九下数学巧学案（胡清华修改）.doc

十四中慧教巧学案 ※ 九年级下学期数学
第二十八章 锐角三角函数
28．1 锐角三角函数（1）
编写人：吴远林
【学习目标】1、理解锐角正弦的意义，能运用sinA表示直角三角形中两边的比。
2、能根据正弦的意义进行简单的计算。
【教学重点】理解正弦的意义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
【教学难点】当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
一、课前预习
预习课本P74---P77页完成下列各题：
1、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，求AB

2、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，求BC

3、为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备 的水管；如果使出水口的高度为a m，那么需要准备 的水管。

4、直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值是 。

5、直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 。
预习疑惑：

二、课堂探究：
【例1】如图，在直角△ABC中，∠C=90°,BC=8,AC=15,求sinA和sinB的值.

【变式训练】
1.如图，在直角△ABC中，∠C=90°,BC=6,AB=10,求sinA和sinB的值.

2．在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____；

3.在Rt△ABC中,∠C=900,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_____.

【例2】在Rt△ABC中, , 求sinA和sinB的值。

【变式训练】
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=,求sinA的值。

三、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？预习时的疑惑解决了吗？

2、你还有哪些疑惑？

四、限时检测：
1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）
A． 　B． C． 　D．
2． 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )
A． B．3 C． D．
3．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
A． B． C．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．

五、拓展延伸：
1.已知在△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=，求△ABC的面积。

2..菱形的两条对角线长分别为2和6，则菱形较小的内角为______度。

28．1 锐角三角函数（2）
编写人：吴远林
【学习目标】1.理解锐角余弦、正切的意义，能运用cosA、tanA表示直角三角形中两边的比。
2.能根据余弦、正切的意义进行简单的计算。
3.经历探索直角三角形中边角关系的过程，感受数形结合的思想方法。
【教学重点】理解锐角三角函数的意义，能用它进行简单的计算。
【教学难点】用函数的观点理解正弦、余弦、正切。
一、课前预习
预习课本P77--P78页完成下列各题：
1.在Rt△BC中，∠C=90°，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 ，即 ；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 ，即 。
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=9,b=12,求sinA、cosA、tanA的值。

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求sinA，cosB的值。

预习疑惑：

二、课堂探究：
【例1】如图，在直角△ABC中，∠C=90°,AB=13,AC=12,求其两个锐角的正弦、余弦值和正切值.

【变式训练】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA，tanB的值。

【例2】已知∠A为锐角，sinA＝，求cosA、tanA的值。

【变式训练】
1. 已知，cosA=,试求sinA和tanA的值.

三、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？预习时的疑惑解决了吗？

2、你还有哪些疑惑？

四、限时检测：
1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（ ）
A．B．C．D．
2. 在中，∠C＝90°，如果cos A=那么的值为（ ）
A．B．C．D．
3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4）， 则cosα
＝_____________.
4、在Rt△ABC中,∠C为直角,sinA=,则cosB的值是( ).
A. ; B. ; C.1; D. .
5、如图,在Rt△ABC中,∠C为直角,CD⊥AB于D,已知AC=3,AB=5,则tan∠BCD等于( ).
A
C
D
B
A. ; B. ; C. ; D. .

五、拓展延伸：
1.∠A为锐角,已知sinA=,那么cos(900-A)=___________.
2.已知α为锐角,且<cosα<,则α的取值范围是（ ）
A. 00<α<300; B. 600<α<900; C. 450<α<600; D. 300<α<450.
3.AE、CF是锐角△ABC的两条高，如果AE：CF=3：2，则sinA：sinC等于（ ）
（A）3：2 （B）2：3 （C）9：4 （D）4：9
4. 如图，在Rt△ABC中，探究sinA与cosA的关系，以及tanA与sinA、cosA的关系。

28．1 锐角三角函数（3）
编写人：吴远林
【学习目标】1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。
【教学重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练运用它们进行计算。
【教学难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
一、课前预习
预习课本P79—P80页完成下列各题：
1. 填表：

30°
45°
60°
siaA

cosA

tanA

1. 求下列各式的值：
（1）1-2sin30°cos30°; (2)3tan30°-tan45°+2sin60°;

(3).

预习疑惑：

二、课堂探究：
【例1】求下列各式的值:
（1）cos260°+sin260°． （2）-tan45°．

【变式训练】求下列各式的值:
1.
2.+

【例2】（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．

【变式训练】
1. 在中，∠C＝90°,BC=,AC=,求∠A，∠B的度数。

三、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？预习时的疑惑解决了吗？

2、你还有哪些疑惑？

四、限时检测：
1. 求下列各式的值:
(1)sin450·cos450-cos2450+sin2300

（2）

2. 在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定
3．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（ ）．
A． B． C． D．
4.在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：：2，则sinA+tanA等于（ ）．
A.

五、拓展延伸：
1.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= 。
（2）对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 。
（3）如图②，已知sinA=，其中∠A为锐角，试求sadA的值。
A
A
B
C
C
B
图①
图②

28．2 解直角三角形（1）
编写人：吴远林
【学习目标】1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3. 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
【教学重点】利用锐角三角函数解决有关实际问题；解直角三角形的定义。
【教学难点】数学模型的建立以及解直角三角形类型的归纳。
一、课前预习
预习课本P85—P86页完成下列各题：
1．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

2．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形
(1)a=10， b=10 ； (2)∠B=60°,c=14.

预习疑惑：

二、课堂探究：
【例1】在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形．
【变式训练】
1.在Rt△ABC中，∠C =90°,∠B =30°，b=20，解这个三角形．

2. 在Rt△ABC中， ∠C =90°，b=8，c=8,解这个三角形．

三、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？预习时的疑惑解决了吗？

2、你还有哪些疑惑？

四、限时检测：
1.Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
2.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
3.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（ ）
A． B． C．
4.在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则的值是（ ）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
5.在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。

五、拓展延伸：
1.要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) 
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子 

2. Rt△ABC中，∠C＝90°，方程有两个相等的实数根，斜边为c，方程也有两个相等的实根，求这个直角三角形的三边的长。

3. 如图在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC。
（1）求证：AC＝BD。
（2）若，求AD的长。

28．2 解直角三角形（2）
编写人：吴远林
【学习目标】1.使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
2.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【教学重点】解直角三角形及其在实际问题中的应用，数形结合的思想。
【教学难点】在实际问题中建立直角三角形的模型并求解。
一、课前预习
预习课本P87—P88页完成下列各题：
1.当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 ，在水平线下方的角叫做 ．
2.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=60°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．

预习疑惑：

二、课堂探究：
【例1】2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)

【例2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?

【变式训练】
1. 在山脚C处测得山顶A的仰角为45°，沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。

2. 在山脚C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为60° ,求山高AB。

三、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？预习时的疑惑解决了吗？

2、你还有哪些疑惑？

四、限时检测：
1.在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底D测得点A的俯角β=45°，已知塔高BD=30米，求山高CD。

2. 如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°,求山高CD。 (结果用根号表示）

五、拓展延伸：
1．建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)

28．2 解直角三角形（3）
编写人：吴远林
【学习目标】1.使学生了解方位角的概念，能根据解直角三角形的知识解决航海中的有关测量问题。
2.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法。
【教学重点】用三角函数有关知识解决方位角问题。
【教学难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型。
一、课前预习
预习课本P89—P90页完成下列各题：
P
A
B
C
30°
60°
北
1.如图，小刘在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC为 米（用根号表示）.

2. 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)

预习疑惑：

二、课堂探究：
【例1】海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

【变式训练】
1.如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处，甲船从小岛A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口。已知两船同时出发。
(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等？
(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向

【例2】由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？

三、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？预习时的疑惑解决了吗？

2、你还有哪些疑惑？

四、限时检测：
1.如图，海关缉私艇在A处接到情报，在A的北偏西60°方向的B处发现一可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，于是该艇立即沿北偏西45°方向前进，经过1小时航行，恰好在C处截住可疑船只，求缉私艇的速度。

2.在海岸A处，发现北偏东方向，距A为km的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距A为2km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船，此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间.

A
B
C
中山路
文化路
D
和平路
45°
15°
30°
环城路
E
F
3.如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．

五、拓展延伸：
1.小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为 2米，求电线杆的高度。

2.如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一棵树，高为AB．当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为8m.
⑴求树影顶端C到树AB所在直线的距离（结果保留根号）；
⑵求这棵树的高度(精确到0.01m) ．（备用数据：Sin300=0.5000,cos300=0.8660,tan300=0.5773，
Sin500=0.7660,cos500=0.6427,tan500=1.1917）
29．1 投影（1）
编写人：万文斌
【学习目标】1．经历实践-探索-归纳，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；
2．了解平行投影和中心投影的区别；
3．引导学生关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
【教学重点】理解平行投影和中心投影的特征。
【教学难点】在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。
一、课前预习
预习课本P100—P101页完成下列各题：
1.一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的 ，照射光线叫做 ，投影所在的平面叫做 。
如：一个人在太阳光线的照射下行走在大路上，能形成影子，太阳光线叫做 ,路面上的影子叫做 ，所走的路面就是 。
2.有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是 。太阳光与影子的关系：物体在太阳光照射的不同时刻，不但影子的大小在变化，而且影子的方向也在变化，在早晨太阳位于正东方，此时的影子较长，位于 ；在上午，影子随着太阳位置的变化，其长度逐渐变短，方向向正北方向移动；中午影子最短，方向正北；下午，影子的长度又逐渐 ,其方向向正东移动。
3.由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做 。产生中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作 ,这两条直线的 ,即为光源的位置。

预习疑惑：

二、课堂探究：
【例1】以数学学习小组为单位，在太阳光线下，不断改变木杆和三角形纸板的位置，观察木杆和三角形纸板在地面的投影：
（1）什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段？
（2）当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？
三角形纸板的影子与三角形纸板成为全等图形时？三角形纸板在什么位置，它还有其他情况吗？

【例2】中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这种投影下，物体的影子也就有明显的差别。当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A′B′把线段AB放大了，且AB A′B′，△OAB O A′B′，当△ABC所在的平面与投影面平行时， △ABC的中心投影△A′B′C′也把△ABC放大了，从△ABC到△A′B′C′是我们熟悉的 。

归纳：平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？

类型

区别

联系
光线
物体与投影面平行时的投影
平行投影

中心投影

三、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？预习时的疑惑解决了吗？

2、你还有哪些疑惑？

四、限时检测：
1．阳光下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小勇和小宁站在同一列，小勇的影子正好落到后面一个同学身上，而小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，据此判断他们的队列方向是_________(填“背向太阳”或“面向太阳”)，小宁比小勇_____(填“高”、“矮”、或“一样高”)．
2.晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是( )
A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．逐渐变短 D．逐渐变长
3.如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图．已知桌面的直径是1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积是( )
A．0.36pm2 B．0.81pm2 C．2pm D．3.24pm2
4．物体的影子在正北方，则太阳在物体的( )
A、正北 B、正南 C、正西 D、正东
5．一只小狗在平面镜前欣赏自己(如图所示)，它所看到的全身像是( )

五、拓展延伸：
1．确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．

2．太阳光线与地面成45°角，一棵倾斜的树与地面的夹角为60°，若树高10m，则树影的长为______．

29．1 投影（2）
编写人：万文斌
【学习目标】1．能正确识别正投影
2．根据正投影的性质能画出简单的平面图形的正投影
3．通过动手实践操作训练，发展空间想象能力。
【教学重点】正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影。
【教学难点】归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影。
一、课前预习
预习课本P102—P105页完成下列各题：
1.下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，你能判断其中哪个是平行投影哪个是中心投影吗?图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?

2.在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为 。
3．物体在光线照射下，在地面或墙壁上留下的影子叫做它的_________，手电筒、路灯的光线可以看成是从_________发出的，它们所形成的投影是_________投影，而太阳光线所形成的投影是_________投影，将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影的形状是____________．
4．平行于地面的矩形纸片在太阳光线的垂直照射下落在地面上的投影形状是 ；
平行于地面的矩形纸片在太阳光线的斜射下落在地面上的投影形状是 ；
垂直于地面的矩形纸片在太阳光线的斜射下落在地面上的投影形状是 ；
5．平行于地面的圆形纸片在太阳光线的垂直照射下落在地面上的投影形状是 ；
平行于地面的圆形纸片在太阳光线的斜射下落在地面上的投影形状是 ；
垂直于地面的圆形纸片在太阳光线的斜射下落在地面上的投影形状是 ；
预习疑惑：

二、课堂探究：
【例1】如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:
    (1)铁丝平行于投影面；
    (2)铁丝倾斜于投影面；
    (3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状 ？

通过观察，我们可以发现;
    (1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB A1B1  
    (2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB A2B2
    (3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3
【例2】如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:
   (1)纸板平行于投影面;
    (2)纸板倾斜于投影面;
    (3)纸板垂直于投影面
结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小 ；
    (2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小 ；
    (3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为 。
归纳：在平行投影中，当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 。
三、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？预习时的疑惑解决了吗？

2、你还有