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凹凸函数之切线放缩
-----江西省于都中学李先源
最近在学选修2-2，很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成，或（等号成立的条件恰好是切点时满足）。这里特例举几个题目来谈谈它的应用吧。
例1、，已知数列满足，且满足，则( )
A . 最大值6030 B . 最大值6027 C有最小值6027. D . 有最小值6030
解析：A．，当时，=6030
对于函数,,在处的切线方程为即，
则成立，
所以当时，有

例2、已知函数．
（1）求在上的最大值；
（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；
（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值．

解析：（1），
令，解得（负值舍去），由，解得．
（ⅰ）当时，由，得，在上的最大值为．
（ⅱ）当时，由，得，在上的最大值为．
（ⅲ）当时，在时，，在时，，
在上的最大值为．
（2）设切点为，则 由，有，化简得， 即或， …① 由，有，…②
由①、②解得或．
（3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线，
，点在直线上，根据图像分析，曲线在线下方．
下面给出证明：当时，．
，
当时，，即．
，
，
．
要使不等式恒成立，必须．
又当时，满足条件，
且，因此，的最小值为．
例3、若，且，则++≤

证明：设g(x)= ,则g´(x)= ，g´´(x)= ，
由g´´(x)＜0得- ＜x＜，g´´(x)＞0得x＞或x＜- ，
∵g(x)在R上连续，故g(x)= 在［- ，］上是上凸的，在区间(-∞，-)，
(，+∞)上是下凸的。由，则平衡值x0= ，由导数知识易求得g(x) = 在
x= 处的切线为y=（2-x）,因x0= ∈［- ，］，g(x) = 在［- ，］上是上凸的，故g(x) = ≤（2-x）恒成立。即≤（2-x1），≤（2-x2），≤（2-x3），三式相加并结合即得++≤。

若将该题条件改为：若，且时，解法同理。
此时平衡值x0=1，而g(x) = 在x= 1处的切线为y=-x+1, 因x0= 1∈(，+∞)，g(x) = 在(，+∞)上是下凸的，故g(x) = ≥- x+1恒成立。即≥- x1+1，≥- x2+1，≥- x3+1三式相加并结合即得++≥。即得一个新的不等式：若xi>,i=1,2,3，且，则++≥。
所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1。
例4、若实数，证明：。

提示：不妨设，则平衡点是。在的切线，有
。
5、若非负，且，证明：
提示：平衡点是。在的切线，有

练习1：已知函数，
⑴求函数在定义域上的单调区间。
⑵若关于的方程恰有两个不等的实根，求实数的范围；
⑶已知实数，，若不等式在上恒成立，求实数的最小值。（可以利用切线求的最大值）
练习2：若非负，且，证明：
提示：平衡点是。在的切线，有
切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等式转化。此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好。也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数。其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式。
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