。
A． B．
C． D．
2．下列与向量垂直的平面方程是（ C ）。
A B
C D 都不对
3．将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分，则（ D ）。
A． B．
C． D．
4． 若是平面内一闭区域的正向边界曲线，则曲线积分等于二重积分（ B ）。
A． B．
C． D．
5．函数在点处连续是函数在该点处可导的（ D ）。
A．充分但不必要条件；　　 B．必要但不充分条件；
C．充要条件；　　　 D．既不充分也不必要条件．
6．级数敛散性是（ B ）
A． 发散 B．条件收敛 C．绝对收敛 D．以上都不对

三．计算题
1．求由方程所确定的隐函数的偏导数和。
解：令, 则
，，.
所以,
.
2. 求二重积分, 其中。
解：区域.采用为极坐标，令 ，
，极点在区域内，，, 故
=
==．
3. 判定级数 的敛散性。
解： ==<1 (重要极限)由比值判别法，级数收敛。
4．设，，，求
解：

四．应用题
1．已知平面过点且与直线和都平行，试求此平面方程。
解：两已知直线的方向向量分别为，平面与直线平行，则平面的法向量与直线的方向向量垂直
由⊥，有 （1）
由⊥，有 （2）
联立（1），（2）求得,只有
又因为平面经过点，代入平面一般方程得

所以
故所求平面方程，即，也就是平面。
2．求由曲面, 柱面 及所围的曲顶柱体的体积。
解:
3．求过点且与平面和都平行直线方程。
解：与两平面平行的直线与这两个平面的法向量垂直，则直线的方向向量垂直于这两平面法向量所确定的平面，即直线的方向向量可取为
,
又直线过已知点, 故直线方程为
．
4．在半径为的球内接一长方体，问长、宽、高各为多少时，其体积最大？
解：设此内接长方体的长、宽、高分别为，则体积为，定义域为，限制条件为球面方程
（1）
构造拉格朗日函数

令
则有. 所以, 代入限制条件（1）式得
，，因为，故取
所以，.
由题意知，此时长方体的体积最大，所以长、宽、高均为的，体积最大，最大值为。

五．证明题
1. 设 , 求证：
证明:

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