解答题专项训练——解析几何二.doc

如皋市第一中学2009-2010学年高三数学教案
解答题专项训练——解析几何二
1.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题：
（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系
（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）

2.已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程。
（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。
（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线过定点有关的数学问题，并解答所提问题。

3.已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点．
（1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①；②；③．请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；
（2） 现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
（3） 如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）

4.如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为 椭圆的相似比.
（1）已知椭圆和，
判断与是否相似，
如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线,与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，在椭圆上是否存在两点、关于直线对称，若存在，则求出函数的解析式.
（3）根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；

解答题专项训练——解析几何二
答案
1.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题
（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系
（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线
（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）

解：（1）； ………………2分
联立方程； …………3分
与椭圆M相交 …………4分
（2）联立方程组
消去

（3）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线
的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：　……14分
证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交

命题得证
（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）
（第20题）
（4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线的两个焦点，点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：……………20分
（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）
2.已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程。
（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。
（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线过定点有关的数学问题，并解答所提问题。
（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线＋2＝0的距离相等。 ----(1分)
由抛物线定义得：点在以为焦点直线＋2＝0为准线的抛物线上， ----(1分)
抛物线方程为。 ----(2分)
解法（B）：设动点，则。当时，，化简得：，显然，而，此时曲线不存在。当时，，化简得：。
（2），
，
， ----(1分)
，
，即，， ----(2分)
直线为，所以 ----(1分)

----(1分)
由（a）（b）得：直线恒过定点。 ----(1分)
1、（逆命题）如果直线，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点。求证：OA⊥OB （评分：提出问题得1分，解答正确得1分）
（若，求证：·=0，得分相同）
2、（简单推广命题）如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点（2p，0）
或：它的逆命题（评分：提出问题得2分，解答正确得1分）
3、（类比）
3．1（1）如果直线L与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)
3．1（2）如果直线L与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)
3．1（3）或它的逆命题
3．2（1）如果直线L与双曲线－＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)(a≠b)
3．2（2）如果直线L与双曲线－＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)(a≠b)
3．2（3）或它的逆命题
（评分：提出问题得3分，解答正确得3分）
4、（再推广）
直角顶点在圆锥曲线上运动
如：如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(,)，且PA⊥PB。求证：直线L过定点(＋2p,－)
（评分：提出问题得4分，解答正确得3分）
5、（再推广）
如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(,)，PA与PB的斜率乘积是常数m。求证：直线L过定点(－,－)
（评分：提出问题得5分，解答正确得4分）
或·为常数顶点在圆锥曲线上运动并把直角改为一般定角或OA与OB的斜率乘积是常数或·为常数
3.已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点．
（4） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①；②；③．请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；
（5） 现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
（6） 如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）
【解】（1）双曲线的焦点在轴上，所以①不是双曲线的方程……1分
双曲线不经过点，所以②不是双曲线的方程 …… 2分
所以③是等轴双曲线的方程 …… 3分
等轴双曲线的焦点、在直线上，所以双曲线的顶点也在直线上， …… 4分
联立方程，解得双曲线的两顶点坐标为，，所以双曲线的实轴长为 …… 5分
（2） 所求问题即为：在双曲线求一点，使最小．
首先，点应该选择在等轴双曲线的中第一象限的那一支上 …… 6分
等轴双曲线的的长轴长为，所以其焦距为
又因为双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是原点，所以是的一个焦点， …… 7分
设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的定义知：
所以，要求的最小值，只需求的最小值 …… 8分
直线的方程为，所以直线与双曲线在第一象限的交点为 …… 9分
所以码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低 …… 10分
（3）① ，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点； …… 1分
② 渐近线是和．当时，当无限增大时，无限趋近于，与无限趋近；当无限增大时，无限趋近于． …… 2分
③ 双曲线的对称轴是和． …… 3分
④ 双曲线的顶点为，，实轴在直线上，实轴长为 …… 4分
⑤虚轴在直线，虚轴长为 …… 5分
⑥焦点坐标为，，焦距 …… 6分
说明：（i）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分
（ii）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分
4.如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，
我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，
则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为 椭圆的相似比.
（1）已知椭圆和，
判断与是否相似，如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线,与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，在椭圆上是否存在两点、关于直线对称，若存在，则求出函数的解析式.
（3）根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
解： 解：（1）椭圆与相似. ………2分
因为的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，
而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为 ……… 6分

（2）椭圆的方程为：. ………8分
假定存在，则设、所在直线为，中点为.
则. ………10分
所以.
中点在直线上，所以有. ………12分
.
. ………14分
（3）椭圆的方程为：.
两个相似椭圆之间的性质有： 写出一个给2分
① 两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；
② 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；
③ 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；
过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. ………20分

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