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3-1 已知某单位反馈系统的开环传递函数为，试求其单位阶跃响应。
解法一，采用拉氏反变换：
系统闭环传递函数为：
输入为单位阶跃，即：
故：
可由待定系数法求得：
所以，
对上式求拉氏反变换：
解法二，套用典型一阶系统结论：
由式(3-15)，已知典型一阶系统为：
由式(3-16)，其单位阶跃响应为：
若一阶系统为，则其单位阶跃响应为：
现本系统闭环传递函数为：
其中，
所以，
采用解法二，概念明确且解题效率高，计算快捷且不易出错，应予提倡。
3-2 设某温度计可用一阶系统表示其特性，现在用温度计测量容器中的水温，当它插入恒温水中一分钟时，显示了该温度的98%，试求其时间常数。又若给容器加热，水温由0℃按10℃/min规律上升，求该温度计的测量误差。
解：
（1）由题意知，误差为2%，因此调节时间：，即时间常数T：
（2）由题意知输入信号为斜坡信号，。由式(3-24)，一阶系统跟踪斜坡信号时有一固定稳态误差：
3-3 一阶系统的结构如题3-3图所示，其中K1为开环放大倍数，K2为反馈系数。设K1＝100，K2＝0.1。试求系统的调节时间ts（按±5％误差计算）；如果要求ts＝0.1，求反馈系数K2。
题3-3图 系统的结构图
解：
系统闭环传递函数为：
可见，时间常数
（1）调节时间（5％误差）
（2）已知，所以
3－4 设单位反馈系统的开环传递函数为，求该系统的单位阶跃响应。
解：
系统闭环传递函数为：
这是一个二阶过阻尼系统，不是二阶振荡系统，因此不能套用现成结论。可用传统方法求解，即：
输入为单位阶跃：
故：
对上式求拉氏反变换：
3-5 已知某系统的闭环传递函数为
系统单位阶跃响应的最大超调，峰值时间，试确定和值。
解：
由，可求得： （也可查图3-16而得）
由，可求得：
3-6 一单位反馈系统的开环传递函数为
求：（1）系统的单位阶跃响应及动态性能指标、、和；
（2）输入量为单位脉冲时系统的输出响应。
解：
系统闭环传递函数为：
（注：上式已经符合标准式(3-27)，否则应变换为标准式才能继续）
系统的参数为：，为欠阻尼。
（1）由式（3-46），单位阶跃响应：
，其中
代入各参数：
，其中
以下求各指标：
由，其中，
故：
（也可查图3-16而得）
（2）由式（3-46），单位脉冲响应：
代入各参数：
3-7 某二阶系统的结构框图如题3-7图所示，试画出，和时的单位阶跃响应曲线。
题3-7图 控制系统框图
解：
系统闭环传递函数为：
系统的参数为：。
(1)
此时，，为欠阻尼，可求得：
(2)
此时，由，可知，仍为欠阻尼。由于阻尼比增大，因此超调量减小。
若, 调节时间将由于阻尼比的增大而减小.
(3)
此时，由，可知，成为过阻尼系统，因此没有超调量。
调节时间的计算不能应用公式, 应按照定义计算, 通常会加大, 略.
三种情况下的单位阶跃响应曲线如下面图所示。
3-8 由实验测得二阶系统的单位阶跃响应曲线如题3-8图所示，试计算其系统参数和。
题3-8图 二阶系统的单位阶跃响应曲线
解：
由图可知，。
由，可求得： （也可查图3-16而得）
由，可求得：
3-9 某系统如题3-9图所示，若要求单位阶跃响应的最大超调，调节时间，试确定值和值。
题3-9图 控制系统框图
解：
系统闭环传递函数为：
与标准式(3-27)比较，知：
且，所以：
根据题意，最大超调。而超调量是阻尼比的单值函数，由此可决定阻尼比：
而调节时间，所以：
由此得联立方程：
解得：
3-10 典型二阶系统的单位阶跃响应为
试求系统的最大超调、峰值时间、调节时间。
解：
由式（3-46），典型二阶系统的单位阶跃响应表达式为：
，其中
将上式与给定响应式比较，可计算系统的二个参数。
由，求得阻尼比：
或者也可这样求：
由，求得阻尼比：
由，得
二个参数求出后，求各指标就很方便了。
（1）最大超调 (或查图3-16)
（2）峰值时间
（3）调节时间：
3-11 已知某三阶控制系统的闭环传递函数为
试说明该系统是否有主导极点。如有，求出该极点，并简要说明该系统对单位阶跃输入的响应。
解：
闭环系统有三个极点，分别是：
将实极点与共轭复极点的实部作一比较：
，且附近无零点。因此确实可视为闭环系统主导极点。
即可以用二阶主导极点系统近似等于原三阶系统：
该二阶系统的参数为：
单位阶跃输入的响应指标为：
3-12 已知控制系统的特征方程如下，试分析系统的稳定性。
3-12（1）
解：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
1
4
2
3
5
9
5
5
结论：劳斯表第—列变号二次，系统不稳定。（特征方程有二个右根）
3-12（2）
解：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
2
3
10
1
5
10
10
结论：劳斯表第—列变号二次，系统不稳定。（特征方程有二个右根）
3-12（3）
解：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
1
1
3
3
0
1
结论：劳斯表第—列出现零值，系统不稳定。（特征方程有纯虚根）
3-12（4）
解：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
8
20
16
2
12
16
2
12
16
0
0
结论：劳斯表出现全零行，系统不稳定。（特征方程有纯虚根）
3-13 设某系统的特征方程，试确定待定参数a及b，以便使系统稳定。
解：
列劳斯表如下
1
为使系统稳定，需满足以下条件：
①特征方程的系数均大于0，即：
②劳斯表第—列元素均大于0，去除与条件①重复部分后，有：
解以上4个不等式：
由(1): ；由(2)和(3): ；综合得：；
由(3): ；
由(4): ；综合得：
于是，闭环系统稳定条件为：
3-14 已知单位反馈系统的开环传递函数为
（1）
（2）
试分析闭环系统的稳定性。
解：
（1）
系统闭环传递函数为：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
0.1
10
2.5
100
6
100
结论：劳斯表第一列均为正值，系统闭环稳定。
（2）
系统闭环传递函数为：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
4
2500
1
120
3
2499.9
1
2.952
1
结论：劳斯表第一列均为正值，系统闭环稳定。
3-15 试分析下列图示系统的稳定性。
题3-15图 控制系统框图
解：
3-15（a）
先求系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
这是一个二阶系统，只要特征方程的系数均大于0就必然稳定，无须采用劳斯判据。（同学可自证之）
3-15（b）
该闭环系统有二个反馈回路，可采用方块图等效化简方法合并之。
即系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
10
21
10
10
结论：劳斯表第—列均为正值，系统闭环稳定。
3-16 试确定使题3-16图所示系统稳定的值。
3-16（a）
解：
先求系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项，要求K>0。
②列劳斯表如下
1
2
1
K
K
若要求劳斯表第—列均为正值，应满足：
综合有：
开环增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。
3-16（b）
解：
先求系统闭环传递函数（可参考习题3-15b）：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。
②列劳斯表如下
1
10
10
10
若要求劳斯表第—列均为正值，应满足：
综合有：
速度反馈增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。
3-16（c）
解：
先求系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。
②列劳斯表如下
0.025
1
0.35
K
K
若要求劳斯表第—列均为正值，应满足：
综合有：
开环增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。
3-17 已知单位反馈系统的开环传递函数为
式中，，，试确定使系统稳定的值。
解：
先求系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。
②列劳斯表如下
1
K
K
若要求劳斯表第—列均为正值，应满足：
综合有：
（1）
代入数据后：
开环增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。
本题的数学模型较为常见，采用先公式运算再代入参数的方法可以得到一般性结论，例如（1）式。习题3-19就可引用本题结果。
3-18 设单位反馈系统的开环传递函数为
要求闭环特征根实部均小于-1，试确定值的取值范围。
解：
通常，闭环特征根实部均小于0可使闭环系统稳定。但在工程上，不仅要求闭环系统稳定，而且常常要求闭环系统具有一定的稳定裕量。本题的意义即在于此。有关稳定裕量的概念，将在第4章中介绍。
数学上可这样处理：
令，代入特征方程。
这表示，若求解特征方程，使闭环特征根的实部小于0，就相当于使的实部小于-1，因此，对于变量的特征方程，就可以使用常规劳斯判据了。
求系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
令，代入特征方程：
即：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。
②列劳斯表如下
若要求劳斯表第—列均为正值，应满足：
综合有：
开环增益K在上述范围内，则闭环系统不但稳定，且所有闭环极点的实部均小于-1。
3-19 已知单位反馈系统的开环传递函数为
试根据下述条件确定的取值范围。
（1） 使闭环系统稳定；
（2） 当时，其稳态误差。
解：
（1）关于闭环稳定性
求解本题当然可以用普通方法，如在习题3-12至3-18中所应用的。
但我们换一种思路，设计利用一些规律性的结果。在习题3-17中已经求出，对于单位反馈系统若具有下列形式的开环传递函数：
当时，闭环系统稳定。
将本题改写成如上形式：
①
可以看出，二个参数为：
因此，习题3-17中，稳定条件就成为
即
②
（2）关于稳态误差
式①是求闭环稳态误差的开环传递函数的标准形式。可以看出，该系统是1型系统，开环增益是K/25，静态速度误差系数也为：
当输入为斜坡函数时，其稳态误差为
已知要求在此输入下：
即
③
综合②和③，有：
开环增益K在上述范围内，既满足闭环系统稳定性要求，也满足稳态误差要求。
3-20 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求三个静态误差系数，并分别求出当、、时系统的稳态误差值。
（1）
解：
将开环传递函数写成标准形式：
参数为：
型别：0
开环增益：K=1
三个系数（查表3-5）：
静态位置误差系数：
静态速度误差系数：
静态加速度误差系数：
稳态误差（查表3-6）：
阶跃输入：
斜坡输入：
抛物线输入：
（2）
解：
开环传递函数已经是标准形式。
参数为：
型别：1
开环增益：K=5
三个系数（查表3-5）：
静态位置误差系数：
静态速度误差系数：
静态加速度误差系数：
稳态误差（查表3-6）：
阶跃输入：
斜坡输入：
抛物线输入：
（3）
将开环传递函数写成标准形式：
参数为：
型别：2
开环增益：
三个系数（查表3-5）：
静态位置误差系数：
静态速度误差系数：
静态加速度误差系数：
稳态误差（查表3-6）：
阶跃输入：
斜坡输入：
抛物线输入： （注：给定输入为：）
3-21 已知单位反馈系统的传递函数为
求参考输入为斜坡函数时的稳态误差。
解：
给定条件是闭环传递函数，为更好地识别系统的参数与型别，可先求出其开环传递函数。
由：
可求得：
将给定代入上式：
进一步整理成标准形式：
可见，这是一个2型系统。立即可知，它对于斜坡输入的稳态误差为零（由表3-6）：。
进一步地，当输入为单位加速度函数时，本系统的稳态误差为：。
3-22 设单位反馈系统的开环传递函数为
试求三个静态误差系数，以及系统在参考输入作用下的稳态误差。
解：
开环传递函数已经是标准形式。
参数为：
型别：2
开环增益：K=10
三个系数（查表3-5）：
静态位置误差系数：
静态速度误差系数：
静态加速度误差系数：
为求系统在参考输入作用下的稳态误差，可先求稳态误差各个分量（查表3-6），然后合成：
阶跃输入：
斜坡输入：
抛物线输入：
稳态误差合成：
3-23 控制系统框图如题3-23图所示。当扰动信号分别为、时，试分别计算下列两种情况下扰动信号产生的稳态误差，并对其结果进行比较。
题3-23图 控制系统框图
（1），
（2），
解：
图示系统为典型控制系统方块图。令，即，可以得到扰动信号产生的稳态误差，据式（3-82）有：
在本题中，有，即
（1）
①当时，；
②当时，；
（1），
代入式（1）：
①当时，；
②当时，；
（2），
代入式（1）：
①当时，；
②当时，；
3-24(补充) 用某温度计(一阶系统)测量容器中水温，在恒温水中一分钟时，显示了该温度的95%，求其时间常数。又若给容器加热，水温由0℃按6℃/min规律上升，求该温度计的测量误差。
(注: 计算过程及结果均应有单位参与.)
解:
（1）由题意知，误差为5%，因此调节时间：，即时间常数T：
（2）由题意知输入信号为斜坡信号，。由式(3-24)，一阶系统跟踪斜坡信号时有一固定稳态误差：
要有必要的说明及单位运算. 单位混淆会导致如之类的错误.
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