中国科学院2012年高等代数考研试题.doc

2012中科院高等代数
1.(15分) 证明与没有重因式。

2. (20分) 设是中的非零多项式, =,且证明对任意均有:

其中:或者。

3. (20分) 设矩阵且满足;。
求矩阵的所有特征值
求及

4.(15分) 若阶方阵满足,其中为的解空间,为的解空间,证明。

5. (20分) 若阶方阵可逆,且均为维列向量又满足。
证明可逆,并求其逆矩阵.
证明可逆,并求其逆矩阵.

6. (20分) 证明:任意阶复方阵与其转置矩阵相似。

7.(22分) 若阶方阵满足。
证明: 为内积.
若为,生成的子空间,求的一组标准正交基.

8.(18分) 若,,….. 为线性空间上的一组非零变换.证明:线性空间上存在向量,使得,