第37讲专项研究类型①与圆的基本性质有关的计算与证明.doc

句容市第二中学 九年级数学（2017-2018学年度复习案） 校本教材

第37讲 专项研究类型①与圆的基本性质有关的计算与证明
主备人： 经贤美 审核人： 刘永忠
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【重点】圆的有关性质和计算
【难点】圆的有关性质和计算
【知识梳理】
§Ⅰ 圆的有关概念
1．圆：平面上到__ 的距离等于__ 的所有点组成的图形叫做圆，其中，__ 为圆心，__ 为半径．__________确定圆的位置，__________确定圆的大小。
2．弧：圆上任意两点间的部分叫做__ ，简称弧，大于__ 的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
3．弦：连接圆上任意两点的线段叫做__ ，经过圆心的弦叫做__ 。
4．能够重合的两个圆叫做__ ，同圆或等圆的__ ，在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做__ 。
§Ⅱ圆的有关性质：
1．圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理和推论可以结合起来表述为：对于一个圆和一条直线说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．
3．点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d，
（1）点在圆外，即d___r ；(2) 点在圆上，即d____r；(3) 点在圆内，即d____r.
【典型例题及针对训练】
【例1】1. 有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个

2.若圆的半径是5cm，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A.点P在⊙O外 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O上 D.点P在⊙O外或⊙O上

3.⊙O的半径为5cm，一点P到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP长为 。
变式训练:
1．有4个命题: ①直径相等的两个圆是等圆 ②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通过圆心的弦 ④一条弦把圆分为两条弧,这两条弧不可能是等弧,其中真命题是 。
2．矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；
(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内．
考点2 垂径定理的理解
【例2】下列命题正确的有 。
（1）过弦的中点的直径平分弦所对弧；
（2）过弦所对的两条弧的中点的直线必过圆心；
（3）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧；
（4）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧；
（5）经过弦的中点的直径一定垂直于弦；
（6）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。
考点3 垂径定理的基本运用(基本计算题型)
【例3】如图，已知在⊙O中，AB、CD两弦互相垂直于E，AB被分成4cm和10cm两段，求：
（1）求圆心O到CD的距离；（2）若⊙O的半径为8cm，求CD的长。

【例4】如图，等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB＝AC，tanB＝。求：
（1）BC的长；
（2）AB边上高的长。

变式训练:
1. 有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个

2.若圆的半径是5cm，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A.点P在⊙O外 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O上 D.点P在⊙O外或⊙O上

3.⊙O的半径为5cm，一点P到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP长为 。
4．有4个命题: ①直径相等的两个圆是等圆 ②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通过圆心的弦 ④一条弦把圆分为两条弧,这两条弧不可能是等弧,其中真命题是 。
5．矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；
(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内．
（1）BC的长；
（2）AB边上高的长。

【提升训练】

考点4 垂径定理的运用(综合推理与计算题型)
【例5】如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上， CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求证：CM=DN；
（2）若OA＝3，AC＝2，，求弦MN的长．

【例8】已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c
经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

【课后测试】
1、把一小球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．
2、如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦 的长为________cm．
3、如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 ．

1题图 2题图 3题图
4、如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，，则OC的长为 ．

5、如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为 。

4题图 5题图 6题图
6、半径为4的⊙O中有弦AB，如右图，以AB为折痕．劣弧恰好经过圆心O，则弦AB的长为 。
7、已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于 M，且AB=8cm，则AC的长为 ．
8、P是⊙O内的一点，⊙O的半径为15，P点到圆心的距离为9，通过P点、长度是整数的弦的条数共有 .

9、如图，⊙O中EF过圆心O，且垂直于弦AD，B、C两点在直线DE上，且AD平分∠BAC．
求证：

完成时间

月 日
家长签 字

教师评价

学后/教后反思:
5
句容二中校训：立志 笃行 数学复习案