选修4-5第1节.doc

选修4-5 第一节

1．若不等式>|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
解析：(1,3)　∵≥2，∴|a－2|＋1<2，
即|a－2|<1，解得1<a<3.
2．(2014·潮州模拟)已知不等式|x－2|>1的解集与不等式x2＋ax＋b>0的解集相同，则a＋b的值为________．
解析：－1　由|x－2|>1，得x<1或x>3，依题意知x＝1是方程x2＋ax＋b＝0的解，因此a＋b＝－1.
3．(2014·西安检测)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
解析：2　由|kx－4|≤2得－2≤kx－4≤2所以2≤kx≤6，又不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.
4．(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
解析：5　|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5.
5．(2014·陕西检测)若不等式|x＋1|＋|x－m|<6的解集为∅，则实数m的取值范围为________．
解析：(－∞，－7]∪[5，＋∞)　|x＋1|＋|x－m|≥|m＋1|，又不等式的解集为空集，∴|m＋1|≥6，解得m≤－7或m≥5.∴m的取值范围为(－∞，－7]∪[5，＋∞)．
6．(2014·汕头质检)若∃x∈R，使|x－a|＋|x－1|≤4成立，则实数a的取值范围是________．
解析：[－3,5]　因为|x－a|＋|x－1|≥|x－a－x＋1|＝|1－a|，所以原命题等价于|1－a|≤4，解得a∈[－3,5]．
7．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围是________．
解析：(5,7)　∵|3x－b|<4，∴<x<.由题意得，解得5<b<7，故b的取值范围是(5,7)．
8．已知一次函数f(x)＝ax－2.若不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：[－1,0]∪(0,5]　|f(x)|≤3即为|ax－2|≤3，∴－3≤ax－2≤3，∴－1≤ax≤5，∴，∵x∈[0,1]，故当x＝0时，不等式组恒成立；当x∈(0,1]时，不等式组转化为，又≥5，－≤－1，∴－1≤a≤5，又由题意知a≠0.故实数a的取值范围是[－1,0)∪(0,5]．
9．(2014·济南模拟)设不等式|2x－1|<1的解集为M.若a，b∈M，则ab＋1________a＋b(在横线处填上“>”，“<”或“＝”)．
解析：>　由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0<x<1所以M＝{x|0<x<1}．由a，b ∈M可知0<a<1,0<b<1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，故ab＋1>a＋b.
10．(2014·佛山质检)若不等式x2＋|2x－6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是________．
解析：5　令f(x)＝x2＋|2x－6|，当x≥3时，f(x)＝x2＋2x－6＝(x＋1)2－7≥9；当x<3时，f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.综上可知f(x)的最小值为5，故原不等式恒成立只需a≤5即可，从而a的最大值为5.
11．(2014·南昌模拟)设f(x)＝|2x－1|，若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，则x的取值集合是________．
解析：{x|x≤－1或x≥2}　由f(x)≥对任意实数a≠0恒成立得，f(x)大于等于的最大值，因为的最大值为3，所以f(x)≥3，即|2x－1|≥3，解得x≤－1或x≥2，所以x的取值集合为{x|x≤－1或x≥2}．
12．(2014·合肥模拟)已知集合A＝{x||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝，则集合A∩B＝________.
解析：{x|－2≤x≤5}　不等式|x＋3|＋|x－4|≤9等价于或或，
解得－4≤x≤5，即A＝{x|－4≤x≤5}，又由基本不等式得x＝4t＋－6≥2 －6＝－2(当且仅当4t＝时等号成立．即B＝{x|x≥－2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤5}．
13．(2014·龙岩模拟)已知函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x＋4|＋m.
(1)已知常数a<2，解关于x的不等式f(x)＋a－2>0；
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)＋a－2>0，得|x－3|>2－a，
∴x－3>2－a或x－3<a－2，
解得x>5－a或x<a＋1.
故不等式的解集为(－∞，a＋1)∪(5－a，＋∞)．
(2)∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，
∴f(x)>g(x)恒成立，即m<|x－3|＋|x＋4|恒成立．
∵|x－3|＋|x＋4|≥|(x－3)－(x＋4)|＝7，
∴m＜7.
∴m的取值范围为(－∞，7)．
14．(2014·石家庄一中月考)设函数f(x)＝|x－a|＋2x，其中a>0.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥2x＋1的解集；
(2)若x∈(－2，＋∞)时，恒有f(x)>0，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，|x－2|＋2x≥2x＋1，∴|x－2|≥1，
∴x≥3或x≤1.
∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．
(2)依题意，f(x)＝，∵a>0，∴当x>－2时，
f(x)≥x＋a>－2＋a，要使f(x)>0，只需－2＋a≥0即可，
∴a≥2.
故a的取值范围为[2，＋∞)．
15．(2014·中原名校摸底)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若{x|f(x)≥t2－t}∩{y|0≤y≤1}≠∅，求实数t的取值范围．
解：(1)不等式f(x)≤2即为|2x＋1|－|x－2|≤2.
①当x≤－时，不等式化为，
解得－5≤x≤－.
②当－＜x＜2时，不等式化为，
解得－＜x≤1.
③当x≥2时，不等式化为，无解．
综上原不等式的解集为[－5,1]．
(2)由题意得f(x)≥t2－t在x∈[0,1]上有解．
故只需满足f(x)max≥t2－t.
而当0≤x≤1时，f(x)＝3x－1.∴f(x)max＝f(2)＝2.
从而有t2－t≤2.即t2－t－2≤0，解得－1≤t≤2.
所以实数t的取值范围为[－1,2]．
16．(2014·哈尔滨模拟)设函数f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|.
(1)解不等式f(x)≤5；
(2)若函数g(x)＝的定义域为R，求实数m的取值范围．
解：(1)原不等式等价于，解得－≤x<；
或，解得≤x≤；
或，解得<x≤.
综上原不等式的解集为.
(2)若g(x)＝的定义域为R，
则f(x)＋m≥0恒成立，即f(x)min≥－m恒成立．
又f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|≥|2x－1－2x＋3|＝2，
当且仅当(2x－1)(2x－3)≤0时，即≤x≤时，
f(x)取得最小值为2，所以m≥－2.
从而所求m的取值范围为[－2，＋∞)．
17．(2014·吉林检测)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)>5的解集为{x|x>2或x<－3}．
(1)求a的值；
(2)若不等式f(x)－f≤k在R上有解，求k的取值范围．
解：(1)由|ax＋1|>5得ax>4或ax<－6.
又f(x)>5的解集为{x|x>2或x<－3}，
当a>0时，解得x>或x<－，得a＝2；
当a≤0时，经验证不合题意．
综上得a＝2.
(2)设g(x)＝f(x)－f，
则g(x)＝
则函数g(x)的图象如图所示，

由图象可知，g(x)≥－，
故原不等式在R上有解时需满足k≥－.
即k的取值范围是.
18．(2013·新课标全国高考Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；
(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所示．从图象可知，当且仅当0＜x＜2时，y<0.

所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈都成立．
故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是.