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二次函数图像和性质
二次函数图像和性质

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第 讲 二次函数的图像和性质
一。 本周教学内容：二次函数的图像和性质
 二、本周学习目标
掌握二次函数的图像和性质，能够确定二次函数的表达式，并能够对图像进行分析
  1。 与之间关系，（)

  2.
顶点坐标                                   对称轴
                              （0，0）                                   y轴
                        （0，k）                                   y轴
                      （h，0）                                   直线x＝h
               （h,k）                                   直线x＝h。
  3。 二次函数顶点坐标（,），对称轴是直线。
  4。 二次函数图象的画法.
       (1）通过配方法,将一般式化为形式;
       (2）确定抛物线的开口方向，对称轴,顶点坐标;
       （3）在对称轴两侧,以顶点为中心，左右两侧对称描点。
  5。 求二次函数解析式。
       （1）一般式：
       （2）顶点式：
       （3）交点式:，其中(，0），（，0）分别为抛物线与x轴的两个交点。
       (4）对称点式：,其中（），（）为抛物线上关于对称轴对称的两个点。
6. 抛物线中,的作用
(1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线的对称轴是直线
,故：①时,对称轴为轴；②（即、同号)时，对称轴在轴左侧;③（即、异号)时，对称轴在轴右侧。
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，):
①,抛物线经过原点; ②，与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时，仍成立。如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

三、考点分析
二次函数的图像和性质、确定二次函数的表达式、确定二次函数图像特征,这三点在中考考点中均是要求学生能够熟练掌握的内容。

【典型例题】
例1、 画出以下函数的图像：
1、y＝2x2 2、y＝2x2＋1 3、y＝－2x2 4、y＝2x2 －1 5、y＝－2x2＋1 6、y＝－2x2 －1

思考：
1．二次函数y＝2x2的图象是____,它的开口向_____，顶点坐标是_____;对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______,函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？

例2、在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答：
（1）两条抛物线的位置关系。
(2）分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
（3)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y＝2(x－1）2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 画出二次函数y＝2（x－1)2和二次函数y＝2x2的图象

例3、画出函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1）2图象,并分析有什么关系?

例1. 已知抛物线。
       （1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;
       (2）求抛物线与轴、轴的交点坐标;
       （3）画出函数图象(草图）；
       （4）根据图象说出：x为何值时,y随x增大而增大？x为何值时y随x增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值是多少？
       分析:通过配方或利用顶点坐标公式求出顶点坐标和对称轴，再利用五点作图,并根据图象回答增减性及最值。
       解：（1）配方:得
       ∵        ∴抛物线开口向下
       对称轴：          顶点坐标是（，2）
       (2）令即，
得，.
∴它与x轴的交点坐标为（，0），（，0）
再令即
∴它与y轴交点坐标为（0，）
（3）∵顶点A（，2），对称轴,与x轴交点为B(，0）,C（，0）
与y轴交点D(0，）.D关于对称轴的对称点E(，），将E、B、A、C、D这5点连接成光滑曲线,即得抛物线图象。

(4)从图象可知，当时，随x增大而增大。
当时，随x增大而减小。
∵抛物线开口向下,∴顶点A为最高点，函数有最大值即当时,＝2。
点拨:（1)五点作图法是画二次函数图象的简易作图法，这五点是抛物线的五个特征点：即顶点，与x轴的两个交点，与y轴的交点及该交点关于抛物线对称轴的对称点。
（2）有时候函数与x轴没有交点,则选取作图点的时候要考虑抛物线的对称性，以对称轴为中心对称取点.

例2. 已知抛物线y＝ax+bx+c的顶点是A（－1,4）且经过点(1，2)求其解析式。
分析:此类题型可设顶点坐标为(m，k)，故解析式为y＝a（x－m)+k。在本题中可设y＝a(x+1）+4，再将点(1,2)代入求得a＝－
∴y＝－
即y＝－
由于题中只有一个待定的系数a,将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。

例3. 如图所示,二次函数的图像经过A、B、C三点。
（1）观察图像，写出A、B、C三点的坐标,并求出函数的解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴.
分析：求函数解析式时，我们要注意考虑函数表达式的三种一般形式，并能够根据题目条件来选取合适的表达式来求解。顶点坐标和对称轴则可以用相应的公式来求解.

解：（1）A(，0)，B（3，0），C（0，），将三点坐标代入，
得      解得
∴二次函数的解析式为.
（2）∵，
，
∴顶点坐标为，对称轴为直线。
点拨:当给出抛物线y＝ax+bx+c上的三点时，可采取列方程组,求出a、b、c的值，即可求出函数的解析式。
对于本题来说,我们还可以发现A、B两点是图像与x轴的交点，本题也可以采用交点式来求解,而且解法要比一般式要简单。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是(  ）
A。 y＝x2+3                   B. y＝x2－3                  C. y＝（x+3）2            D. y＝（x－3）2
2. 二次函数y＝－(x－1）2+3图像的顶点坐标是(  )
A。 （－1，3）                    B。 （1，3）                C. （－1，－3)                D。 (1,－3)
3. 二次函数y＝x2+x－6的图象与x轴交点的横坐标是（  ）
A。 2和－3                   B。 －2和3                  C。 2和3                      D。 －2和－3
4. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,则下列结论:①a〉0；②c>0；③b2－4ac>0，其中正确的个数是（  ）

A。 0个                         B. 1个                        C。 2个                         D. 3个
5. （2006年常德市）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0(a≠0,a，b，c为常数)的一个解x的范围是（  ）
    x
6。17
6。18
6.19
6。20
y＝ax2+bx+c
－0。03
－0。01
0.02
0.04
A。 6〈x〈6。17                                                    B. 6。17〈x〈6.18   
C. 6.18<x<6.19                                                D。 6。19<x〈6.20
6. （2006年南充市）二次函数y＝ax2+bx+c,b2＝ac,且x＝0时y＝－4则（  )
A. y最大＝－4                      B。 y最小＝－4                C。 y最大＝－3                D. y最小＝3
7。 （2006年苏州市）抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是x＝______.
8. （2006年宿迁市）将抛物线y＝x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________.
9. (2006年锦州市)已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上,请你写出一个满足条件的二次函数的表达式________。
10。 （2006年长春市）函数y＝x2+bx－c的图象经过点（1，2），则b－c的值为______。
11。 如图，在平面直角坐标系中,二次函数y＝ax2+c（a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A,B，C，则ac的值是________。

12。 观察下面的表格：
    x
0
1
2
   ax2

2

ax2+bx+c
4

6
(1）求a，b，c的值，并在表格内的空格中填上正确的数；
（2)求二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标与对称轴。

13. （2006年南通市）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示.

（1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）画出抛物线y＝ax2+bx+c当x〈0时的图象；
(3）利用抛物线y＝ax2+bx+c，写出x为何值时，y〉0。

14。 (2006年长春市）如图，P为抛物线y＝x2－x+上对称轴右侧的一点,且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B,得到矩形PAOB。 若AP＝1，求矩形PAOB的面积。

15。 （2006年莆田市）枇杷是莆田名果之一。某果园有100棵枇杷树，每棵平均产量为40千克。现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少.根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0。25千克。问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？［注:抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（－，）

16. （2006年常州市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x－1）2+k的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式。

【试题答案】
1。 D           2。 B        3. A        4. C        5。 C        6. C
7。 x＝－1 8。 y＝(x+4）2－2(y＝x2+8x+14) 
9。 答案不唯一，符合要求即可. 如：y＝x2－2  10。 1  11。 －2 
12. (1）a＝2,b＝－3,c＝4，0，8，3  （2)顶点（，）对称轴是直线x＝
13。 (1)y＝－x2+x+2,顶点坐标(，） （2）略,（3)当－1〈x<4时,y〉0。
14。 ∵PA⊥x轴，AP＝1，∴点P的纵坐标为1。当y＝1时,x2－x+＝1，
即x2－2x－1＝0，解得x1＝1+,x2＝1－，
∵抛物线的对称轴为x＝1，点P在对称轴的右侧，
∴x＝1+，∴矩形PAOB的面积为（1+)个平方单位。
15。 设增种x棵时,果园的总产量为y千克,
根据题意得：y＝（100+x）(40－0。25x）＝4000－25x+40x－0.25x2＝－0.25x2+15x+4000，
∵a＝－0.25〈0，
∴当x＝－＝－＝30时，y最大，
y最大值＝＝＝4225.
答：当增种30棵枇杷树时，投产后果园总产量最多，达4225千克.
16。 解：本题共四种情况，设二次函数的图像的对称轴与x轴相交于点E，
(1)如图①,

当∠CAD＝60°时，因为ABCD为菱形,一边长为2，
所以DE＝1，BE＝，所以点B的坐标为(1+，0),点C的坐标为(1,－1）,
解得k＝－1，a＝，所以y＝（x－1)2－1.
（2）如图②，当∠ACB＝60°时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），
点C的坐标为（1，－），解得k＝－，a＝,所以y＝（x－1)2－，
同理可得:y＝－（x－1）2+1，y＝－(x－1）2+,
所以符合条件的二次函数的表达式有:
y＝（x－1)2－1， y＝(x－1）2－，
y＝－（x－1）2+1， y＝－(x－1）2+。