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(完整)三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时,四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心
定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心。的重心一般用字母表示。
性 质:
1. 外心到三顶点等距,即。

2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即。
3.。
二、三角形的内心
定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心.的内心一般用字母表示,它具有如下性质：
性 质：
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2。三角形的面积＝三角形的周长内切圆的半径．
3.；
三角形的周长的一半。
4。，。
三、三角形的垂心
定 义：三角形三条高的交点叫重心.的重心一般用字母表示。
性 质：
1. 顶点与垂心连线必垂直对边，
即。
2. △的垂心为，△的
垂心为，△的垂心为。

四、三角形的“重心”：
定 义：三角形三条中线的交点叫重心.的重心一般用字母表示.
性 质：
1.顶点与重心的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。
即
3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值．
即。
4. 向量性质：（1);
（2），5.。
五、三角形“四心"的向量形式:
结论1:若点为所在的平面内一点，满足,
则点为的垂心。
结论2:若点为△ABC所在的平面内一点,满足,
则点为的垂心.
结论3：若点满足，则点为的重心。
结论4:若点为所在的平面内一点，满足，
则点为的重心。
结论5:若点为所在的平面内一点，并且满足
（其中为三角形的三边）,则点为△ABC的内心。
结论6：若点为所在的平面内一点，满足，则点为的外心。
结论7：设，则向量，则动点的轨迹过的内心。

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