拟凸向量值映射次微分性质及优化问题的最优性条件.pdf

数学杂志Vol.43(2023)J.of Math.(PRC)No.4拟凸向量值映射次微分性质及优化问题的最优性条件史小波，高?英，李林廷，吴?春（重庆师范大学数学科学学院，重庆4 0 1331)摘要：本文研究了拟凸向量值映射的次微分及其拟凸向量优化问题的最优性条件.首先，引进恰当K-拟凸的概念，并利用 函数对其进行标量化，得到恰当K-拟凸的等价刻画然后，给出拟凸向量值映射的四种次微分的定义，并研究了它们的性质最后，利用拟凸向量值映射的次微分研究拟凸向量优化问题弱有效解的最优性条件，并用例子说明其合理性，关键词：拟凸向量值映射；次微分；弱有效解；最优性条件MR(2010)主题分类号：90 C29；90 C 4 6文献标识码：A1引言向量值映射的研究一直是研究者们高度关注并深入研究的重要课题目前，各种广义锥凸性的概念已得到了充分的认识和广泛的应用许多领域都与各种锥凸性概念联系紧密，如：198 5年，Jahn1 给出的分离定理；1999 年,Craven2给出的择一定理等在这其中，锥拟凸性的概念是最重要的锥凸性概念之一，198 9年Luc3和Ferro4分别提出了向量值映射的锥拟凸性和恰当锥拟凸性的定义由于推广途径不一，许多文献提出了不同的锥拟凸向量概念，主要包括：锥拟凸、恰当锥拟凸、自然锥拟凸、标量锥拟凸等2 0 12 年,Lin5给出了几种不同锥拟凸性之间的关系.尽管给出了拟凸向量值的多种锥拟凸性的概念，但是对于它的次微分及其他在拟凸向量优化中的应用基本是处于空白的，因此研究拟凸向量值映射的次微分以及它在拟凸向量优化问题中的应用是非常有必要的.此外，虽然直接研究和求解锥拟凸优化问题存在巨大困难，但是我们可以使用标量化方法将向量优化问题转化为标量优化问题到目前为止，最为常用的两个非线性标量化函数是Gerstewitz和函数.函数又称为径向距离函数，197 9年由Hiriart-Urnity6提出，Zaffaroni7给出了其详细的分析及应用，包括重要的分离性质、次线性性质、单调性及连续性因此，我们可以利用 函数对拟凸向量优化问题进行标量化，再利用已有数值优化问题的结果，给出拟凸向量优化问题的研究.2预备知识设X为实向量空间，Y为赋范向量空间，KCY为内部非空的凸锥.*收稿日期：2 0 2 2-0 6-12基金项目：国家自然科学基金（117 7 10 6 4,119910 2 4)，重庆市科学技术研究重点项目(KJZDK202001104)，重庆市高校创新研究群体项目（CXQT20014)，重庆市自然科学基金面上项目(cstc2019jcyj-msxmX0390)，重庆市留学人员回国创业创新支持计划（cx2020096).作者简介：史小波（1997-)，女，重庆，研究生，主要研究方向：多目标优化.E-mail:通讯作者：吴春（197 6-)，男，重庆巴南，副教授，主要研究方向：值分布及偏微分方程理论中图分类号：0 2 2 1.6文章编号：0 2 55-7 7 97(2 0 2 3)0 4-0 336-11接收日期：2 0 2 2-10-2 1No.4空间Y上的偏序由K确定：对任何的y,EYy 0,i=1,.,n).设=(a1,an)T,y=(y1,.,yn)T Rn,定义向量a,y的序关系:ayayaya大yy-a$intR;ay y-$R0.(c,y)和Ty都表示 Rn 中的向量=(c1,an)T 与y=(1,yn)R 的内积,即设非空集合CC Rn，c lC,c o n e C 分别表示C的闭包和锥包.对任意的EclC,C在的切锥和法锥分别定义为T(C,a)=d E R:(ari)c C,t 0,s.t.Jlim _-=d),N(C,z)=d E R:dT 0,V E T(C,a).特别地,当 C 是凸集时,法锥退化为 N(C,)=a*Rn：c*,-)0,VE C).此外，文献16 中定义了如下的-法锥Ne(C,co)=e R:(aco,-o)e,Va EC).定义 2.18 设:CR.若对任意的1,2E,入0,1 有p(入a1+(1-入)2)maxp(1),0(c2).则称(）是C上的拟凸函数.定义 2.2 9-12 函数 :C R=RU oo 在 E dom(处的 Greenberg-Pierskalla 次微分定义为星型次微分为*()c*,-)0,V E S(),史小波等：拟凸向量值映射次微分性质及优化问题的最优性条件c,y)=aTy=Zi=1a*0*p(a)(a*,-)0,V E S(a),337y-aEintR;y-E R (0;y-E R;naii.i-80ti338Gutirrez次微分定义为*()a*,-)(c)-(a),V S(),Plastria下次微分为a*()a*,-)()-(),V E S().其中,dom=(E Rn:0(a)+o0),S()=E C:p(a)2)f(i)或者f(1+(1-)2)f(c2).称f()在X上是恰当K-拟凸的.引理2.114 设f：X Y 为向量值映射，则f()在X上是恰当K-拟凸的当且仅当集合(EX:f()y)是凸集,VyEY.定义2.4 14 设g:R,对任意的y,Y,如果g(y)g(z)，则称g是单调的;如果 g(y)g(z)，则称g是严格单调的.2003年,Zaffaroni在文献7 中研究了如下一类非线性标量化函数.定义 2.57)径向距离函数-:R定义为-(y)=d-(y)-dy-(y),Y,其中 da(y)=inf ly-all,y Y.aEA引理2.2 7 设y,之EY,KY，则下面的叙述成立.(i)-k(y)0 台y-K;(i)若y,则-k(y)1+（1)2）-f(1)E-K,则数学杂志p(a)c a c i+(1-)2)-f(c i)-f(i+(1-)2)-f(c1),即-f(1+(1-入)2)-f(1+(1-)2)-f(c1)+-f(1).又-f(1+(1-入)2)-f(1)+f(1)-f(a 1+(1-)2)-f(1)+-f(c 1),从而因此入1+(1-入)2EL,即 L是凸集.下面证明若（-f)(c)是拟凸的，则f()在上是恰当K-拟凸的.反证，假设f(c)不是恰当-拟凸的，则存在1,2,入0,1 有f(入1+(1入)2)f(r1),且f(入1+(1-入)a2)f(a2),即f(ci)-f(入ci+(1-)2)K,f(2)-f(入i+(1-)2)K.由(-Kf)()是拟凸可知(-o f)(c i +(1-)a 2)m a c(-0 f)(i),(-o f)(2).假定(-f)(1)(-f)(2),则(-f)(1+(1-)2)(-f)(i),则有(-o f)(1)-(-o f)(i+(1-)2)0,从而-k(f(ci)-f(入1+(1-)2)0.因此f(c1)-f(ai+(1-入)2)E K.(3.2)式和(3.1）式矛盾，因此结论成立.定理3.2 设f：X Y 为向量值映射，g：Y R 为单调递增函数，且对y,EY满足则f(c)在X上是恰当K-拟凸的当且仅当(gf)()是拟凸的.证先证若f(a)在X上是恰当K-拟凸的,则(gof)()是拟凸的.由f()是恰当K-拟凸定义知,对任意入0,1,1,2 有f(1+(1-)2)f(1)或者f(1+(1-)2)f(2).由g函数为单调递增的有或者史小波等：拟凸向量值映射次微分性质及优化问题的最优性条件-f(入1+(1-)2)-f(a 1).yk 2 g(y)g(2),(g o f)(入a1+(1-入)a2)(go f)(c1),(g o f)(入ai+(1-)a2)(g o f)(2).339(3.1)(3.2)340所以(gf)(1+(1-)2)mac(gf)(1),(g f)(2).因此(gf)(c)是拟凸的.下证若(gf)()是拟凸的,则f()在X上是恰当K-拟凸的.对任意的Y,X,令集合 L=(alf(a)y),根据引理2.1知,要证()是恰当K-拟凸的，只需证L是凸集.假设L不是凸集，则存在yEY,存在a1,a2ELy，入0,1，使得入i+(1-)2Ly.从而f(1+(1)2)y.根据g的单调性,有(3.3)由(gf)(a)是拟凸可知下水平集(X(gf)(）g(y)是凸集.又由f(i）,f(2)y,可以得出(go f)(a1)g(y),(go f)(2)g(y).从而(3.4)显然(3.4)式和(3.3)式矛盾，因此f(）是恰当K-拟凸的.4拟凸向量值映射的次微分本节内容主要定义了恰当K-拟凸映射的次微分，并简单讨论了该次微分的一些性质.1984年，陈光亚在文献15中给出了向量值函数有效次微分的定义.定义 4.115 给定集合 AC RP,aEA,如果不存在EA,使得a,则a称为 A的弱有效点.A的全体弱有效点组成的集合记为effA.定义4.2 15称F：U R P在uEU点是有效次可微的，其中UCRn,如果存在一个向量u*E Rn 使得 F(u)-u,u*)EeffF(u)-(u,u*)：EU),则向量u*称为F在u点的有效次梯度,F在u点的有效次梯度的全体，记为F(u)，称为F在u点的有效次微分.受该定义启发，我们给出如下恰当K-拟凸映射的次微分.定义4.3函数f：X Y 在EX处的次微分定义为f(a)T(-a)f(a)-f(a),V f(c)f(a),Ef(a)T(c-a)f(a)-f(a),V E f(a)f(a),EOf(a)T(-)0,V f(r)f(a),Ef(a)T(-)0,V E f()f(a).其中下水平集f(c)f(a)=E X:f()f(),f()f(z)=E X:f()f(a).注4.1(i)陈光亚老师定义的次微分是包含在上述次微分里面的.(ii)当为拟凸数值函数时，定义4.3退化为定义2.2.而且根据次微分的定义显然有f()f()f()f(),这也是结论()()*()()的推广。数学杂志(g o f)(入ai+(1-)2)g(y).(g o f)(入ai+(1-)2)0 有(f)()=入f(a).证先证(f)()f().任取(f)()，由定义可知T(-)入f(a)-入f(a),V E(X入f(a)入f(a),从而有(u/)T(-)f()-f(a),VE(E XIf()入f(a),即(u/)T(c-a)f()-f(a),V E(E XIf(c)f(a).这表明/入E f(a),故 E 入f(a).下证f()(f)().设 0,任取f(),由定义可知(u/)T(-a)f(c)-f(a),V E(E XIf(ac)f(a).从而有(u/)T(-)f(c)-f(a),V E E XIf()f(a).即T(-a)入f(c)-f(a),V E(E X入f(a)入f(a).这表明E(入f)(),从而结论成立.注4.3下面举例说明，当入 0 时，定理4.2 中的结论不一定成立.例 4.3设 X=R,Y=R2,K=R,f(c)=(fi(),f2()T.当 0 时,fi(c)=,f2(ac)=-1.当0 时，fi()=,f2(c)=-2.取=0,入=-1时，根据定义可知(f()=AUBUC,(f(a)=DUEU F,入(f()=GUH.其中A=(c,y)E R?:E(1,+o0),y E R),B=(a,y)e R?:a E R,y E 0,+o0),C=(c,y)E R?:=1,y=O),D=(r,y)E R2:E(-1,+o0),y E(-00,0),E=(,y)e R?:E(-80,-1),y E(0,+0),F=(,y)E R?:=-1,y=0),G=(a,y)E R?:E(-00,-1),y E R),H=(c,y)E R?:E R,y E(-o0,0).显然%(入f)(a)入%f(a).关于拟凸数值函数次微分的运算法则，显然有f(a)+=g()(f+g)(a),但我们发现(f()+g()(f()+(g()是不一定成立的,见如下例子.例4.4设X=R,=R,=0,f()=3+1,g(c)=-3.由定义可知(f(a)=0,(g(a)=0,8(f(a)+g()=1,+0).数学杂志Vol.43No.4因此(f(a)+g(a)(f(a)+(g(a).下面我们举例说明对于拟凸向量值映射的次微分，%(f()）+哈(g(c)）%(f(）+g()是不一定成立的，见如下例子.例 4.5 设 X=R,Y=R2,K=R,f(c)=(fi(c),f2()T.当 0时,fi()=0,f2(c)=0.当 0 时,fi()=(-1)3+1,f2(c)=.g(a)=(g1(a),92()T.当 0 时,91(a)=0,92(ac)=0.当 0 时,91(a)=-(-1)3+1,92()=-.令 h(ac)=f(c)+g()=(hi(ac),h2(c)T,则 hi()=0,h2(a)=0.取=O时,根据定义可知f(a)=AUBUC,(g(a)=D,(h()=EUFUC.其中故(f(a)+(g()(f(a)+g().5拟凸向量优化的最优性条件本节内容我们主要利用%f()次微分研究拟凸向量优化问题弱有效解的最优性条件.考虑下面的向量值优化问题：(VOP)其中CX，f：X Y 是恰当K-拟凸的.定义5.1对于（VOP）问题有以下解的概念.设EC(i)若不存在EC,使得f(c)f(a),则称C 是（VOP）问题的有效解.(ii)若不存在EC,使得 f()f(a),则称EC 是(VOP）问题的弱有效解.定义 5.2 设 e=(e1,.,Em)T 0,E C,(i)若不存在EC使得fi()f;()-i,Vi1,m),则称是(VOP)问题的-弱有效解.(ii)若不存在 E C 使得则称是（VOP）问题的-有效解.首先，我们给出无约束向量优化问题弱有效解的最优性条件.定理5.1当C=X时,EX为(VOP）问题的弱有效解当且仅当0 Ef(a).史小波等：拟凸向量值映射次微分性质及优化问题的最优性条件A=(c,y)E R?:E R,y E(0,+),B=(,y)E R?:E(0,+oo),y E R),C=(c,y)E R?:=0,y=O),D=(,y)E R?:E(0,+o0),y E(-00,-1),E=(c,y)E R2:E(0,+o0),y E(-c0,0),F=(,y)E R?:E(-0,0),y E(0,+80).fi(c)k f;()-ei,Vi E 1,.,m),fi(ac)k fi;(a)-ej,3j E 1,.,m),343min f()s.t.E C.344证充分性：反证,假设不是f(c)的弱有效解,则存在X,使得f()f(a),即f(c)-f(a)0.由0 Ef()可知从而这与f()f(a)0矛盾,因此为(VOP)问题的弱有效解.必要性:反证,假设0 f(a)，则存在f()f(a),有f()-f(a)0 时,fi(c)=,f2()=-1,当0时,fi()=-1,f2(c)=-1.取=O时，由定义可知f(a)=AUBUC.其中即0 E哈f(a),且容易验证=0 为该问题的弱有效解.下面我们考虑带有约束的拟凸向量优化问题的最优性条件.定理 5.2 设 X=Rn,=RP，=R，C.若存在入 intR，使得f(a)n-N(C,）,则为（VOP）问题的弱有效解.其中N(C,)=q Rpxn：QN(C,a).证明设存在intR,使得f(a)-N(C,),则存在f()和N(C,)使得=-q.由 N(C,)可知,对任意 C有 0,使得f()-入N(C,),并且为(VOP）问题的弱有效解.注5.1定理5.2 的逆命题不一定成立，见例5.3.例 5.3 设 X=R,=R2,K=R,f(c)=(fi(c),f2()T.当 0 时,f(a)n-入N(C,a)=.推论5.1设X=Rn,=Rp，=R，C.若存在入intR，使得%f(a)n-N(C,）,则为（VOP）问题的弱有效解.其中入N(C,）=q Rpxn：N(C,a).注5.2 当法锥N(C,)改为N。(C,)时，利用上述次微分可得出如下近似解的最优性条件.定理5.3设X=Rn,=Rp,K=R,C.若有f()-N(C,),则为(VOP)问题的-有效解.证 由f()n-N(C,)可知,存在,有f(a)-N(C,),即f()且 E-N(C,),则-Ne(C,).于是有(-)T(-),即假设不是(VOP）问题的s-有效解,则存在C有f()-f()-.由f()有(-)f()-f().再由f()f()0可知这与T()一矛盾，因此为(VOP）问题的-有效解.史小波等：拟凸向量值映射次微分性质及优化问题的最优性条件f(a)=R2,N(C,a)=(-80,0.f(a)=AU BU C,N(C,a)=(-0o,0.sT(-)-8.T(-)￥-e.345参考文献1 Jahn.J.Vector Optimization-theory,applications and extensions(2nd Edition)M.HeidelbergBerlin:Spring-Verlag,2011.2 Craven.B.D,Jeyakumar.V.Equivalence of a ky fan type minimax theorem and a gordan typealternative theoremJ.Operations Research Letters,1986,5(2):99-102.3463 Luc.D.T.Theory of vertor optimizationM.Lecture Notes in Economic and Mathematical Systems,Berlin:Spring-Verlag,1989.4 Ferro.F.A minimax theorem for vector-valued functionJ.Journal of Optimization Theory andApplication,1989,60(1):19-31.5 Lin.Y.C,Ansari.Q.H,Lai.H.C.Minimax theorems for set-valued mappings under cone-convexitiesJ.Abstract and Applied Analysis,2012,2012(1):137-138.6 Hiriart-Urruty.J.B.Tangent cones,generalized gradients and mathematical programming in banachspacesJ.Mathematics of Operations 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3(1)：35-44.数学杂志Vol.43SUBDIFFERENTIAL PROPERTIES OF QUASICONVEX VECTORVALUED MAPS AND OPTIMALITY CONDITIONS FOROPTIMIZATION PROBLEMSSHI Xiao-bo,GAO Ying,LI Lin-ting,WU Chun(School of Mathematical Sciences,Chonqing Normal University,Chongqing 401331,China)Abstract:In this paper we study the subdifferentiation of quasiconvex vector valuedmapping and the optimality conditions of quasiconvex vector optimization problems.Firstly,weintroduce the concept of proper K-quasiconvex,scalar it by using function,and obtain theequivalent characterization of proper K-quasiconvex.Then,four subdifferential definitions of quasiconvex vector valued mappings are given and their properties are studied.Finally,the optimalityconditions of weak efficient solutions for quasiconvex vector optimization problems are studiedby using the subdifferential of quasiconvex vector valued mappings,and an example is given toillustrate its rationality.Keywords:quasiconvex vector valued mapping;subdifferential;weak efficient solution;optimality condition2010 MR Subject Classification:90C29;90C46