让课堂因数学思想方法的渗透充满理性与灵动.doc

初中数学课堂教学中数学思想与方法的渗透
南县教研室 孙彦波

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。因此引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是由知识转化为能力的桥梁，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证，是现代教学思想与传统教学思想的根本区别之一，是深化数学教学改革的突破口。同时，从宏观意义上讲，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力；从微观意义上讲，在数学教学和数学学习中，要再现数学的发现过程、提示数学思维活动的一般规律和方法。 数学思想方法不仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作角，而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，形成数学学习效果的广泛迁移，甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃。
数学思想方法的形成难于知识的理解和掌握，数学思想方法教学应与知识教学、学生认知水平相适应，数学思想方法教学应螺旋式上升、并遵循阶梯式的层次结构．在实验研究中，遵循初中学生学习认识规律，借助浙江省编教材的合理的知识体系，在初中三年的学习过程中，笔者认为数学思想方法教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个层次.遵循层次性原则，达到螺旋上升的目的．

第一层次
第二层次
第三层次
第四层次
层次名称
描点
布线
拓面
构体
层次
时间
七年级上学期初至七年级下学期中期
七年级下半学期中期至八年级上学期
八年级上半学期末到九年级上半学期
九年级上学期至初中升学考试
层次
任务
渗透孕育期
领悟形成期
应用发展期
巩固深化期
层次
目标
让学生了解，体会数学思想方法
让学生初步形成数学思想方法的雏形
让学生理解、应用数学思想方法
让学生巩固、深化数学思想方法
教材要求关键词
建立数感；形成初步的空间观念；实践活动
经历从实际问题中抽象出数量关系；
注重使学生经历实际问题中建立数学模型
数学问题具有综合性和实用性
学生识知水平关键词
注重“双基”，抽象思维差，
初步体验数学知识之间的联系；感受数学与实际的关系；对逻辑问题感兴趣
具有初步的推理能力；能比较抽象的水平上提出数学问题
从解决问题中追求一种成功感
1、描点：数学思想方法的渗透孕育期——让学生了解、体会数学思想方法
描点层次完成的时间大致在七年级上学期至七年级下学期中段。 刚进入初中的学生对数学认识比较肤浅，认为数学就是算算和画图形，对于数学思想方法就根本没有一点概念了。那么在数学教学中，我们的主要任务是培养学生的兴趣和落实“双基”， 在知识发生过程中渗透数学思想方法，让学生在日常数学学习中了解和体会数学思想方法。
第一学段是培养学生数学思想方法的启蒙层次，老师的任务就是带领学生在数学思想方法这张白纸上“踩出第一个脚印”。虽然数学思想方法纳入数学基础知识范畴，但数学思想方法是数学知识的精髓，它内隐于数学知识之中，需要从数学知识中挖掘、提炼．强化、逐步形成。这就要求教师认真钻研教材，从整体出发，有计划、有目的的结合数学知识的传授，进行数学思想的渗透。
一般在以下章节重点埋下数学思想方法的“种子”。
教学内容
有理数和绝对值
数轴
二元一次方程，有理数运算
整式乘法和因式分解
乘法分式
思想方法
分类思想
数形结合
消元和换元等转化思想
整体思想
配方法
同时，可以讲一些有关数学思想方法的故事、典故等，从而提高学生对数学思想方法的关注度，激发学习兴趣。
案例1：例如有理数加法法则的教学，我通过设计若干问题，有意识地渗透了分类的数学思想方法。①首先让学生讨论；在引入负数后，有理数的加法会出现几种情况？引导学生归纳出有理数相加的几种类型，如；（+100）+（+50）、（-50）+（-100）、（+100）+（-50）、（-100）+（+50）、（+100）+（-100）、（+100）+0、（-100）+0②接着让学生思考：怎样计算以上两个有理数相加呢？可让学生根据生活中实际的例子，如飞机的两次运动（规定上升为正，下降为负）来找出正确答案。③然后让学生结合上述情况考虑：和的符号与加数的符号有什么关系？和的绝对值与加数的绝对值有什么关系？从而归纳出有理数加法的法则。这个让学生探索推导有理数加法法则的过程，实际上就是应用分类思想解决问题的一个完整的过程。使学生在学习知识的过程中了解和体会；为什么要分类？（是因为一个问题存在几种不同的情况，不能一概而论）及分类的基本原则（分类要完整，不重不漏）。
在随后的去括号法则、有理数的乘法、乘方的教学中均可仿照此方法渗透分类讨论的思想。这样就会在学生大脑中留下数学思想方法的痕迹。
案例2：在教授数轴时，可渗透数形结合的思想。如“数轴上的点A表示－2，距离A点4个单位的点B表示的数是 。”我是如此点评的：
①本题大部分同学常犯的错误是只写出一种情况，但如果我们借助数轴来分析这个题目就很容易想看出本题有两个不同的答案。所以在解决问题时我们经常要借助图形将数学问题直观反映出来，这种方法叫数形结合法。著名数学家华罗庚先生说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。在后面的学习中将经常用到。②初一教材引入数轴，就为数形结合的思想奠定了基础。在以后学习有理数的大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义、列方程解应用题中的画图分析等，会充分显示出数与形结合起来产生的威力。
在初中数学教材的每一章节乃至每一道例题，都是数学基础知识和数学思想方法的有机结合。初一数学定理、公式、法则等结论都是具体的判断，而判断则可视为压缩了知识链。教学中要恰当地拉长这一知识链，引导学生参与结论的探索、发现、推导的过程，弄清每个结论的因果关系，探讨它与其他知识的关系，领悟引导思维活动的数学思想。
2、布线：数学思想方法分类的领悟形成期——让学生初步形成数学思想方法的雏形
布线层次完成的时间大致在七年级下学期中段至八年级上学期末，对于第二段的学生已经开始能够理解和表达简单事物的性质，领会事物之间的简单关系。有一部分学生不满足于数学只是写写算算地游戏，而对于一些有具有挑战性的逻辑问题和抽象问题有强烈的兴趣，而要解决这些问题是需要一定的数学思想方法作为支撑。这一层次为数学思想方法分类的领悟形成期，其教学设计应体现数学思想方法的着意渗透、延迟判断、小步推进、分层达到的推导思想。通过教学，启发诱导学生归纳总结出数学思想方法；通过教学设计，让学生领悟、提炼、概括出数学思想方法；通过解题应用，达到对数学思想的理解和掌握，让学生初步形成数学思想方法的雏形
著名数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”这就是说，对探索结论过程的数学思想方法学习，其重要性决不亚于结论本身。数学定理、公式、法则等结论，都是具体的判断，其形成大致分成两种情况：一是经过观察，分析用不完全归纳法或类比等方法得出猜想，尔后再寻求逻辑证明；二是从理论推导出发得出结论。总之这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例。进入这个层次，数学课堂教学必须充分暴露思维过程，老师要引导学生参与教学实践活动，揭示其中隐含的数学思想，才能有效地发展学生的数学思想，提高学生的数学素养，让学生在上层次对数学思想方法已有了直观了解的基础上初步形成数学思想方法的雏形，使学生逐步理解掌握的数学思想方法可使数学知识的学习有触类旁通，事半功倍的效果。
案例3：以“多边形内角和定理”的课堂教学为例，简要说明。
教学目标：增强运用化归思想处理多边形问题的一般策略；掌握运用类比、归纳、猜想思想指导思维，发现多边形内角和定理的结论；学会用化归思想指导探索论证途径，掌握化归方法；加强数形结合思想的应用意识。
教学过程：
（1）创设问题情境，激发探索欲望，蕴涵类比化归思想。
教师：三角形和四边形的内角和分别为多少？四边形内角和是如何探求的？（转化为三角形）那么，五边形内角和你会探索求吗？六边形、七边形……n边形内角和又是多少呢？
（2） 鼓励大胆猜想，指导发现方法，渗透类比、归纳、猜想思想。
教师：从四边形内角和的探求方法，能给你什么启发呢？五边形如何化归为三角形？数目是多少？六边形……n边形呢？你能否用列表的方式给出多边形内角和与它们边数、化归为三角形的个数之间的关系？从中你能发现什么规律？猜一猜n边形内角和有何结论？类比、归纳、猜想的含义和作用，你能理解和认识吗？
（3）暴露思维过程、探索论证方法，揭示化归思想、分类方法。
教师：我们如何验证或推断上面猜想的结论呢？既然多边形内角和可化归为三角形来处理，那么化归方法是否唯一的呢？一点与多边形的位置关系怎样？（分类思想指导化归方法的探索）哪一种对获取证明最简洁？（至此，教材中“在多边形内任取一点O……的思维过程得以充分自然地暴露）
（4）反思探索过程，优化思维方法，激活化归思想。
教师：从上面的探索过程中，我们发现化归思想有很大作用，但是，又是什么启发我们用这种思想指导解决问题呢？原来，我们是选择考察几个具体的多边形，如四边形、五边形等，发现特殊情形下的解决方法，再把它运用到一种特殊化思想，它对提供解题方法有重要作用。我们再来考察一下式子：n边形内角和=n×180°-360°，你能设计一个几何图形来解释吗？对于n边形内角和=（n-1）180°-180°,又能作怎样的几何解释呢？
让学生亲自参加与探索定理的结论及证明过程，大大激发了学生的求知兴趣，同时，他们也体验到“创造发明”的愉悦，数学思想在这一过程中得到了有效的发展。
3、拓面，数学思想方法应用发展期——让学生理解、应用数学思想方法
拓面层次完成的时间大致在八年级上学期末至九年级上学期末，此学段的学生的抽象思维已有一定程度的发展，具有初步的推理能力。同时，也在数学和其他学科领域积累了较为丰富的知识和经验。对于一部分学生已经开始慢慢地尝试运用数学思想方法来指导自己的解题。只是思维具有一定的片面性，缺乏连贯性。因此，适时对数学思想作出归纳、概括是十分必要的。这一层次为数学思想方法应用发展期，教学时应有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程，尤其是在章节结束或单元复习中对知识复习的同时，将统摄知识的数学思想方法概括出来，可以加紧学生对数学思想方法的运用意识，也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解，有利于活化所学知识，形成独立分析、解决问题的能力。
进入第三层次的学习，数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固。数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外，使学生形成自觉应用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。教师可通过小结、复习和专题讲座，提炼、概括出数学思想方法。这样做的目的是逐步培养学生尝试用多种数学思想方法解决问题，同是将不同模式的知识系统化、条理化。让学生在解题时运用数学思想方法不再是“一招一式”，能找出一套“组合拳”，同时让学生思维能力更全面，更严密、更有连贯性。
案例4：笔者在学生对分类思想有了一定了解的基础上，在初二下开设了分类讨论的专题研究课：特殊几何图形的分类讨论
教学目标：（1）使学生体会什分类讨论思想在解题中的运用；
（2）能够初步判定什么类型的题目需要分类讨论
（3）掌握用分类讨论思想和方法解决数学问题基本步骤；
（4）培养学生思维的条理性、慎密性、灵活性，提高学生化整为零，完整考虑问题的能力；
教学重点：正确制定分类讨论标准，不重不漏找出几种情况
教学难点：1）正确制定分类讨论标准，不重不漏找出几种情况
2）合作探究一利用勾股定理求P7、P8的坐标及变式2中利用勾股定理求∠A为直角时P的坐标。
教学过程：
一、小组合作：
有相同四个小长方形，它们的长为30厘米，宽为10厘米，现将它们拼成一个大的长方形，求大长方形的周长为多少？

（引出分类的概念及课题）
二、试一试：
1）、ΔＡＢＣ中，∠Ｂ＝15°，ＢＣ边上的高为ＡＣ边的一半，求∠ＢＡＣ的度数　　　　　　
2）、等腰ΔＡＢＣ中，与∠Ａ相邻的外角为１１０°，则∠Ｂ＝　　　　　　　　。
引导学生思考：1）什么类型的题目要分类？
2）运用分类讨论方法解题的步骤？
①确定分类对象
②制定分类标准
③逐级逐类分类（不重不漏找出不确定因素的几种情况）
④结论
三、合作探究
1. 在平面直角坐标系内,已知点A(2,1), O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk. 直接写出Ｐ的坐标．
变式1. 在平面直角坐标系内,已知点A(2,1), O为坐标原点.过Ａ点作ｘ轴的垂线ＡＣ，垂足为Ｃ请你在坐标系中确定点P,使得以Ａ、Ｏ、Ｃ、Ｐ成为平行四边形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk.直接写出Ｐ的坐标．
变式2. 在平面直角坐标系内,已知点A(2,1), O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为直角三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk.直接写出Ｐ的坐标．
（这几道题目是几何中常见的几种要分类讨论的题目，在初三也常常与函数联合构成综合题。若等到初初三就题论题的讲评，缺乏系统性，学生当时听懂了，但过一段时间做又会觉得困难。本节课以专题来讲，使学生通过问题变式的教学，尤其是让学生独立探索解决方法的活动，使其真正认识到求解该问题的方法的实质是分类讨论，并归纳出等腰Δ或直角Δ： 按顶角或直角分类、平行四边形按对角线分类是解决此类问题的常用分类标准）
四、小结
1、本节课的思想方法是什么？
2、什么类型的题目要分类讨论？
3、分类讨论的解体步骤是什么？
4、本节课常见的图形的分类标准是什么？
（揭示知识之间的内在联系是小结复习的功能之一。由于同一内容可表现不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点。故在课后小结应该在纵横两方面整理出数学思想方法及其系统，加深学生的印象）
五、作业
１、数轴上与－３的距离为５的点为　　　　　。
２、直角三角形两边长为６、８，求三角形的周长为　　　　　　　。
3、等腰三角形一腰上的高线为腰长的一半，求顶角的度数。
4、在同一平面内，点A与点B同在一条直线l上且不重合，点P在l外，若A、B为定点，P为动点，则使ΔPAB为等腰直角三角形的点P最多有 个，若P、B为定点，A为动点，则ΔPAB为等腰三角形的点A最多有 个。
5、、在直角坐标系中，已知点P（2，2），点T（t，0）是x轴上的一个动点，
（1） 求点P关于原点的对称点P′的坐标；
（2） 当t取何值时，⊿P′OT是等腰三角形？
一变：其它条件均不变，若点T（0，t）是y轴上的一个动点，
当t取何值时，⊿P′OT是等腰三角形？
二变：其它条件均不变，若点Ｔ是坐标轴上的一个动点，要使⊿Ｐ′ＯＴ为等腰三角形，这样的点Ｔ有多少个？并求出它们的坐标．
开设专题讲座，讲清其来龙去脉、内涵外延、作用功能等等。这是学生掌握数学思想方法，也是进一步认识外显式的数学知识的有效途径。 当然，仅此一节课或一个问题还不足以说明学生真正具备了带有个性特征的、生动活泼的数学思想，但只要一节课一节课地坚持，一个问题一个问题地积累，学生的数学思想就会产生质的飞跃。
4、构体：数学思想方法的巩固深化期——让学生巩固、深化数学思想方法
构体层次完成的时间大致在九年级上学期中段至毕业升学考试， 这一层次的教材内容主要是二次函数，三角函数及圆与直线、圆与圆的关系。这些知识本身是初中教材中的一个个制高点，有较强的综合性，蕴含多种数学思想方法。而新教材的改革动向强调数学的实用性，所以在初中后期学习中，有很多数学问题涉及实际生活生产中的问题，同一个问题首先要求学生有较强的数学建模思想。只有将多种思想方法联合起来运用才能解决一个问题。同一个问题有不同的方法和技巧，这需要学生具有熟练应用数学思想方法来指导自已解决问题的能力。
进入初三的学生，面对升学压力，开始有强烈的追求个人成功的欲望，他们表现得有明确目标性和强烈的进取心。部分学生开始从解决问题中追求一种成功感、满足感甚至是陶醉感，他们较其他的同学有更强的意志力去钻研数学问题。因此最后这一层次的学习是通过“问题解决”，掌握和深化数学思想方法。问题是数学的心脏。数学问题的解决过程，实质是命题的不断变换和数学思想方法反复运用的过程；数学思想方法则是数学问题的解决的观念性成果，它存在于数学问题的解决之中。数学问题的步步转化，无不遵循数学思想方法指示的方向。因此通过问题解决，培养数学意识，构造数学模型，提供数学想象，伴以实际操作，诱发创造动机，就把数学嵌入活的思维活动之中，并不断在学习数学、用数学的过程中，引导学生学习知识、掌握方法、形成思想、促进思维能力的发展。达到让学生巩固、深化数学思想方法的目的。
笔者在这一学段以问题解决为载体帮助学生建构一个较完整的数学思想方法体系，让学生具备系统性的思维能力。对某些问题，要引导学生尽可能运用多种方法，从各条途径寻求答案，找出最优方法，培养学生灵活变通解题的能力；对有些问题可以进行由简到繁、由特殊到一般的推论，让学生大胆联系和猜想，培养其思维的广阔性；对有些问题可以分析其特殊性，克服惯性思维束缚，培养学生思维的灵活性；对一些条件、因素较多的问题，要引导学生全面分析、系统综合各个条件，得出正确结论，培养其横向思维等等。此外，还要引导学生在解题以后进行反思，注意优化解题过程，同时总结解题经验，提炼数学思想方法。当学生订正完题目后，特意要让学生总结一下解决这个问题一共用了几种数学思想方法，这些方法都起到了哪些关键性作用。还可以鼓励学生画出解题的数学思想方法系统图，让学生明白运用什么方法解决了哪一步的问题。对数学问题中的思维的“盲点”要特别关注，特别在分析探究中让学生明白如何才能将这些“思维盲点”点亮。

案例5：已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，其中点B在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线＝－2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）　
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
　解得
∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　　
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC ∴＝　 　即＝
∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴＝　∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　 自变量m的取值范围是0＜m＜8　　
（4）存在．理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8　　
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．　　
点评：
这个问题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线．解题时要注意运用数形结合思想、方程思想、转化思想和函数思想。将图象信息与方程的代数信息相互转化。学生解决此类综合性问题必须具备熟练应用数学思想方法来指导自已解决问题的能力。
①在初中层次学习中，我们学习了三块知识：二次三项式；一元二次方程和二次函数，它们三者形式上大部分相同，它们内在联系也十分紧密，我们用如下图表将三者关系联系起来。

一元二次方程
二次三项式

二次函数

方程有两个不相等实数根x1,x2
可以分解为
函数图像与x轴有两个交点（x1,0）(x2,0)

方程有两个相等实数根x1
可以分解为
函数图像与x轴有一个交点（x1,0）即

方程没有实数根
二次三项不可以分解
函数图像与x轴没有交点
有了以上的联系，我们可以利用方程思想来解决整式的问题和函数问题；也可以利用函数思想来解决方程问题。题目中二次函数与轴有交点，可转化为一元二次方程有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解。在第（1）小题时求A点的坐标时，巧妙地应用数形结合的方法（应用二次函数的对称性）很容易求出坐标，而有的同学先求出函数解析式再来解方程求出A点的坐标，这样的方法既浪费时间又增大了犯错的可能性。
②本题在解决第（2）小题时，可以选择不同的方法去求函数解析式。在解决第（3）小题时又应用了相似变换的思想求出线段的长度；在解决第（4）小题时，应用了配方法。
B、C的坐标
A坐标
函数解析式
用m表示面积
求最大面积
方程思想
数形结合
方程思想（构造方程，有三种方法）

相似变换
配方法
③指导学生在解题后，画一张清晰的解题思路图，帮学生理清思路，培养学生的思维习惯和思维方法。让学生知道一道综合题目用到哪些数学思想方法，知道这些方法具体运用到哪一个解题步骤。这一点对中下层面的学生帮助特别大。
数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型。近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式出现。解数学综合性题一般可分为认真审题、理解题意，探求解题思路，正确解答三个步骤，必须要有科学的分析问题的方法。数学思想是解数学综合性题的灵魂，要善于总结解数学综合性题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习解综合性题的关键。通过这种方式记错题笔记让学生在每解决一个问题进行一次有关数学思想方法的反思，并在老师的指导下，画出解决问题的思路图，有意识地从数学思想方法的高度去让学生总结解题经验，长期坚持这样做会使学生在应用数学思想方法的能力达到一种炉火纯青的境界。
在数学实践中，我们深深地体会到，只有用数学思想武装起来的学生解决问题才有远见和洞察力；只有把人类积累的思想财富运用于课堂教学的始终，才能使我们的教学朝气蓬勃、充满生机，才能叩开学生思维的大门，培养他们的创造意识，才能把课堂变成同学们吐露才华的幸福乐园。如果说教学是一门艺术，那在教学中渗透思想方法那更是艺术中的艺术。让我们一起携起手来，为生命的“艺术”努力吧。

7