导数的应用(一).doc

任课教师：古向伟
课题
导数的应用（一）
课时
2
授课班级
11焊接（3）
11软件
11化工（2）
11焊接（3）
授课时间

教学目标
知识目标：掌握单调性的判定，极值的求法
能力目标：会求函数的极值
德育目标：培养学生自主探索的能力，培养学生的逻辑思维能力
教
材
分
析
重点
掌握函数极值的求法
难点
掌握函数极值的求法
教 具
无
教学方法
讲授法 讨论法
课 型
新授课
复习提问
罗比达法则？它的应用条件？
作业布置
课后1（1）2（1）
教学过程
[组织教学]
检查人数
[复习提问]
罗比达法则的适用条件；函数单调性的定义，以及怎么用函数的单调性的定义判定函数的单调性
[新授课]
一 单调函数
数学分析中的最值问题在经济、管理等领域就是最优化问题,最值问题在数学分析中又与极值问题有关,从极值的定义我们又知道,极值问题又与函数的单调性有关.但是,用定义证明函数的单调性并不是一件容易的事情.因而寻找新的函数单调性判定方法是十分重要的.在本段,我们首先讨用导数判定函数的单调性问题.
定理5.10 设在区间上可导,则在上递增(减)的充要条件是
.图5.4-1

例1 设=.试讨论函数的单调区间.
解 由于
,
因此 当时,,递增;当时,,递增;
当时,,递增.
二 极值的判别
在日常生活中做某些事情的时候,我们常常需要寻找解决问题的最佳方案.例如,农民希望找到多种农作物的混种方案以期获得最大收益;医生总是希望用最小的药物剂量达到最好的治疗效果;而商人则希望用最小的成本购买商品,又以最高的销售价格卖出以得到最大的利润,等等.概括地说,即要求在一定条件选择一种“最优方案”,在数学上,这类问题属于“最优化问题”.在许多情况下,这些问题通常可以表示成定义在一个特定集合上的函数的最大值和最小值问题.而微分知识则是解决这类问题的最有力的工具之一.第三章的知识已经解决了在闭区间上连续函数的最值的存在性.但在那里,并没有指出如何求出最值.本节将给出在特定条件下的解决方案.由于最值问题与极值问题联系紧密,故我们先从极值问题入手.
函数的极值不仅在实际问题中占重要的地位(如求函数的最值),而且也是函数性态的一个重要特征.
函数取得极值的必要条件
由费马定理得:
极值的必要条件 若函数在点处可导,且在处取得极值,则.
我们称,导数等于零的点为函数的驻点.定理5.1说明可导的极值点是驻点.但反之,驻点是否为极值点呢?易知结论不成立,事实上,由函数在点的导数等于零,因而是函数的驻点,但不是函数的极值点.因而我们需要研究函数取得极值的条件.由图5.4-2可知,若在内可导,则函数在点取得极值的条件是左右两端的导数异号.图5.4-2(a)
图5.4-2(b)
图5.4-2(c)
图5.4-2(d)
由此我们可得:

函数取得极值的充分条件
定理5.12 (极值的第一充分条件) 设函数定义在区间上,为的连续点.
(i) 如果存在,使得

则函数在点处取得极大值;
(ii) 如果存在,使得

则函数在点处取得极小值;
(ⅲ)当时,恒正或恒负,则函数在处没有极值.
小结：函数单调性的判定；函数极值的判定
学生活动

提问
复习

交流讨论例1

注意分区间讨论

小组讨论

形象理解极值
的概念

图示极值点的特殊

学生讨论极值的充分条件

教学后记：

审批意见

教学部主任：
年 月 日