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初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数一. n位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9102个，那么 n位数的个数共_.(n是正整数)练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码个. 2.由连续正整数写成的数12349991000是一个_位数； 10011002100319881989是_位数. 3. 除以3余1的两位数有_个，三位数有_个，n位数有_个. 4. 从1到100的正整数中，共有偶数_个，含 3的倍数_个； 从50到1000的正整数中，共有偶数_个，含3的倍数_个.二. 连续正整数的和：1+2+3+n=(1+n).把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+100=_.6. 1+3+5+99=_.7. 5+10+15+100=_.8. 1+4+7+100=_.9. 1+2+3+1989其和是偶数或奇数？答_10. 和等于100的连续正整数共有_组，它们是_.11. 和等于100的连续整数共有_组，它们是_.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+(4+5)=95=45；123499100各位数字和是(0+99)+(1+98)+(49+50)+1=1850+1=901.练习：12. 整数 12349991000各位上的数字和是_.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：这个数用9除的余数是_.(1987年全国初中数学联赛题)14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数123499100中： 它是一个_位数； 它的各位上的数字和等于_； 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是_.四.连续正整数的积： 123n 记作n ! 读作n的阶乘. n个连续正整数的积能被n!整除.如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)(a+n1). a为整数. n! 中含有质因数m的个数是+.x表示不大于x的最大正整数，i=1,2,3 min如：12310的积中，含质因数3的个数是：=3+1=4练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：_16.一串数1，4，7，10，697，700相乘的积中，末尾共有零_个 (1988年全国初中数学联赛题)17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a21)(a+2) a为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.乙. 正整数十进制的表示法一. n+1位的正整数记作：an10n+an110n1+a110+a0 其中n是正整数，且0ai9 (i=1,2,3,n)的整数, 最高位an0.例如：54321=5104+4103+3102+210+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=1213143233. 试证：A能被99整除.证明：A=121042+131040+141038+31104+32102+33 =1210021+1310020+141019+311002+32100+33. 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n=(99+1) n1 (mod 9) A=99k+12+13+14+31+32+33 (k 为正整数 ) =99 k+(12+33)+(13+32)+(22+23) =99k+4511 =99k+995.A能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成192021227980.试证明这个数能被1980整除二. 常见的一些特例=10 n1, =(10 n1), (10 n1).例题：试证明12，1122，111222，11112222，这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n个数是=10 n+ =(10 n+2)=. 证毕.练习：21. 化简 +1=_.22. 化简 =_.23. 求证 是合数.24. 已知：存在正整数 n,能使数被1987整除. 求证：数p=和 数q=都能被1987整除. (1987年全国初中数学联赛题)25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证：15+1是完全平方数.丙. 末位数的性质.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4；a=3时，N (a)=3. 1. N (a4k+r)=N (ar) a和k都是整数，r=1,2,3,4. 特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.2. N (a)=N (b)N (ab)=010 |(ab).3. 若N (a)=a0, N (b)=b0. 则N (an)=N (a0n)； N (ab)=N (a0b0).例题1：求53100 ； 和 7的个位数.解：N (53100)=N (3424+4)=N (34)=1先把幂的指数77化为4k+r形式，设法出现4的因数.77=777+7=7(761)+4+3=7(721)(74+72+1)+4+3 =7412 (74+72+1)+4+3 =4k+3 N(7)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是_，9的个位数是_.28. 求证：10 | (1987198919931991).29. 2210331577205525的个位数是_.二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和 例题1. 填空：12，22，32，1234567892的和的个位数的数字是_. (1991年全国初中数学联赛题)解：12，22，32，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)(12345678+1)的个位数5. 2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n2)2+(n1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2 (n, k都是整数)5(n2+2)=k2 . k2是5的倍数，k也是5的倍数.设k=5m, 则5(n2+2)=25m2. n2+2=5m2.n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3. 假设不能成立 任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.3.判断不是完全平方数的其他方法例题3. 已知：a是正整数.求证： a(a+1)+1不是完全平方数 证明：a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整数 a2 a(a+1)+1=a2+a+11的正整数) 不是完全平方数 证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 =4k+11=4k+42+3=4(k+2)+3即除以4余数为3，而不是1，它不是完全平方数.例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1=4(a2+b2+a+b)+2. 这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.三. 魔术数：将自然数N接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5(即10的一位正约数是魔术数)b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数)c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_.(1986年全国初中数学联赛题)四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n是自然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n的值是：_. (1985年上海初中数学竞赛题)丁. 质数、合数1. 正整数的一种分类：2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数. 例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令A=1234567891011那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数. 一般地，要写出n个连续自然数，个个是合数，可用令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, + m!+n+1 就是所求的合数.m!+i (2in+1) 有公约数i. 练习：32. 已知质数a， 与奇数b 的和等于11，那么a=_,b=_.33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于_，_.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)2， m!=22! 那么所求的合数是22!+3，_,_,_,35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=235711.(这里11=10+1，即N是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？36. 已知：x,m,n 都是正整数 . 求证：24m+2+x4n 是合数.戊.奇数和偶数1.整数的一种分类：2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数.奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质： 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数. 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数不是平方数.a) 2n (n为正整数)不含大 于1的奇因数.b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶.c) 若n个整数的积是奇数，则它们都是奇数. 例1. 设m 与n都是正整数，试证明m3n3为偶数的充分必要条件是mn为偶数.证明：m3n3（mn）(m2+mn+n2).当mn为偶数时，不论m2+mn+n2是奇数或偶数，m3n3都是偶数；mn为偶数是m3n3为偶数的充分条件.当mn为奇数时，m, n必一奇一偶，m2，mn，n2三个数中只有一个奇数，m2+mn+n2是奇数，从而m3n3也是奇数.mn为偶数，是m3n3为偶数的必要条件.综上所述m3n3为偶数的充分必要条件是mn为偶数.例2. 求方程x2y2=1990的整数解.解：(x+y)(xy)=25199. 若x, y同是奇数或同是偶数，则 x+y，xy都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，方程左、右两边不能相等. 若x, y为一奇一偶，则xy，x+y都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，方程两边也不能相等.综上所述，不论x, y取什么整数值，方程两边都不能相等. 所以 原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性.练习：37. 设n为整数，试判定n2n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：方程x2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： 求证：n是4的倍数.42. 若n是大于1的整数，p=n+(n21)试判定p是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)已. 按余数分类1. 整数被正整数 m除，按它的余数可分为m类，称按模m分类. 如：模m=2，可把整数分为2类:2k, 2k+1 k为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:3k, 3k+1，3k+2.模m=9，可把整数分为9类:9k,9k+1,9k+2.9k+8.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质.如：若a=5k1+1,b=5k2+2. 则a+b除以5 余数 是3 (1+2)；ab除以5余2 (12)； b2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：19891989=(7284+1)1989， 1989198911989 1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期一，99天之后是星期_.44. n 个整数都除以 n1, 至少有两个是同余数，这是为什么？45. a 是整数，最简分数化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验例2. 下列演算是否正确？ 12625+9568=21193 ； 2473429=1060927.解：用各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7. 7+17， 演算必有错. 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.而76=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有无差错： 37285483275=289679 ； 233662926236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应用例3. 求证：任意两个整数a和b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.证明：把整数a和b按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b的差是3的倍数；如果a, b除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b的积是3的倍数；如果a, b除以3，余数分别是1和2，那么a, b的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a，b，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数. (分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏)例4. 已知： p5，且 p和2p+1都是质数. 求证：4p+1是合数. 证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k为整数)三类讨论p是质数，不能是3的倍数，即p3k； 当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). 2p+1不是质数，即p3k+1； 只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5. 2 p+1也是质数， 符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a不能被2和3整除 . 求证：a2+23能被24整除. 48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a不是5的倍数. 则a8+3a44能被100整除.50. 已知：自然数n2求证：2n1和2n+1中，如果 有一个是质数，则另一个必是合数.51.设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证 a3bab3,b3cbc3,c3aca3三个数中，至少有一个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)庚. 整数解1. 二元一次方程 ax+by=c的整数解：当a,b互质时，若有一个整数的特解那么可写出它的通解2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质 整数整数=整数， 整数整数=整数，整数(这整数的约数)=整数， (整数)自然数=整数3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. 小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日.解：设小军和小红的生日分别为x, y，根据题意，得 (k=1,2,3,4) 2x=347k x=17k=1, 3时， x没有整数解；当k=2时， 当k=4时， (10月份没有31日，舍去)小军的生日在10月10日例2. 如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初二数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c都是整数，0a9，0b, c9.那么 ， 且8ab+c0, 以c=0, 1, 2, 3, 4逐一讨论a的解.当c=2,4时，无实数根；当c=1,3时，无整数解；只有当c=0时，a=5；或a=0. (a=0不合题意，舍去)只有c=0,a=5,b=5适合 所求的三位数是550；(2)当ab+c=11时， 得9a+b+1=a2+b2+c2.以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得2a2+2(c16)a+2c223c+131=0. 仿(1)通过韦达定理，由c的值逐一以讨论a的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x1, x2, x3,xn满足等式x1x2x3x4+x5=x1x2x3x4x4x5 那么x5的最大值是_. （1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q, 都是整数，.且p1, q1, 试求p+q的值.（1988年全国初中数学联赛题）54. 能否找到这样的两个正整数m和n，使得等式m2+1986=n2成立. 试说出你的猜想，并加以证明.（1986年泉州市初二数学双基赛题）55. 当m取何整数时，关于x的二次方程m2x218mx+72=x26x的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初二数学双基赛题）56. 若关于x的二次方程（1+a）x2+2x+1a=0的两个实数根都是整数，那么a的取值是_. （1989年泉州市初二数学双基赛题）57. 不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有_个，它们的边长分别是：_.58. 直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长.59. 鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？60. 甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？若123499100=12 nM，其中M为自然数，n为使得等式成立的最大自然数，则M是( ) (A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.(1991年全国初中数学联赛题) 返回目录 参考答案279