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数列专题

一、数列知识的梳理
1。等差数列的通项公式和前n项和公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是：

如果等差数列的首项为,公差为，那么它的前项和公式是:

2。等差数列的性质
（1)通项公式的推广：.
（2）若为等差数列，且,则。
（3）若是等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为.
(4)若，是等差数列，则也是等差数列.
（5)若是等差数列,公差为，则，是公差为的等差数列。
(6）数列构成等差数列.

3。等比数列的通项公式和前n项和公式
如果等比数列的首项为，公比为，那么它的通项公式是：

如果等比数列的首项为,公比为,那么它的前项和公式是：

4.等比数列的性质
(1)通项公式的推广：.
（2）若为等比数列，且,则。
(3)若，（项数相同)是等比数列,则仍是等比数列。
（4）公比不为-1的等比数列的前项和为,则仍成等比数列，其公比为.
(5)若是公比不为1的等比数列，.

二、数列通项的几种求法
1.累加法：
数列的基本形式为:.
等式左边
等式左边
所以：.

例1 已知的首项，求的通项公式.

2.累乘法:
数列的基本形式为：.
等式左边
等式左边
所以:.
例2 已知的首项，求的通项公式。

2。公式法：
若为数列的前项和,即：,则

例3 数列中，是前项和，若，求的通项公式。

4。待定系数法:
数列有形如的关系时，可用待定系数法求得为等比数列，进而求得。
即：
展开可得:，其中.

例4 已知数列满足关系，且，求的通项公式.

5.倒数法：
数列有形如的关系时，可先用倒数法，再用待定系数法求。
即：
两边同时除以，可得：
将看成一个整体运用待定系数法，从而得出。
例5 已知数列满足关系，且,求的通项公式。

课堂练习:
1.已知等差数列中，，求数列的通项公式。

2.已知数列满足，，求数列的通项公式。

3。已知数列满足，,求数列的通项公式。

4.已知数列的前项和满足，且，求数列的通项公式.

5.已知数列满足，，求数列的通项公式。

6。已知数列满足,，求数列的通项公式。

三、数列前n项和的求法：
1。裂项相消法：
一般地，若是公差为的等差数列，则有：

特殊的裂项公式：
（1）；
（2）；
(3）.

例6 已知数列是递增的等比数列,且.
⑴求数列的通项公式；
⑵设为数列的前项和，求数列的前前项和。

例7 已知数列满足，求数列的前10项和。

2。错位相减法：
一般地，若数列是公差为的等差数列,数列是公比为的等比数列,若,则数列的前项和:
…………………………①
………………………②
①—②得：

若时，
若时，.

例8 已知数列满足。
⑴求数列的通项公式；
⑵令，求数列的前项和.

课堂练习：
1。 已知等比数列中，。
⑴求数列的通项公式；
⑵令，求数列的前项和。

2。 已知等比数列中，.
⑴证明:求数列是等差数列；
⑵设，求数列的前项和。
四、等差、等比数列的综合应用
例9 已知数列满足，且数列是等差数列，是等比数列,求数列和的通项公式。

五、课堂小结：
1。数列知识梳理：
①等差数列；
②等比数列的通项公式；
③前n项和公式及性质；
2.数列通项的求法：
①累加法；
②累乘法；
③公式法；
④待定系数法；
⑤倒数法。
3。数列前n项和的求法:
①裂项相消法;
②错位相减法。
4.等差数列和等比数列的综合应用
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