对数函数的图像典型例题（一）.doc

对数函数的图像典型例题（一）
1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为(    )．
　　（A）  
　　（B）           
　　（C）
　　（D）

2.函数y=logx－1(3－x)的定义域是
如果对数有意义，求x的取值范围；
解：要使原函数有意义，则

解之得：
∴原函数的定义域为-7，-6)(-6，-5) (-1，+)
函数的定义域为一切实数，求k的取值范围。

利用图像判断方程根的个数
3．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。
解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；
②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；
③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。

4．若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围．
解：由原方程可化为
，变形整理有
（*）
，，由于方程（*）的根为正根，则
解之得，从而

5．求函数的单调区间．
．解：设，，由得，知定义域为
又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数
的单调增区间为，单调减区间为
题目2】求函数的单调区间。
正解】由得x＜1或x＞5，即函数的定义域为{x| x＜1或x＞5}，
当x＜1时，是减函数，是减函数，所以是增函数；
当x＞5时，是增函数，是减函数，所以是减函数；
所以的增区间是（-∞，1）；减区间是（5，∞，）。

6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围．
　　分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题．
　　解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集．则有 或 ，解得 ．

已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
解：(1)(a2－1)x2+(a+1)x+1＞0对x∈R恒成立.
a2－1=0时，a=±1，经检验a=－1时恒成立；
a2－1≠0时，
a＜－1或a＞ ，
∴a≤－1或a＞ .
(2)a2－1=0，即a=1时满足值域为R；
a2－1≠0时，
1＜a≤ .
∴1≤a≤ .
7的定义域为R，求a的取值范围。
【正解】①当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；
②当a≠0时，由题意得：；
由①②得a的取值范围为[0，4）。
【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式不一定是一元二次不等式。
8.函数y=log［(1－x)(x+3)］的递减区间是( )
A.(－3,－1) B.(－∞,－1) C.(－∞,－3) D.(－1，＋∞)
【解析】设t＝(1－x)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4由(1－x)(x＋3)＞0得－3＜x＜1当x∈(－3，－1)时，t＝(1－x)(x＋3)递增∴y＝log［(1－x)(x＋3)］的递减区间是(－3，－1)
9.已知函数y＝loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是( )
A.0＜a＜1 B.a＞1 C.1＜a＜2 D.1＜a≤2
【解析】若0＜a＜1，则函数在定义域上是增函数；若a＞1，则当0≤x≤1时，2－ax＞0恒成立即x＜，因此＞1∴1＜a＜2
10.求函数y=loga(2-ax-a2x)的值域。
【解】由于2-ax-a2x>0，得-2<ax<1。∴t=2-ax-a2x=(ax+)2+∈（0，2）。
又当a>1时，y=logat递增，∴y<loga2；当0<a<1时，y=logat递减，∴y>loga2。
故当a>1时，所求的值域为（-∞，loga2）；当0<a<1时，所求的值域为（loga2,+∞）。
11.求函数y=log2·log2(x∈［1,8］)的最大值和最小值.
【解】 令t=log2x,x∈［1,8］,则0≤log2x≤log28即t∈［0,3］
∴y=(log2x－1)(log2x－2)=(t－1)(t－2)=t2－3t+2=(t－)2－ t∈［0,3］
∴当t=,即log2x=,x=2=2时，y有最小值=－.
当t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8时，y有最大值=2.
12.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表达式及定义域；（2）求f(x)的值域。
【解】（1）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义，
则又∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),∴lgy=3x(3-x)。∴y=103x(3-x)(0<x<3)。
（2）∵3x(3-x)=-3x2+9x=-3(x-)2+(0<x<3),∴0<-3x2+9x≤。∴1<y≤10。
∴y=f(x)的定义域为（0，3），值域为（1，10）。