第31次课教案--第11章 决策分析(上).doc

山 东 理 工 大 学 教 案
√

第 31 次课
教学课型：理论课□ 实验课□ 习题课□ 实践课□ 技能课□ 其它□
主要教学内容（注明：* 重点 # 难点 ）：
第11章：决策分析
11.1 决策分析及其基本因素
11.2 确定型决策
11.3随机型决策
11.4不确定型决策
11.5 灵敏度分析

* 重点：决策问题的基本因素、系统决策的方法
# 难点：随机型决策和不确定型决策的方法

教学目的要求：
根据实际问题，分析对应的决策因素，利用相关的决策方法进行最优方案选择
教学方法和教学手段：
讲解、案例教学、ppt课件

讨论、思考题、作业：

参考资料：

注：教师讲稿附后
11.1 决策及其基本因素
什么是决策？美国经济学家西蒙（H.Simon）认为管理就是决策。狭义地说，决策是指在几种行为方案中作出抉择；广义地说，决策还包括在作出最后抉择前所进行的一切活动。
例如：设企业财产总值为200万元，如果企业参加保险，则每年要交保险金2500元，而企业每年发生灾害性损失的可能性为0.1%，问企业是否参加保险。这就是一个简单的决策问题。在这个问题中，企业的目标是损失尽可能小，可选的方案有参加保险和不参加保险两种，而是否会出现灾害则是企业无法控制的自然状态，在每种状态下，采取不同的方案就会得到不同的结果。
决策分析指的是为了合理分析涉及不确定性的决策问题时的一套概念和方法，其目的是改进决策过程，从一系列可行方案中找出一个满足一定目标的合适方案。
决策分析的基本要素包括以下几个方面：
（1）决策者（Decision maker） 决策者指的是决策过程的主体，即有理智的人，又称决策人，一般说来，他是某一方面或某一部分人的利益代表者，决策者在决策过程中起着决定作用。由多方利益代表者构成的决策集体称多人决策，或称这个集体为决策组、决策集团。虽然他们之间的利益可能是冲突的、矛盾的，但应该积极地把他们看成是整个集体乃至社会福利的代表者。
（2）方案（alternative） 方案指的是决策过程中可供选择的行动方案或策略，方案可以是有限的，也可能是无限的。例如，建设一个工厂，可以建大型厂或中型厂，也可以建小型厂，这样就构成有限的三个方案。方案可以表示为

式中 A—所有可能的方案；
ai—第i个方案。
（3）结局（consequence） 结局是方案选择以后所造成结果。如果没有不确定性，则只有一个结局，如选择方案后，结果存在不确定性，则存在多种结局。例如，工厂建成后所生产的产品，在市场上可能面临畅销、销售一般、滞销三种结局。结局也叫状态，状态可以表示为

式中 —所有可能的自然状态；
—第j个状态。
（4）价值及效用 它是指对结局所作的评价。在决策分析中，一般无风险情况下对结局的评价称为价值，可以用具体的益损值表征；在有风险的情况下，价值将随风险的大小有所改变，称其为效用，效用取值[0，1]。下面所讨论的决策问题均以益损值来描述对结局所作的评价，益损值可表示为

式中 C——益损值矩阵；
cij——第i种方案在第j种状态下的益损值。
显然，是方案和状态的函数，即

如果决策问题的目标是唯一的，益损值矩阵也是唯一的，如果目标为多个时，益损值矩阵也有多个。因此，根据目标的多少，决策问题可以分为单目标决策和多目标决策。本章重点讨论单目标决策，对于多目标决策问题，可以按后面介绍的方法把多目标化为单目标来处理。
（5）偏好（preference） 偏好是指人们对各种方案、目标、风险的爱好倾向。可以定量表示偏好，也可以用排序的方式表示。
综上所述，决策问题可以用表11-1表示。
表11-1 决策问题矩阵
状态q
益损值C
方案A

q1

q2

…

qn
a1
c11
c12
…
c1n
a2
c21
c22
…
c2n
…
…
…
…
…
am
cm1
cm2
…
cmn
决策就是要在给定状态θ的条件下，从方案中选取一个最优方案，使其可能的收益最大或损失最小。
为了进行科学的决策分析，使决策的结果合理正确，应从决策的目标出发，根据对自然状态的科学分析，合理选择所选取的方案。决策的过程可用图11-1表示。
反 馈

作
出
决
策
选或择 满
最 意
优 策
策 略
略

评 略
价 的
各 效
策 果

提 用
出 的
拟 策
采 略
科 析

学 状

分 态
确 策

定 目

决 标

图11-1 决策的基本过程
11.2 确定型决策
确定型决策问题的主要特征是：
1）只有一个确定的自然状态；
2）存在着决策者希望达到的一个明确的目标，如收益最大或损失最小；
3）存在着两个或两个以上的可供决策者选择的行动方案；
4）不同的行动方案在确定状态下的益损值可以计算出来。
确定型决策是一种逻辑上比较简单的决策问题，只需要在多个备选方案中选择一个最佳的方案就行了。对这类问题的数学描述是

式中 v(ai)——方案ai的价值函数值，即益损值；
A——方案集合，。
对确定型决策问题不再举例说明。
11.3 随机型决策
随机型决策也叫风险型决策，实际生产和生活中这类决策最为常见，例如，在天气晴雨不定的情况下，出门是否带伞；又例如，水库贮水多少最好的问题。如果预知来年干旱，则需要大量的贮水，然而来年是否干旱是不确定性的随机事件。若当真发生干旱，多贮水将确保工业生产的用水需求和农作物的生长需要，带来巨大的收益；相反，就会带来灾害。显然，在这种情况下做决策具有一定的风险性。
随机型决策问题的主要特征是：
1）存在两个或两个以上的自然状态，未来究竟出现哪种状态，决策人不能事先确定，但各种状态出现的概率是可以事先知道的；
2）存在着一个明确的目标；
3）存在着两个或两个以上可供决策人选择的策略；。
4）不同的策略在不同状态下的益损值是可以计算出来的。
随机型决策问题可用表11-2来表示。
表11-2 随机决策问题矩阵
状态q
益损 状态
值C 概率
方案A
q1
q2
…
qn
p（q1）
p（q2）
…
p（qn）
a1
c11
c12
…
c1n
a2
c21
c22

c2n

am
cm1
cm2
…
cmn
表中代表第个状态发生的概率，且有。
对随机型决策问题一般有以下几种决策方法：
3.1 期望值法
期望值法是应用概率论中计算离散随机变量数学期望的方法，分别计算每个方案的期望值，然后根据期望值的大小选择最佳方案。
方案的期望益损值可按下式计算
（11-1）
若令，则式（11-1）可以表示为如下矩阵形式
（11-2）
下面通过一个具体实例说明这种决策方法。
例11-1 某厂考虑生产甲、乙两种产品，根据以往统计资料推测得到如表11-3所列的决策问题。试决定该厂生产哪一种产品可能获利最大。
表11-3 生产不同产品的收益情况
状态q
益损 状态
值C 概率
方案A
销路好q1
销路一般q2
销路差q3

生产甲种产品a1
5
3
1
生产乙种产品a2
9
2
-1
解 这是一个随机决策问题，根据期望值法得

因 ，所以生产乙产品比生产甲产品为好。
3.2 最大可能法
最大可能法是选择一个概率最大的自然状态按确定型问题进行决策。
对于例11-1，根据最大可能法，概率最大的自然状态为销路一般，按确定型决策问题决策可知生产甲种产品比生产乙中产品为佳。
3.3 决策树法
随机型决策问题中，期望益损值除了用期望值法中介绍的公式计算外，还可以用决策树法进行计算。这种方法把决策过程用树状的图形来表示，因而较为直观、明了。
用决策树法进行决策有以下几个步骤：
1．画决策树
从左向右画。先画决策点，用□表示，再由决策点引出方案分支，有几个备选方案就画几个分支，方案分支的端点是方案节点，用○表示。接着画由方案节点引出的状态分支，有几种自然状态就要画几个状态分支。例11-1中，每个方案节点后均有三个状态分支，即销路好、销路一般、销路差。在每个状态分支上标上状态概率，状态分支的末梢是结果节点，用△表示，在它的旁边标明每个方案在相应状态下的益损值。决策树如图11-2所示。
2．计算各方案的期望益损值
按前面介绍的期望值计算公式，计算各方案的期望益损值。对例11-1有
E（a1）=5×0.3+3×0.5+1×0.2=3.2
E（a2）=9×0.3+2×0.5 +（-1）´0.2=3.5
将上面的计算结果分别填在方案节点a1，a2的上方。
3．根据期望益损值进行决策
期望收益最大或期望损失最小的方案为最优方案，例11-1中，E（a1）< E（a2），故所选择的最优方案为生产乙种产品。
3.5
3.2
D -1
D 2
D 9
D 1
D 3
D 5
图11-2 决策树
销路差 p(q3)=0.2
销路一般p(q2)=0.5
销路好 p(q1)=0.3
销路好 p(q1)=0.3
销路差 p(q3)=0.2
销路一般p(q2)=0.5
a2
a1
决策

从例11-1可以看出，决策树法虽然直观，但比期望值法似乎复杂些。对于像上例这样的单级决策问题，用期望值法较为简单，但对于多级决策问题，决策树法就显示出了它的优越性。下面结合一个例子加以说明。
例11-2 某计算机公司拟生产一种新研制的微型计算机，根据技术和市场预测，该
产品可行销10年，有三种可能的市场前景：
——10年内销路一直很好，发生的概率为；
——10年内销路一直不好，发生的概率为；
——前两年销路好，后8年销路不好，发生的概率为。
公司目前需要作出的决策是建一个大厂还是建一个小厂。如果建大厂，需投资400万元，建成后无论产品销路如何，10年内将维持原规模；如果建小厂，需投资150万元，两年后还可根据市场情况再作出是扩建还是不扩建的新决策，如果扩建小厂需要再投资300万元。各种情况下每年的净收益见表11-4。
表11-4 不同情况下各年的净收益 （单位：万元）
市场前景
年净
收益 年份 方案
q1
q2
q3
1~2年
3~10年
1~2年
3~10年
1~2年
3~10年
建 大 厂
100
100
50
50
100
60
建小厂
两年后扩建
30
80
—
—
30
50
不扩建
30
30
18
18
30
18
解 这个问题属于多级决策问题，可以按照决策树法进行决策。三种市场前景可以看作是四个独立事件的组合，这个四个独立事件是：前2年销路好（记作b1）；后8年销路好（记作b2）；前2年销路不好（记作w1）；后8年销路不好（记作w2）。根据已知条件，决策树上各种状态发生的概率可以计算如下：
10年内销路一直很好的概率为
10年内销路一直不好的概率为
前2年销路好，后8年销路不好的概率为
前2年销路好的概率为，显然，。
在前2年销路好的条件下，后8年销路好的概率为

在前2年销路好的条件下，后8年销路不好的概率为

以此为依据，用决策树法进行决策，具体步骤如下：
第一步：画决策树
决策点1有两个方案分支，即建大工厂和建小工厂。两个方案分支的端点是方案节点②和③。从节点②引出两个状态分支，即前2年销路好（概率为0.7）和前2年销路差（概率为0.3）。其中销路好分支的端点是方案节点④，销路差分支的端点是方案节点⑤。从节点④引出后8年销路好和销路差两个状态分支，并标上相应的概率和益损值。从节点⑤引出后8年销路差一个状态分支，并标上相应的概率和益损值。
对于方案节点③，引出前2年销路好和销路差两个状态分支，并标上相应的概率，其中销路好的分支端点是决策点 6 ，销路差的分支端点是方案节点⑦。决策点6有扩建和不扩建两个方案分支，各自的端点是方案节点⑧和⑨，从节点⑧引出后8年销路好和销路差两个状态分支，并标上相应的概率和益损值。从节点⑨也引出后8年销路好和销路差两个状态分支，并标上相应的概率和益损值。从前2年销路差的方案节点⑦引出后8年销路差一种状态分支，并标明其概率和益损值。这样就得到了该问题的决策树，如图11-3所示。
144
224.04
306.4
306.4
755.2
160.48
418.64
小
大
1 1
400
扩建
D 50
D 80
好（0.86）
差（0.14）
好（0.86）
8
差（1.0）
差（0.14）
好（0.86）
差（0.3）
好（0.7）
差（0.3）
好（0.7）
差（1.0）
D 18
D 18
D 30
D 50
D 60
D 100
不扩建
差（0.14）
6
5
9
7
3
2
4

图11-3 决策树
从图11-3可以看出，该问题有两级决策。第一级要作出扩建小工厂还是不扩建小工厂两个方案的决策，第二级要作出建大工厂还是建小工厂的决策。
第二步：计算各方案的期望益损值
从右往左计算，并将所计算的结果标在相应的节点上。
节点4：100万元×8×0.86+60万元×8×0.14=755.2万元
节点5：50万元×8×1.0=400 万元
节点8：80万元×8×0.86+50万元×8×0.14-300万元（扩建投资）=306.4 万元
节点9：30万元×8×0.86+18万元×7×0.14=224.04 万元
节点7：18万元×8×1.0=144 万元
第三步：进行第一级决策
对决策点6，扩建小工厂的期望收益值为306.4万元，不扩建小工厂的期望收益值为224.04万元，故选择扩建小工厂的方案，舍去不扩建的方案，然后将扩建小工厂的期望收益标在决策点6上。
第四步：计算第二级决策方案的期望益损值
节点2：100万元×2×0.7+755.2万元×0.7+50万元×2×0.3+400万元×0.3-400万元（建大厂投资）=418.64 万元
节点3：30万元×2×0.7+306.4万元×0.7+18万元×2×0.3+144×0.3-150万元（建小厂投资）=160.48 万元
第五步：进行第二级决策
比较以上两方案的期望收益值可知，建大工厂方案较优。至此可以将建小厂的方案分支划掉，并将建大厂的期望收益418.64万元标在节点2上。
由此可见，对于较复杂的多级决策问题用决策树法进行决策较为直观、简捷和有效。而且，由于这种方法用图形把决策过程形象地表示出来，因而使决策者可以有顺序有步骤地去考虑，以科学的推理步骤去周密地考虑各有关因素。
对于随机决策，涉及到结局发生的概率如何估计，一般说来，人们对大量的问题无法进行随机试验，譬如，开发出某种新产品，计划投产，是建大型厂、中型厂，还是小型厂，需要决策。由于新产品还没有生产出来，无法知道产品投放市场后是畅销、滞销、还是销售情况一般，所以不可能进行试验，测出各种状态发生的概率。另外一种情况是，尽管有一些信息是可以获得的，但并非百分之百的准确。如天气预报虽报告了“下午转阴有小雨”，但是“下雨”和“不下雨”都是可能的。总之，这时决策者只能依据对事物的观察、自身的经验以及主观推理去设定事件发生的概率，这样的概率称为主观概率。主观概率反映了决策主体对事件可能出现的一种信念程度，主观概率不是主观臆造，而是基于知识、经验、预测的理智上的判断。当然，对同一状态，不同的决策主体对它的主观概率的定量判断有可能不同，这也反映了主观概率的不确定性。显然，主观概率估计上存在的不确定性会影响方案的排序。因此，在决策分析中，也要针对这种不确定性对最优方案进行可靠性分析，分析在主观概率变动并在多大范围内变动时不影响方案的排序结果。
11.4 不确定型决策
前面讨论的确定型决策问题是指已知的某种自然状态必然发生，随机型决策问题，虽然预先不知道哪种状态必然发生，但是每种状态发生的概率是已知的。而不确定型决策问题，只知道若干种自然状态可能发生，但这些状态发生的概率并不知道，这就是不确定型决策问题的一个主要特征，其它特征与随机型决策问题相同。
下面介绍几种不确定型决策问题的决策方法。
4.1 乐观法
乐观法的主导思想是决策人对客观情况总抱有乐观的态度，即认为事情的发生总是对他有利的。这种方法的决策原则是，求每个方案在各种状态下的最大收益值，再求各方案最大收益值的最大值，此最大值对应的方案即为最优方案。因此，乐观法也叫最大最大准则。可用式子表示为

乐观法的具体作法是：先找行最大，再从行最大列找到列最大，对应的方案即为最优方案。
例如：今有五个行动方案，四个自然状态，收益值见表11-5。
表11-5 收益值
方案
自然状态
乐观法
悲观法
乐观系数法a=0.8
等可能法p(qj)=1/4
偏差

q1
q2
q3
q4
行最大列
行最小列
加权列
期望值
a1
4
5
6
7
7
4*
6.4
5.50*
1.50*
a2
2
4
6
9
9*
2
7.6*
5.25

a3
5
7
3
5
7
3
6.2
5.00

a4
3
5
6
8
8
3
7.0
5.50*
2.50
a5
3
5
5
5
5
3
4.6
4.50

决策

a2
a1
a2
a1
按乐观法进行决策，有

此最大值9对应的方案为为最优方案。计算过程列于表11-5中。
当决策目标为损失值最小时，应采用最小最小原则，即。
4.2 悲观法
悲观法也叫瓦尔德决策准则（Wald Decision Criterion ）。它的主导思想是决策人对客观情况总抱有悲观的态度，即认为不管选哪一个方案，总会遇到收益最小的状态，因而也叫保守法 。但又想在各种最坏的情况下找一个收益最大的方案，因而也叫最大最小准则，可用式子表示为

这种方法的具体作法是：先找行最小，再从行最小列找列最大，对应的方案即为最优方案。
对于上例，按悲观法决策，有

故4对应的方案为最优方案，见表11-5。
当决策目标为损失值最小时，应采用最小最大原则，即

4.3 乐观系数法
乐观系数法又叫赫尔维次（Hurwicz）决策准则。其主导思想是决策人对客观情况的估计既不像乐观者想象的那么理想，也不像悲观者认为那么坏，主张折衷考虑。因而选用乐观系数来表示乐观的程度，并规定 。这种方法可用式子表示为

这种方法的具体作法是：先计算行最大列与最小列的加权列，再从加权列找列最大，对应的方案即为最优方案。
显然，当1时，则为乐观法的情形；当0时，则为悲观法的情形。
当决策目标为损失最小值时，应采用下式计算

对于上例，若设，按乐观系数法决策，有

故7.6所对应的方案为最优方案，见表11-5。
显然，当取不同值时，可能得到不同的决策结果，那么究竟取什么值合适呢？这要看具体情况而定。如果客观情况比较乐观，则应取大一些，否则，应取小一些。
4.4 等可能法
等可能法也叫拉普拉斯（Laplace）决策准则。其主导思想是决策人对所有自然状态采取一视同仁的态度，即认为它们出现的概率是相等的。如果有n个自然状态，则每一个自然状态出现的概率为1/n，然后按随机型决策问题的期望值法进行决策。
对于上例，n=4，采用等可能法有

因为，所以在方案a1和a2之间还要加以比较。
遇到这种情况，可以采用偏差原则，即计算出每个方案的期望收益与各自方案最小收益之差，然后取差值中最小的一个对应的方案为最优方案。可见这一原则是出于更有把握的角度考虑问题的。
设偏差为
对于上例，有

根据最小偏差原则，有，故1.5对应的方案为最优方案，见表11-5。
4.5 后悔值法
后悔值法也叫萨维奇（Savage）决策准则。其主导思想是决策人在决策时虽没有保证收益最大，但也不会因收益过小而产生后悔。在每一种状态下，必对应某一方案最优，令此方案的后悔值为0。若选取其它方案，则导致收益减少而后悔，所减少的收益即为后悔值。对于一个收益矩阵C，相应的后悔矩阵可以记为

式中
由此可见，后悔值矩阵中的元素所在列的最大值与该元素之差。
后悔值法就是先求出后悔矩阵，再找出每个方案的最大后悔值，然后从这些最大值中找出最小值，对应的方案即为最优方案。可用式子表示为
这种方法的具体作法是：在后悔值矩阵中，先找行最大，再找行最大列的最小值，对应的方案即为最优方案。
对于上例，后悔值矩阵为

按后悔值法，有

故2对应的方案和为最优方案，见表11-6。
表11-6 后悔值矩阵
后悔 状态
值
方案
q1
q2
q3
q4
后悔值法
（行最大列）
a1
1
2
0
2
2*
a2
3
3
0
0
3
a3
0
0
3
4
4
a4
2
2
0
1
2*
a5
2
2
1
4
4
决策

a1或a4
上面介绍了不确定型决策问题的五种决策方法。通过上例可以看出，采用不同的决策方法所得到的结果并不完全一致。那么在具体决策时，究竟采取什么方法为好呢？这要视主客观条件而定。从主观条件来看，若决策者对自然状态的信息掌握的较多，宜采用乐观系数法；若决策者对自然状态的信息掌握的较少，采用悲观法或后悔值法比较稳妥些。从客观条件看，若经济实力较强，就可以冒更大的风险去获得更大的收益，此时可采用乐观法，乐观系数法或等可能法；若经济实力较弱，经不起失败的打击，则采用保守法为好。
11.5 灵敏度分析
从前面的决策实例可以看出，决策分析的一般过程是：首先根据已有的统计资料和经验，预测和判断各种状态可能发生的概率，再计算各方案的期望益损值，最后根据期望益损值的大小选取最优方案。然而，状态的概率并不是十分准确的，那么当其变化时，会对所选最优方案产生怎样的影响，或者说，当其在什么范围内变化时，所选最优方案不变，对这些问题的分析就是灵敏度分析。
例11-3 为生产某种产品而设计了两个基本建设方案：一是建大厂，二是建小厂。建大厂需投资300万元，建小厂需投资140万元，两者的使用期限都是10年，估计在此期间产品销路好的概率为0.7，销路差的概率为0.3，两方案的年度益损值如表11-7所示。问建大厂好还是建小厂好？
表 11-7 各方案的损益值情况 （单位：万元）
状态
益损值 概率
方案
销路好q1
销路差q2
0.7
0.3
建大厂a1
100
-20
建小厂a2
40
10

解 显然，这个问题属于随机型决策问题，根据期望值法，有

显而易见，当自然状态概率发生变化时，就有可能导致最优方案发生变化。那么自然状态概率究竟在什么范围内变化时才会引起最优方案变化呢？现分析如下：
设p代表销路好的概率，则（1-p）为销路差的概率。令两方案的期望收益值相等，有
100×10×p-20×10×(1-p)-300=40×10p+10×10×(1-p)-140
化简得：p=0.511。
p=0.511这个概率叫转折概率。当p<0.511时，建小厂好；当p >0.511时，建大厂好，原最优方案不变；当p=0.511时，建大厂或建小厂的期望收益一样。
通过灵敏度分析，可知道最优方案是否稳定。若自然状态的概率稍有变动，最优方案发生变化，说明该最优方案不稳定，值得进一步分析和调整。