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数值分析习题集及答案

篇一：数值分析习题与答案

第一章 绪论

习题一

1.设x0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。 解：求lnx的误差极限确实是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有

已经明白

x*的相对误

差

，故

即

2.以下各数都是通过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直截了当按照定义和式(1.2.2)(1.2.3)那么得

有5位有效数字，其误差

限

有2

位有效数字，

有5

位有效数字，

3.以下公式如何才比拟精确？ （1）（2）

，相对误差

限

满

足

，

而

解：要使计算较精确，主要是防止两相近数相减，故应变换所给公式。 （1）

（2）

四个选项：

取

，利用 ：

式计算误差最小。

第二、三章 插值与函数逼近

习题二、三 1.

给定

的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并可能误差限. 解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差可能（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值

误

差

限

，

因

，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton

插值

误

差

限，故

2. 在-4≤x≤4

上给出

的等距节点函数表，假设用二次

，函数表的步长h

插值法求

的近似值，要使误差不超过应取多少?

解：用误差可能式（5.8），

令因得

3. 假设

，求

和.

解：由均差与导数关系

因而4. 假设

的值，这里p≤n+1.

解

：

可知当

而当P＝n＋1时

因而得

有

互异，求

，由均差对称

性

5.

求证.

解：解：只要按差分定义直截了当展开得

6.

已经明白的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式可能误差. 解：按照给定函数表构造均差表

由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式

N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得

f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得

由于

7. 给定f(x)=cosx的函数表

篇二：数值分析1参考

参考答案1 一、1．2

2．xn?1?xn?3．1, 0 4．7,

f(xn)

(n?0,1,?) ?f(xn)

25 7

?(k?1)15(k)

??x2

?x11336. ? ,

1(k?1)

?x2??x1(k?1)12

20?

?200

3??10?2?4二、(1) L?

?0?1

3?

?00?1??

(2)

1?0?

1???20??

?,U??01

?0?

?00?

5??

?4???00

0?2

3

10

?0??0?? 3??4?1??

l65?

a65?(l61u15?l62u25?l63u35?l64u45);

u55

u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)

三、先造差分表如下：

（1）选x1?0.4,x2?0.6,x3?0.8,x4?1.0为节点，构造三次向前Newton插值多项式

?2y1?3y1

N(x?th)?y1??y1?t(t?1)?t(t?1)(t?2) 31 2!3!

将x1和h代入上式，那么有

N3(0.4?0.2t)?25?2t?1/2*t(t?1)?5/6*t(t?1)(?2)

由0.4?0.2t?0.7解得t?1.5,因而

(2) 选x3?0.8,x4?1.0,x5?1.2为节点，构造二次向前Newton插值式

?2y3

N2(x3?th)?y3??y3t?t(t?1)

2!

将x3和h代入上式，那么有

（3）由

f???(?)3

ht(t?1)(t?2)3!

(0.2???1.2,0?t?2)R2(x0?th)?

f???(?)3600

有R（2(xi?0.2t)?0.2t(t?1)(t?2)?*0.008*maxt(t?1)(t?2)

0?t?23!3!

可知f(x)有两位整数，故能保证有两位有效数字。 四、

?0?x??1,?1?x??x2,f(x)在M2中的最正确平方逼近元为

P?x??a0?0?x??a1?1?x?那么a0和a1满足如下正规方程组

???0，?0???0，?1???a0????0，f??????，????，?????a?????f??

011??1??1??1

设

?22/3??1?即????

?2/32/5??1/2?解得a1?15/16,a0?3/16所求最正确平方逼近元为P(x)?3/16?15/16*x2

五、 (1)

因Q对称正定，那么对任意向量x,二次型xTQx?0,故f(x)?xQx?0,且当仅当x?0时f(x)?0.

T

设c为任意实数，那么

(2) f(cx)?

(cx)TQ(cx)?c2xTQx

?cxTQx?cf(x)

下边证明三角等式f(x?y)?f(x)?f(y)成立.

f(x?y)?(x?y)TQ(x?y)?xTQx?yTQy?xTQy?yTQx?xTQx?yTQy?2xTQy

因Q对称正定，那么Q一定有因子分解方式。

Q?BTB

从而xTQy?(BxT)(By),因而有

(3)

xTQy?(Bx)T(By)?(Bx)T(Bx)(By)T(By)代入上面的f(x?y)那么有

f(x?y)?xTQx?yTQy?2xTBTBxyTBTBy?xTQx?yTQy?2xTQxyTQy?xTQx?yTQy?f(x)?f(y)

因而三角不等式立，f(x)?xTQx是x的一种范数

六、

设?为B的任一特征值，u?0为相应的特征向量，那么Bu??u,从而

uT(A?BAB)u?uTAu?uTBABu

?uTAu?(Bu)TA(Bu)?uTAu?(?u)TA(?u)?(1??2)(uTAu)

由于A?BAB和A正定，

故

uT(A?BAB)u?(1??2)uTAu?01??2?0

即

??1,?(B)?1

因而此格式对任意初始点x(0)都收敛。

篇三：数值分析复习题及答案

数值分析复习题

一、选择题

1. 3.142和3.141分别作为?的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4

2

2. 已经明白求积公式

?

1

f?x?dx?

121

f?1??Af()?f(2)636，那么A＝（ ）

1112

A． 6 B．3C．2 D．3

3. 通过点

?x0,y0?,?x1,y1?的拉格朗日插值基函数l0?x?,l1?x?满足（ ）

＝0，

A．

l0?x0?l0?x0?

l1?x1??0l1?x1??1

B．

l0?x0?l0?x0?

＝0，

l1?x1??1l1?x1??1

C．＝1，D． ＝1，

4. 设求方程

f?x??0

的根的牛顿法收敛，那么它具有（ ）敛速。

A．超线性 B．平方 C．线性 D．三次

?x1?2x2?x3?0?

?2x1?2x2?3x3?3??x?3x?2

2

5. 用列主元消元法解线性方程组?1 作第一次消元后得到的第3个方程（）.

?x2?x3?2

?2x2?x3?3

A． B． C．D．

二、填空

?

1. 设 x?2.3149541...，取5位有效数字，那么所得的近似值x=.

f?x1,x2??

f?x2??f?x1?x2?x1

?

f?x3??f?x2?6?151?4

??3f?x2,x3????2?1x3?x24?22

，

那么二阶差商

f?x1,x2,x3??______

T

X?(2,?3,?1)3. 设, 那么||X||2? ，||X||?? 。

2

4．求方程 x?x?1.25?0 的近似根，用迭代公式

x?

x0?1， 那么 x1?______。

?y?f(x,y)

?

y(x0)?y0y?______。

5．解初始值征询题 ?近似解的梯形公式是 k?1 ?11?

A???

?51??6、 ，那么A的谱半径

＝ 。

7、设

f(x)?3x2?5, xk?kh, k?0,1,2,... ,

。

，那么

f?xn,xn?1,xn?2??

f?xn,xn?1,xn?2,xn?3??

8、假设线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，那么雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。 9、解常微分方程初值征询题的欧拉（Euler）方法的部分截断误差为。

y?10?

10、为了使计算成。

123

??

x?1(x?1)2(x?1)3的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写

T

X?(2,3,?4)11. 设, 那么||X||1? ，||X||2?12. 一阶均差

f?x0,x1??

133?3??3?

C0?,C1???C2??3?

C88，那么3? 已经明白n?3时，科茨系数

由于方程

f?x??x?4?2x?0

在区间

?1,2?上满足 ，因而f?x??0在区间内有根。

15. 取步长h?0.1，用欧拉法解初值征询题

??y

?y?2?y

x?

?y?1??1?

的计算公式 .

*

*

16.设x?2.40315是真值x?2.40194的近似值，那么x有 位有效数字。

3

17. 对f(x)?x?x?1, 差商f[0,1,2,3]?()。

T

||X||??X?(2,?3,7)18. 设, 那么。

19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和k?0

(n)C?k?

n

20. 假设a=2.42315是2.42247的近似值，那么a有( )位有效数字.

?l(x),l(x),?,l(x)0,1,?,n01n21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，那么i?0

22. 设f (x)可微，那么求方程x?f(x)的牛顿迭代格式是().

(k?1)(k)

X?BX?f收敛的充要条件是。 23. 迭代公式

n

ili(x)?

().

(k?1)(k)

x?Bx?f中的B称为(). 给定方程24. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式

?9x1?x2?8?

x?5x2??4，解此方程组的雅可比迭代格式为( 组?1 )。

25、数值计算中主要研究的误差有和。

26、设

n

lj(x)(j?0,1,2?n)

是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，那么

lj(xi)?

(i,j?0,1,2?n)；

?l(x)?

jj?0

。

27、设

lj(x)(j?0,1,2?n)

是区间[a,b]上的一组n次插值基函数。那么插值型求积公式的代数精度为；插值

型求积公式中求积系数

Aj?

?A

j?0

n

j

?

。

28、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。

2f(x)?x?1,那么f[1,2,3]?_________,f[1,2,3,4]?_________。 29、

30.设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，那么x*有

3设 f(x)?x?x?1,那么差商(均差)f[0,1,2,3]?，f[0,1,2,3,4]? 31.

x?f(x)根的牛顿迭代格式是 。

?12?A???A??A?34??33.已经明白,那么 , 。

34. 方程求根的二分法的局限性是 三、计算题

19

f(x)?x, x0?, x1?1, x2?

44 1．设

?19??4,4?f?x??上的三次Hermite插值多项式??x?使满足（1）试求 在 ?

32

H(xj)?f(xj), j?0,1,2,...H(x1)?f(x1)

，

??x?

以升幂方式给出。

（2）写出余项 R(x)?f(x)?H(x)的表达式

2．已经明白

的

满足

，试征询如何利用

构造一个收敛的简单迭代函数

，使

0，1…收敛？

?y?f(x,y)h?y?y?(yn?1?4yn?ynn?1n?1?1)y(x)?y00?33． 推导常微分方程的初值征询题 的数值解公式：

（提示： 利用Simpson求积公式。）

4． 利用矩阵的LU分解法解方程 组

?x1?2x2?3x3?14

?

?2x1?5x2?2x3?18?3x?x?5x?20

3?12

y?

5. 已经明白函数

1

1?x2的一组数据：

的近似值.

求分段线性插值函数，并计算

f?1.5?

?10x1?x2?2x3?7.2?

23

6. 已经明白线性方程组?1（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）于初始值X????0,0,0?

，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算X

?1?

（保存小数点后五位数字）.

3?1,2?之间的近似根 7. 用牛顿法求方程x?3x?1?0在

（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.

1?01?x8. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.

1

9．用二次拉格朗日插值多项式

的值。

插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。

?2

10.用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在 [1.0,1.5]区间内的一个根，误差限??10。

3

?4x1?2x2?x3?11?

?x1?4x2?2x3?18?2x?x?5x?22(0)T

x?(0,0,0)123?11.用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。

1

A1,A2和A3,使求积公式

11

f(x)dx?Af(?1)?Af(?)?Af()关于次数?2的一切多项式都精确成立123??1

33

?3x1?2x2?10x3?15

?

?10x1?4x2?x3?5?2x?10x?4x?8

2313. 对方程组 ?1试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由

14. 确定求积公式

数精度.

?

1

?1

f(x)dx?Af(?0.5)?Bf(x1)?Cf(0.5)

的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代

?y??3x?2y?

15. 设初值征询题 ?y(0)?1

0?x?1

. (1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值征询题数值解的公式；

(2)写出用改良的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值征询题数值解的公式，并求解y1,y2，保存两位小数。

?x

16. 取节点x0?0,x1?0.5,x2?1，求函数y?e在区间[0,1]上的二次插值多项式P2(x)，并可能误差。

17、已经明白函数y?f(x)的相关数据

1?P()P3(x

)2的近似值。 由牛顿插值公式求三次插值多项式