第4课椭圆的几何性质.doc

第4课 椭圆的几何性质⑴
教学目标
1. 掌握椭圆的简单的几何性质；
2. 感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；
3. 能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题.
教学重点
椭圆的几何性质及其应用
教学过程
一、建构数学—椭圆的几何性质
1. 范围
由方程+ =1(a>b>0)可知，椭圆上的点的坐标(x, y)满足 =1－≤1，即x2≤a2,故|x|≤a .
同理可得|y|≤b .
这说明椭圆位于x=±a和y=±b所围成的矩形内.（基本矩形）
注意：画椭圆先画基本矩形！

2. 对称性
在椭圆的标准方程中，把x换成-x,或把y换成-y,或同时把x,y分别换成-x,-y时方程不变.所以椭圆关于y轴，x轴和原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
3. 顶点
在椭圆的标准方程中，令x=0,得y=±b,说明点B1(0,-b), B2(0, b)是椭圆与y轴的两个交点.同理，点A1(-a, 0), A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点. 这四个点是椭圆与对称轴的交点，成为椭圆的顶点.
线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2，怎样确定椭圆的焦点位置？
4. 离心率
我们把焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.用e表示.
即： e＝ . 且e∈( 0, 1 )
分析离心率是用来刻画椭圆扁平程度的依据的道理.
(略)
对于焦点在x轴上的椭圆的性质，可类比研究.
二、数学应用
例1 求椭圆+=1的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.

例2 ⑴设P为椭圆+=1(a>b>0)上任意一点，F1为其左焦点，求|PF1|的最大值和最小值.
(课本28页EX.3变式)
⑵在椭圆+=1上求一点，使这点与两焦点的连线互相垂直.

⑴设P(x1,y1)，则|PF1|＝…＝a+x1= a+ex1;
⑵设P(x1,y1),则(a+x1)2＋(a-x1)2=4c2,…
(±,±)

练习.椭圆+ =1的焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上运动，①求证：当点P横坐标为0时，∠F1P F2最大。
②当∠F1P F2为钝角时,点P横坐标的变化范围为 .
(-,)

·
·
y
x
A
B
F1
F2
O
D
C
例3 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点）距地面439km,远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程.

例4 设动点P到点F(1,0)的距离与到直线x=9的距离的比为,求点P的轨迹方程.(课本28页NO5)
答案： +=1

说明：
⑴本题的椭圆中，a=3,b=2,c=1, 从而，
e=, F(1,0)恰为椭圆的右焦点，而直线x=9可写成
x= ,这条直线称为椭圆的(相应于右焦点的右)准线。
⑵本题说明，椭圆上的点到焦点距离与到相应的准线距离之比为离心率。
⑶一般地，椭圆+ =1(a>b>0)准线方程为x=±.
椭圆+ =1(a>b>0)准线方程为y=±.
⑷马上将知道，当动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e（0<e<1）时，动点的轨迹为椭圆.

例5 根据下列条件求出椭圆的标准方程：
⑴长轴是短轴长的2倍，一条准线方程是x=-4;
⑵以短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离为.

答案：⑴+=1；⑵+=1或+=1

O
·
P
M
y
x
F
M¢
·
例6 已知椭圆+=1内有一点P(1,-1)，F是右焦点，在椭圆上求一点M，使|MP|+2|MF|最小.

例7 已知椭圆+y2 =1, 求
⑴斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程;
⑵过A(2,1)引椭圆的割线 ,求截得的弦的中点的轨迹方程;
⑶过点P( , )且被P平分的弦所在的直线方程.

解:设弦的两端点为M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x, y)则有
⑴ 由②-①得(x2- x1) (x2+x1)+2(y2- y1) (y2+y1)=0 ⑥
由③,④得=- ,
由⑤得所求轨迹方程为x+4y=0 (椭圆内部分).
⑵由=, 又=- ,∴- = ,
∴所求轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分).
⑶由题意代入⑥得=-,
∴所求的直线方程为y-=-(x-)
即2x+4y-3=0 .

例8 若椭圆3x2+4y2=12上有不同的两点关于直线y=4x+m对称，求m的取值范围.

解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)线段AB的中点P(x0,y0).
则有 ,
②－①得，3(x1-x2) (x1+x2)+4(y1-y2) (y1+y2)=0,
③,④代入得=-× .
又由的中垂线y=4x+m知，kAB= =-,
∴y0=3x0代入y0=4x0+m得， ,
又P(-m,-3m)在椭圆内部，
∴3(-m)2+4(-3m)2<12.
∴-<m<.
解法二：设椭圆上关于直线y=4x+m对称的两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则可设AB的方程为y=-x +t ,
由 得13x2-8tx+16t2-48=0
∴⊿=(-8t)2-4×13×(16t2-48)>0
即 12 t 2<39 ①
且 (x1+x2)= t
(y1+y2)= (-x1 +t+-x2 +t)= t－(x1+x2)＝t
∵AB的中点((x1+x2), (y1+y2))即(t, t)在直线
y=4x+m上，∴t＝4×t +m即t＝－m ②
②代入①得12(－m)2<39
解得m2<,即-<m<.
例9 P是椭圆+ =1(a>b>0)的第一象限内的弧AB上的点，当四边形OAPB面积最大时，P点的坐标是 。

设P(acosq,bsinq),且0<q<，则SOAPB=ab( cosq+sinq)
P(a, b)
例10已知P在椭圆4x2+9y2=36上，求点P到直线l:x+2y+15=0的距离的最大值和最小值.

dmin=2, dmax=4,
例11M为椭圆+ =1(a>b>0)上的任意一点(非短轴端点)，若M与短轴的两个端点B,B¢的连线分别交x轴与P,Q,求证：|OP|×|OQ|为定值.

设M (acosq,bsinq),q≠kp+，……
例12 在椭圆+=1上求一点P,使它到定点Q(0,1)的距离最大.

例13 已知椭圆+=1的上顶点为C,右顶点为A，点B,D分别是椭圆上第一象限和非第一象限的动点，求四边形ABCD面积的最大值.

（两种方法：参数法，平行线间距离）

作业讲评：
例16设椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴两端点为A¢,A,若椭圆上存在一点M，使∠A¢MA＝120°，试求椭圆的离心率e的取值范围.
分析：本题即为存在椭圆与⊿A¢MA外接圆⊙C有交点。
·
x
y

M
A
A¢
C
O
D
解：根据对称性不妨设M在x轴上方.设⊿A¢MA外接圆⊙C与y轴交点为D,则∠A¢DA＝120°，∴⊿ACD为正三角形。
⊙C： x2+(y+)2=
与椭圆方程联立，消去x得
(y+)2-a2y2=a2b2
即：a b2y=c2y2,
∴y=,∵y≤b, 即：≤b,
∴4 a2b2≤3 c4, 即：4 a2(a2- c2)≤3 c4
∴4(1-e2) ≤3 e4, ∴e2≥, ∴e∈[ ，1)

练习：
1. 求下列椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标：
⑴16x2+25y2=400 ⑵4x2+y2=16
2. 根据下列条件，求椭圆的方程：
⑴中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别为8和6；
⑵中心在原点，一个焦点的坐标为(0,5),短轴长为4；
⑶对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率为0.6;
⑷中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1；
3. 下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？
⑴ 4x2+9y2=36 ⑵ +=1
⑶ 9x2+4y2=36 ⑷ +=1
4. 若椭圆+ =1(a>b>0)过点（3，－2），离心率为,
求a, b的值.
5.设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，∠B1FB＝60°，
求椭圆的离心率 .

习题：
1. 讨论下列椭圆的范围，并描点画出图形：
⑴ +=1 ⑵4x2+y2=1
2. 判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴, y轴或原点对称：
⑴3x2+8y2=20 ⑵x2－＝1
⑶x2＋2y=0 ⑷x2＋2xy+y=0
3. 已知椭圆的方程为+=1,求满足下列条件的k的取值范围:
⑴椭圆的焦点在x轴上;
⑵椭圆的焦点在y轴上.
4. 已知椭圆中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为，短轴长为4，求椭圆的方程.
5. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率.
6．已知点M与椭圆+=1的左焦点和右焦点的距离之比为2:3，求点M的轨迹方程.

7.如图，A,A¢,B分别是椭圆顶点，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F, 且AB∥OP,F A¢=-,求椭圆的方程.
8.把矩形的各边n等份，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？
B1
B
A
A1
O
x
y
Qm(a-,2b)
Pm(a,)
M(x,y)
·

补充习题：
1.椭圆的右焦点将长轴分成3:2两段，则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
2.椭圆的两焦点和中心将两准线间的距离四等份，则一焦点与它的短轴两端点连线的夹角是 ( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
3.椭圆+ =1的准线平行于x轴，则 ( )
A. 0<m< B. m<且m≠0
C. m>且m≠1 D. m>0且m≠1
4.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=,一个顶点为(0, 5),则适合上述条件的椭圆有 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
5.椭圆+ =1的离心率e=,则k= .

6.椭圆+ =1上有一点，它到左准线的距离等于
则P到右焦点的距离为 .
7.直线y=kx+1与椭圆+ =1恒有交点，则m的取值范围为 .
8.已知椭圆的两个焦点为F1(-2,0), (2,0),过F1
且不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于M,N点,如果
⊿MN F2 的周长为12，求这个椭圆的方程.