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全等三角形知识点总结及复习
全等三角形知识点总结及复习

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全等三角形知识点总结及复习
一、知识网络

二、基础知识梳理
（一）、基本概念
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形;
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）
　　当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
　　由此，可以得出:全等三角形的对应边相等，对应角相等。
　　（1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
　　（2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
　　(3）有公共边的，公共边一定是对应边;
(4）有公共角的,角一定是对应角;
　　(5)有对顶角的,对顶角一定是对应角；
2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2)全等三角形对应角相等;
3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
(2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二)灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性.
2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等,可找：
①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS）
(2)已知条件中有两边对应相等,可找
①夹角相等（SAS）②第三组边也相等(SSS)
(3）已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等（AAS 或 ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）
（三）经典例题
例1. 已知：如图所示，AB=AC,，求证：。

例2。 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B.求证：。

例3 。如图所示，AC=BD，AB=DC,求证:.

例4. 如图所示，,垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且
求证：BD=CE。

例5：已知:如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD、CE⊥AB于E,且∠B+∠D=180°.
求证：AE=AD+BE
分析:从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢?由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC,可证出DADC≌DAFC，问题就可以得到解决.
证明（一)：
在AE上截取AF=AD，连结FC。
在DAFC和DADC中

∴DAFC≌DADC(边角边）
∴∠AFC=∠D(全等三角形对应角相等)
∵∠B+∠D=180°(已知)
∴∠B=∠EFC（等角的补角相等)
在DCEB和DCEF中

∴DCEB≌DCEF (角角边）
∴BE=EF
∵AE=AF+EF
∴AE=AD+BE（等量代换）
证明(二）：
在线段EA上截EF=BE，连结FC(如右图）。 小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。
（四） 全等三角形复习练习题
一、选择题
1．如图,给出下列四组条件：
①;②;
③；④．
其中，能使的条件共有（ )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2.如图,分别为的,边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（ ）
3.如图(四），点是上任意一点,，还应补充一个条件,才能推出．从下列条件中补充一个条件,不一定能推出的是( ）
A． B． C． D．
A． B． C ． D．

1题图 2题图
4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是（ ）
(A）∠B=∠E，BC=EF（B)BC=EF，AC=DF （C）∠A=∠D,∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF
5．如图，△ABC中,∠C = 90°,AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，
若AC = 10cm，则△DBE的周长等于（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm
6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ )Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处

4题图 5题图

7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那
么最省事的方法是（ ）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
8．如图,在中, ，是的垂直平分线,交于点，交
于点．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，=30°,则的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
1题图C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB

8题图 10题图

11．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心,以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是( ）A．SAS B．ASA C．AAS　　D．SSS
12.如图， ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定
13．如图，OP平分,，,垂足分别为A,B．下列结论中不一定成立的是（ )A． B．平分 C． D．垂直平分
14.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．　　　 B． C． D．

11题图 12题图

二、填空题
1。如图,已知,，要使 ≌，可补充的条件是 （写出一个即可）_______________．
2。如图,在△ABC中,∠C=90°，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E,且AB=5cm，则△DEB的周长为 ________
3。如图，，请你添加一个条件： ，使（只添一个即可)．
4。如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

1题图 2题图 3题图 4题图
5。观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形
有 个 ．

6。已知:如图，△OAD≌△OBC,且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度。
7如图,C为线段AE上一动点（不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q，连结PQ。以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°。
恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）.
8。如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加的条件是________.

6题图 7 题图 8 题图

三、解答题
1.如图,已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.

2.如图,在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．
(1）求的度数；（2）求证：．

3.如图，在△ABE中,AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC， BC、DE交于点O。求证：(1） △ABC≌△AED; （2) OB＝OE .

4.如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE,找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

5.如图,在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C作CN∥BD,过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

6。如图，四边形的对角线与相交于点，，．
求证：(1）；（2）．

7．如图，在和中，现给出如下三个论断：①；②；
③．请选择其中两个论断为条件,另一个论断为结论，构造一个命题．
（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：
．
(2）请选择一个真命题加以证明．
　 你选择的真命题是：．
证明：

8。已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF,∠B＝∠C．求证：OA＝OD．

9．如图,△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC,BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE．

10.如图，,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

11．已知：如图，DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点，
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角
形．（直接写出结果,不要求证明）:

12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
(2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变,上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF
求证：（1）DF∥CE （2）DE=CF A
D F
E
C
E
B

14。如图,已知在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD = AC,在CF的延长线上截取CG = AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系？试证明你的结论　　

15。如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D,若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．

16。如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点,DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．

17.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB =∠DBC = 90º，E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB = DE．

１8。如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF,EF与AD交于G,AD与EG垂直吗?证明你的结论。

19．如图，在△ABC中，∠B=60°,△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．．如图，在△ABC中,∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．

20.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点,点F在BC上，且∠DAE=∠FAE。
求证：AF=AD+CF。

１４．已知：在△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E，（1)当直线AE处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD，DE,CE的关系如何？请说明理由；(3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。