数学培优---创新题.doc

高三数学（文）培优
创新题
班级 姓名 学号
1.在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：w_w k#s5_u.c o*m

a
b
c
d

a
b
c
d
a
a
b
c
d

a
a
a
a
a
b
b
b
b
b

b
a
b
c
d
c
c
b
c
b

c
a
c
c
a
d
d
b
b
d

d
a
d
a
d
那么d A．a B．b C．c D．d
2.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=（m，u），b=（p，q），另a⊙b=mq-np，下面的说法错误的是
（A）若a与b共线，则a⊙b=0 （B）a⊙b=b⊙a
（C）对任意的λ∈R，有（λa）⊙b=λ（a⊙b） （D）（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2 |b|2
3.设函数的集合，
平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是 （A）4（B）6（C）8（D）10
4.记实数，，……中的最大数为max，最小数为min。已知ABC的三边长位a,b,c（），定义则“=1”是“ABC为等边三角形”的
A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有则称直线为曲线与的“分渐近线”。给出定义域均为D=的四组函数如下：
①，；②，；
③，；④，。
其中，曲线与存在“分渐近线”的是
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
6.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是
7.若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知，则 ， ．
8.若规定E=的子集为E的第个子集，其中，则是E的第 个子集；E的第211个子集是
9.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|为整数，为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
10.若实数、、满足，则称比接近.
（1）若比3接近0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.

创新题参考答案
1、解：由上表可知：,故，选A。
2、若与共线，则有，故A正确；因为，而
，所以有，故选项B错误，故选B。
3、当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B
4、若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以A正确.
5、存在分渐近线的充要条件是时，。对于，当时便不符合，所以不存在；对于，肯定存在分渐近线，因为当时，；对于，，设且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；当时，，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是选C
6、②③根据题意，在①④中任取两点，连接起来，如下图，不符合题意。

7、因为，而，所以m=1,2,所以2.

所以＝1, ＝4，＝9，＝16，
猜想
8、5，
9、直接验证可知①正确.
当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确
对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误
取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1ÏT，故T不是封闭集，④错误
答案：①②
10、 (1) xÎ(-2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，，
因为，
所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；
(3) ,kÎZ，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，
函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ．