第6章 自旋和全同粒.doc

第6章 自旋与全同粒子
 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。
§6.1 　电子自旋的实验根据及自旋的特点
一． 实验事实
1．  斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：
现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。
解释：氢原子具有磁矩，  设  沿Z方向

   如  在空间可取任何方向，  应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明 是空间量子化的，只有两个取向  ，对S 态 ,  ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。即自旋磁矩。
2．  碱原子光谱的双线结构
如钠原子光谱中一条很亮的黄线  ，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成 
3．  反常塞曼(Zeeman)效应
1912年，Passhen 和 Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。
二． 乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设
1．    每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值

2．    每个电子具有自旋磁矩  ，它和自旋角动量S的关系是

                                   为玻尔磁子
      这个比值称为电子自旋的回转磁比率.
   轨道运动的回转磁比率是 
三．电子自旋的特点
　　乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。
特点：
1．  电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。
2．  电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为  ，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。
3．  电子自旋值是  ， 而不是  的整数倍。
4．   ， 而   两者在差一倍。
自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系  

§6.2 　电子的自旋算符和自旋函数

一．自旋角动量算符 

 在空间任意方向上的投影只能取值  （由实验所得假设）
      本征值都是  ,      

   叫自旋量子数
引入一新算符  ,                

由               

相加                          
定义反对易           

    重要关系式              
二． 自旋函数与泡利矩阵
考虑到电子具有一新的自由度：自旋角动量，电子的波函数

 是  （自旋向上  ），   位置在r处的几率密度.
 是  （自旋向下  ）,   位置在r处的几率密度.
    自旋向上的几率,         自旋向下的几率.
            归一化条件
自旋算符应是   矩阵

                          ,   

                        ,   

 是厄密算符
设                        

                     为实数,   ,  

由     

                               取 

泡利矩阵                       
这是  在    表象中的表示，在  表象中，本征函数  ,

当自旋和轨道运动之间无相互作用，即电子的自旋不影响轨道运动。  和  对  的依赖关系是一样的。

 叫自旋函数， 自旋算符仅对波函数中的  有作用。

    自旋与轨道运动无相互作用 
自旋算符  为  矩阵，   自旋算符任一函数  也是  矩阵

算符  在态  中对自旋平均为：     
对坐标的自旋同时平均     

§6.3 　简单塞曼效应

  　氢原子或类氢原子处于均匀的磁场中，设外磁场足够大，（自旋与轨道相互作用忽略）由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。
取  沿  方向

体系定态薛定谔方程

     或  

无磁场时， 
对氢     对碱金属 

有外磁场时： 
 取         即   仍是两方程的解。

        时  
同样  时  
原来不同而能量相同的简并现象被外磁场消除，能级与  有关。当原子处于   态，    ，原来的能级  分裂为两个，正如斯特恩－革拉赫实验中所观测到的。

由选择定则   

简单塞曼效应：在强磁场作用下，原来没有外磁场时的一条谱线分裂为三条。
复杂塞曼效应：外磁场弱时，需考虑电子自能与轨道相互作用，能级分裂更复杂。

§6.4 　两个角动量的耦合

 一． 角动量的对易关系
粒子既有轨道角动量又有自旋角动量，他们之间会存在耦合。
设  为体系的的两个角动量算符

 相互独立.        分量都对易
                体系的总角动量

[证明]：

即   
同样有

还有              
注意:      
二． 无耦合表象和耦合表象

           相互对易,它们有共同的本征矢组成正交归一的完全系，
以这些本征矢作基矢的表象称为无耦合表象。
另一方面, {  } 也相互对易,他们有共同本征矢 

以   为基矢的表象称为耦合表象，
两表象之间的关系

 :克来布希－高登(Clebsch-Gordon)系数

三． 总角动量的取值范围
 1．  的最大值
                    :        最大值为 
                           最大值为 
                          最大值为 
又             

2．   的最小值
对  ,     给定.    :   个取值
对  ,     给定   :   个取值
 ,   固定有   个
     是各种   的线性叠加
    确定时，  的数目也是  ，对应不同的 
   对一个  ，  有  个值：  。
    的数目可以表示为

   利用等差级数求和公式

   又       代入方程

§6.5 　光谱的精细结构

 由于自旋与轨道角动量的耦合，使原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，这就产生了光谱线精细结构。
1． 不考虑自旋时，无外场

本征函数  ，      本征值 
    度简并
2． 考虑自旋的存在，但不考虑轨道角动量  与自旋角动量  耦合

    相互对易，它们有共同的本征函数，

   即考虑自旋后，电子的波函数由  四个量子数确定。
   只与  有关，  有两个取值，  这时能级  是  度简并
   引入总角动量算符:  
    相互对易，它们的共同本征函数

3．  考虑自旋和轨道运动之间的耦合
相互作用量：

 .  无共同本征函数，即  的本征函数，不再是  的本征函数，这时:
   如何描述 
由于存在耦合项  ,     
电子态不能用量子数  描写，或者设  现在不是好量子数，不是守恒量。

又:   

即           
    有共同的本征函数 
    是守恒的好量子数，
    的能量本征函数  怎么表示
   将   看成微扰， 用简并情况下的微扰理论求 

   求出   为  的本征值

    在耦合表象中是对角化的

    上式  

   即  ，在耦合表象中是对角化的，对角元     即为能量一级修正

   自旋轨道间的耦合使原来简并的能级分裂开

    只与  有关，  度简并
   考虑一级修正后  ，与  有关，  度简并
    给定后，  即具有相同的量子数  的能级有两个，它们之间的差别很小。

§6.6 　全同粒子的特性

一． 全同粒子
质量，电子，自旋等固有性质完全的微观粒子为全同粒子。所以电子都是全同粒子，所以质子都是全同粒子。
在经典力学中，全同粒子是可以区分的，因为粒子在运动过程中，都有自己确定的位置和轨道，经典粒子有不可入性。
在量子力学中，和每个粒子相联系的总有一个波，波在传播中总会出现重叠，在重叠部分，无法区分哪是第一个粒子，哪是第二个粒子。
二． 全同性原理：量子力学的一个基本假设
两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。即全同粒子的不可区分性。
三． 全同粒子系统的特性
1． 全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。
设一由  个全同粒子组成的体系，  表示第  个粒子的坐标和自旋  。体系的哈密顿量为 
则:    
2． 全同粒子的波函数有确定的交换对称性
交换算符  表示将第  个粒子和第  个粒子相互交换

由薛定谔方程：   
将交换算符  作用于薛定谔方程

即：        
即若  是薛定谔方程的解，则  也是薛定谔方程解。
由全同性原理，  与  应描写同一状态，因而它们之间只相差一常数因子

    ,  是守恒量，本征值为 
                     对称函数
                   反对称函数
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。
[ 证]  设  时刻体系波函数  是对称的，因为  对称
    在  时刻也对称；由  ,  在  时刻也对称,在下一时刻波函数为  ，也是对称函数。以此类推，在以后任何时刻波函数都是对称的。同样如果在某一时刻波函数是反对称的，以后任何时刻波函数都是反对称的。
3． 玻色子和费米子
实验证明，由电子，质子，中子这些自旋为  的粒子以及自旋为  的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi)  －狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米子，由光子（自旋为  ） 以及其它自旋为零，或  整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色(Bose)－爱因斯坦统计，称为玻色子。

§6.7 　全同粒子体系的波函数

一． 两个全同粒子体系的波函数
无相互作用时   与  形式是相同的
设  分别表示  的本征值和本征函数

设  ，  为  的本征函数

即           
同样   也是能量本征值为   的本征函数，这叫交换简并。
 是不是全同粒子的波函数？
如        对称函数
如        不对称
为此我们构成对称的或反对称的函数，它应是  的组合
对称函数：

反对称函数：    
 都是   的本征函数，本征值为 
如  是归一化的波函数
即                      

同样           
因此归一化的对称，反对称的波函数为

二． N个全同粒子的体系
粒子间无相互作用，   
设本征值为  的  的本征函数为  ,  则

设           

无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符，其本征函数等于各单粒子哈密顿算符的本征函数之积，本征能量等于各粒子本征能量之和。这样，解多粒子体系薛定谔方程的问题，就归结为解单粒子薛定谔方程：

    对玻色子组成的全同粒子体系，体系波函数是对称的

P表示N 个粒子在波函数中的某一种排列
 是处于  态的粒子数，
对费米子组成的全同粒子体系，体系的波函数是反对称的

三． 泡利不相容原理
对费米子组成的全同粒子体系，如有两个单粒子态相同，比如第i个粒子和第 j个粒子处于同一态。

又  应是反对称函数

必有        
从行列式看，两个单粒子态相同，就是行列式中两行相同，行列式为零。这表示不能有两个或两个以上费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理。
注意：泡利不相容原理不是什么新的原理。它实质上是全同性原理的体现，是全同费米子体系具有交换反对称性的必然推论，全同性原理比泡利原理广泛得多，它不仅适用费米子，而且适用于玻色子。
四． 自旋的影响
考虑到粒子的自旋，体系波函数可写成坐标与自旋函数之积，

对费米子，    
例：设有三个全同粒子，可以用指标  表示三个不同单粒子态，写出全同粒子对应的对称态波函数和反对称态函数。
[解] ①  
     ②  

       ③ 

反对称   

§6.8 　两个电子的自旋函数

如无自旋时相互作用，

对称函数  

不能构成其它独立的对称或反对称自旋函数，
定义总的自旋角动量                      

下面求   的本征值

同理                 

同样         

 两个粒子的自旋平行，分量沿正Z方向。
 两个粒子的自旋平行，分量沿反Z方向。
 两个粒子的自旋Z分量相互反平行, 垂直Z轴分量平行。
 两个粒子的自旋反平行，总自旋为零。

第六章                              小结
一．          自旋
1．自旋的引入
   电子的自旋是在实验事实的基础上以假设方式提出的。
   实验事实：
   ①   原子的精细结构    ② 塞曼效应   ③  斯特恩－盖拉赫实验
   假设：①    （任意方向）②  
2．自旋特性
①    内禀属性  ②  量子特性，不能表示为    ③满足角动量的一般对易关系， 
3．自旋算符与泡利算符
   自旋算符的对易关系       ，         
   泡利算符对易关系                       

4．电子自旋态矢量与泡利矩阵
    共同本征函数  ,               
   在  表象中(泡利表象）                  
    可表示为   矩阵：

   在泡利表象，任一自旋态为  
   既有自旋运动又有电子空间运动，

       自旋与轨道无相互作用
5．两个电子体系的自旋函数
                  ,     ,     ,        

二．两个角动量的耦合
   两独立角动量:                        
   总角动量:                
   总角动量的基本关系:

   即  它们可构成  共同本征矢

   以  为基矢的表象叫耦合表象
    也相互对易,  构成完备基
   以  为基矢的表象叫无耦合表象
   二种表象的关系

      --克来布希－高登系数
三．          碱金属原子光谱的精细结构，塞曼效应
    碱金属原子光谱的精细结构：由于自旋与轨道角动量的存在，而产生耦合，在无外场的情况下，原来一个能级分裂成一组不同j值的能级。
不考虑自旋与动量耦合     
                          度  度 （考虑自旋）
    简单塞曼效应：在强磁场中（不考虑自旋与轨道角动量耦合），由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。若在弱磁场中，需考虑自旋与角动量的耦合，分裂比较复杂,称为复杂塞曼效应。
四．          全同粒子
1． 什么是全同粒子？（质量，电荷，自旋等）相同的微观粒子
两大类:  费米子 ，玻色子
2． 全同性原理：两个粒子的相互代换不引起物理状态的改变全,同粒子在重叠区的不可分性。
3． 由全同性原理推出的一些基本结果:
①全同粒子体系的哈密顿量对任意两个粒子的互换不变。

②全同粒子体系的物理状态对于两个粒子互换不变，即:全同粒子体系的状态波函数不因二粒子互换而变。

               ,      
    全同粒子体系的状态波函数只能是对称波函数或反对称波函数，费米子组成的全同粒子体系由反对称波函数描述，玻色子组成的体系由对称波函数描述。
   全同性原理是一个假设，但它得出的结果与实验相符，从而作为量子力学的一条基本原理而保留。它说明，全同粒子的状态波函数不仅要满足薛定谔方程，而且要满足一定对称性。
4． 全同粒子体系状态波函数的构成
    对称波函数：

   反对称波函数：

5． 泡利不相容原理
不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，它是全同性原理的自然推论。

第六章                          例题
1． 有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）
(1).  ;  (2).  ;
(3).  ;
(4).设   则  ，  .
【证】
（1）.      

(2).   

(3). 

(4). 

2． 证明：    并利用此结论求  本征值
【证】

设  的本征函数为 
则    

又   
         ,   , 
3． 设为  常数，证明 
【证】  将  展开成  的幂级数，有

    ，   为偶数  ；   为奇数 
  上式   

4． 求自旋角动量在任意方向  （方位角为  ）的投影的本征值及本征矢（在  表象）， 
【解】   在  表象中
 ，   ，   
    在  表象中的矩阵表示为

设  的本征值为  ，相应本征矢为  ，本征方程为
  ＝  
解久期方程
 ，    
将  代入本征方程

由归一化条件          

    对应的本征矢为  
同样：  对应的本征矢为 
通过本题讨论我们发现，  的本征值为  ，自旋算符  在任意方向上的分量  的本征值也是 。也进一步推广，对任一种角动量算符  ，如有  的本征值为  ，  的本征值为   则  在任意方向上的分量  的本征值的可能值也为  。
5．  有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指向正  方向，磁作用势为  ，设  时电子的自旋向上，即  求  时  的平均值。
[解]  设自旋函数  在表象中       
     体系的哈密顿算符可表示为             
 则自旋态所满足的薛定谔方程为

 同理              

又  ，         自旋               

 再由     
     即       

6． 在自旋态  中，求  
【解】      

同理   

7． 已知电子的态函数为 
   其中  已归一化  ，
求（1）.同时测量  为  ，  为  的几率。
  （2）.电子自旋向上的几率。
  （3）.  和  平均值。
[解]首先验证态函数是否归一化 [erfwfff1]

① 同时测量  为  ,   为  的几率 
② 电子自旋向上的几率： 
③     

8． 考虑由两个相同粒子组成得体系。设可能的单粒子态为  ，试求体系的可能态数目。分三种情况讨论（1）。粒子为玻色子;（2）粒子为费米子;（3）粒子为经典粒子.
[解]  ①玻色子构成的系统，系统态函数必须是对称的
a. 如两个粒子处于同一单粒子态:   共三种
b.如两个粒子处于不同一单粒子态    对称的波函数为

共三种,因而，对玻色子可能态数为六种，
① 费米子构成的系统，系统态函数必须是反对称的
     全同费米子不能处于同一态上（泡利原理）.反对称波函数的形式只能是

共三种.
② 对经典粒子，全同粒子是可区分的，粒子体系波函数没有对称性要求，波函数形式只要求    都可以）
 的有三种，    的有六种的共九种。
9．  试写出自旋  的两个自由电子所构成的全同体系的状态波函数。
[解] 自旋  的两电子构成的是费米子体系 ， 体系状态的波函数是反对称的

每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波

它们所构成的对称波函数形式为

它们所构成的反对称波函数形式为

二电子体系的自旋部分的对称或反对称波函数为：

总的波函数：

10．         证明：  组成正交归一系。
      [证]①  
          ②  

         ③  
11．         两个自旋为  的粒子有磁相互作用，设它们的质量很大，动能可以忽略，
         求此系统的所有能量本征值和本征函数。
     [解]            

        对两个自旋为  的系统，总自旋量子数       
        对       的本征函数为      本征值为 
        能量本征值   
        对       的本征函数 

30