初中数学竞赛辅导资料(70).doc

初中数学竞赛辅导资料(70)
正整数简单性质的复习
甲. 连续正整数
一. n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n位数的个数共__________.(n是正整数)
练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.
2.　由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；
　　　　　　　　　　　　100110021003……19881989是_______位数.
3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n位数有_______个.
4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；
从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.
二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×.
把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.
练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.
6. 1+3+5+……+99=____________.
7. 5+10+15+……+100=_________.
8. 1+4+7+……+100=____________.
9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______
10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.
11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.
三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和
整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；
1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.
练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.
13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：
这个数用9除的余数是__________.
(1987年全国初中数学联赛题)
14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：
① 它是一个________位数；
② 它的各位上的数字和等于________；
③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是___________________________.
四.连续正整数的积：
① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n的阶乘.
② n个连续正整数的积能被n!整除.
如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n－1). a为整数.
③ n! 中含有质因数m的个数是++…+.
[x]表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3… mi≤n
如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：=3+1=4
练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____
16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个 　　　　　　(1988年全国初中数学联赛题)
17. 求证：10494 | 1989!
18. 求证：4! | a(a2－1)(a+2) a为整数
五. 两个连续正整数必互质
练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.
乙. 正整数十进制的表示法
一. n+1位的正整数记作：an×10n+an－1×10n－1+……+a1×10+a0
其中n是正整数，且0≤ai≤9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位an≠0.
例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.
例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A能被99整除.
证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33
=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.
∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n=(99+1) n≡1 (mod 9)
∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )
=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)
=99k+45×11
=99k+99×5.
∴A能被99整除.
练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除
二. 常见的一些特例
=10 n－1, =(10 n－1), (10 n－1).
例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.
证明：第n个数是=×10 n+
=(10 n+2)
=
=
=×. 证毕.
练习：21. 化简 ×+1=_______________________________.
22. 化简 =____________________________________________.
23. 求证 是合数.
24. 已知：存在正整数 n,能使数被1987整除.
求证：数p=和
数q=都能被1987整除.
　　　 (1987年全国初中数学联赛题)
25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.
26. 求证：×15+1是完全平方数.
丙. 末位数的性质
.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4；　a=－3时，N (a)=3.
1. N (a4k+r)=N (ar) a和k都是整数，r=1,2,3,4.
特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.
2. N (a)=N (b)N (a－b)=010 |(a－b).
3. 若N (a)=a0, N (b)=b0. 则N (an)=N (a0n)； N (ab)=N (a0b0).
例题1：求①53100 ； 和 ②7的个位数.
解：①N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1
②先把幂的指数77化为4k+r形式，设法出现4的因数.
77=77－7+7=7(76－1)+4+3
=7(72－1)(74+72+1)+4+3
=7×4×12× (74+72+1)+4+3
=4k+3
∴N(7)=N(74k+3)=N(73)=3.
练习：27. 19891989的个位数是______，9的个位数是_______.
28. 求证：10 | (19871989－19931991).
29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.

二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；
连续整数平方的个位数的和，有如下规律：
12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.
1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和
例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.
(1991年全国初中数学联赛题)
解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.
11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：
(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.
2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法
例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.
证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：
(n－2)2+(n－1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2 (n, k都是整数)
5(n2+2)=k2 .
∵ k2是5的倍数，k也是5的倍数.
设k=5m, 则5(n2+2)=25m2.
n2+2=5m2.
n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n2的倍数是8或3.
但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.
∴假设不能成立
∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.
3.判断不是完全平方数的其他方法
例题3. 已知：a是正整数.
求证： a(a+1)+1不是完全平方数
证明：∵a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整数
∴ a2< a(a+1)+1=a2+a+1<(a+1)2，
∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间
∴a(a+1)+1不是完全平方数
例题4. 求证： (n>1的正整数) 不是完全平方数
证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.
但 ==4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3
即除以4余数为3，而不是1，
∴它不是完全平方数.
例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.
证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.
∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1
=4(a2+b2+a+b)+2.
这表明其和是偶数，但不是4的倍数，
故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.

三. 魔术数：将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N称为魔术数.常见的魔术数有：
a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5　(即10的一位正约数是魔术数)
b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))
c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)
练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.
(1986年全国初中数学联赛题)
四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9.
练习：31. 已知：n是自然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)
丁. 质数、合数
1. 正整数的一种分类：
2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.
3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.
例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.
解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：
令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11
那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.
一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数，可用
令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, +……+ m!+n+1 就是所求的合数.
∵m!+i (2≤i≤n+1) 有公约数i.
练习：32. 已知质数a， 与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.
33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.
34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m!=22!
那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……
35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.
(这里11=10+1，即N是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？
36. 已知：x,　m,　n 都是正整数 . 求证：24m+2+x4n 是合数.
戊.奇数和偶数
1.整数的一种分类：
2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数.
奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.
(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.
4. 其他性质：
① 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数.
② 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数
不是平方数.
a) 2n (n为正整数)不含大 于1的奇因数.
b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶.
c) 若n个整数的积是奇数，则它们都是奇数.
例1. 设m 与n都是正整数，试证明m3－n3为偶数的充分必要条件是m－n为偶数.
证明：∵m3－n3＝（m－n）(m2+mn+n2).
当m－n为偶数时，不论m2+mn+n2是奇数或偶数，m3－n3都是偶数；
∴m－n为偶数是m3－n3为偶数的充分条件.
当m－n为奇数时，m, n必一奇一偶，m2，mn，n2三个数中只有一个奇数，
∴m2+mn+n2是奇数，从而m3－n3也是奇数.
∴m－n为偶数，是m3－n3为偶数的必要条件.
综上所述m3－n3为偶数的充分必要条件是m－n为偶数.
例2. 求方程x2－y2=1990的整数解.
解：(x+y)(x－y)=2×5×199.
若x, y同是奇数或同是偶数，则 x+y，x－y都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴方程左、右两边不能相等.
若x, y为一奇一偶，则x－y，x+y都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴方程两边也不能相等.
综上所述，不论x, y取什么整数值，方程两边都不能相等.
所以 原方程没有整数解
本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性.
练习：37. 设n为整数，试判定n2－n+1是奇数或偶数.
38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？
39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由.
40. 求证：方程x2+1989x+9891=0没有整数根.
41. 已知： 求证：n是4的倍数.
42. 若n是大于1的整数，p=n+(n2－1)试判定p是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. 　 (1985年全国初中数学联赛题)
已. 按余数分类
1. 整数被正整数 m除，按它的余数可分为m类，称按模m分类.
如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k为整数，下同
模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.
……
模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.
2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.
如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.
3. 按模m分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质.
如：若a=5k1+1,　　b=5k2+2.
则a+b除以5 余数 是3 (1+2)；
ab除以5余2 　　 (1×2)； 　
b2 除以5余4 　　 (22).
例1. 求19891989除以7的余数.
解：∵19891989=(7×284+1)1989，
∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).
即19891989除以7的余数是1.
练习：43. 今天是星期一，99天之后是星期________.
44. n 个整数都除以 n－1, 至少有两个是同余数，这是为什么？
45. a 是整数，最简分数化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？
4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验
例2. 下列演算是否正确？
① 12625+9568=21193 ； 　② 2473×429=1060927.
解：①用各位数字和除以9，得到余数：
12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.
∵ 7+1≠7， ∴演算必有错.
　② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.
而7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.
注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.
练习：46. 检验下列计算有无差错：
①372854－83275=289679 ； 　　 ②23366292÷6236=3748.
5. 整数按模分类，在证明题中的应用
例3. 求证：任意两个整数a和b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.
证明：把整数a和b按模3分类，再详尽地讨论.
如果a, b除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b的差是3的倍数；
如果a, b除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b的积是3的倍数；
如果a, b除以3，余数分别是1和2，那么a, b的和是3的倍数.
综上所述任意两个整数a，b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.
(分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏)
例4. 已知： p≥5，且 p和2p+1都是质数.
求证：4p+1是合数.
证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k为整数)三类讨论
∵p是质数，∴不能是3的倍数，即p≠3k；
当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1).　∴ 2p+1不是质数，即p≠3k+1；
只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.
∴2 p+1也是质数， 符合题设.
这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕
练习：47. 已知：整数a不能被2和3整除 . 求证：a2+23能被24整除.
48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6.
49. 若正整数a不是5的倍数. 则a8+3a4－4能被100整除.
50. 已知：自然数n>2求证：2n－1和2n+1中，如果 有一个是质数，则另一个必是合数.
51.设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证 a3b－ab3,b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)
庚. 整数解
1. 二元一次方程 ax+by=c的整数解：当a,b互质时，若有一个整数的特解那么可写出它的通解
2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质
整数±整数=整数， 整数×整数=整数，
整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)自然数=整数
3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.
4. 根据已知条件讨论整数解.
例1. 小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日.
解：设小军和小红的生日分别为x, y，根据题意，得
(k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－
k=1, 3时， x没有整数解；
当k=2时，
当k=4时， (10月份没有31日，舍去)
∴小军的生日在10月10日
例2. 如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初二数学双基赛题)
解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c都是整数，0<a≤9，0≤b, c≤9.
那么 ， 且－8<a－b+c<18.
要使a－b+c被11整除，其值只能是0和11.
( 1)当a－b+c=0时， 得9a+b=a2+b2+c2.
以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得
2a2+2(c－5)a+2c2－c=0
根据韦达定理 这是必要而非充分条件.
∵5－c>0, 　以c=0, 1, 2, 3, 4　逐一讨论a的解.
当　c=2,　4时，无实数根；　　当c=1,　3时，无整数解；
只有当c=0时，a=5；或　a=0. (a=0不合题意，舍去)
∴只有c=0,　a=5,　b=5适合　
∴所求的三位数是550；
(2)当a－b+c=11时， 得9a+b+1=a2+b2+c2.
以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得
2a2+2(c－16)a+2c2－23c+131=0.
仿(1)通过韦达定理，由c的值逐一以讨论a的解.
只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.　
即所求三位数为803.
综上所述，符合条件的三位数有550和803.
练习：52. 正整数x1, x2, x3,……xn满足等式x1＋x2＋x3＋x4+x5=x1x2x3x4x4x5
那么　x5的最大值是________.　 （1988年全国初中数学联赛题）
53. 如果p, q, 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q的值.
（1988年全国初中数学联赛题）
54. 能否找到这样的两个正整数m和n，使得等式m2+1986=n2成立. 试说出你的猜想，并加以证明.
（1986年泉州市初二数学双基赛题）
55. 当m取何整数时，关于x的二次方程m2x2－18mx+72=x2－6x的根是正整数，并求出它的根.
（1988年泉州市初二数学双基赛题）
56. 若关于x的二次方程（1+a）x2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a的取值是________________. （1989年泉州市初二数学双基赛题）
57. 不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________.
58. 直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长.
59. 鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
60. 甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？
若1×2×3×4×……×99×100=12 n×M，其中M为自然数，n为使得等式成立的最大自然数，则M是( )
(A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.
(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.
(1991年全国初中数学联赛题)
返回目录 参考答案
279