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二次函数的复习资料
知识点1.二次函数的定义
1、一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．
2、当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
练习（1）下列函数中，二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B． C． D．y=x(x—1)
练习（2）如果函数是二次函数，那么m的值为
知识点2.二次函数的图像及性质
1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。
已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。
（1）、二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.
（2）、二次函数 ，当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
当时抛物线开口向下顶点为其最高点
（3）、对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（ ， ）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（ ， ）。二次函数用配方法或公式法（求h时可用代入法）可化成：的形式，其中h= ,k=
练习（3）抛物线的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是　　___.
练习（4）若抛物线的最低点在轴上，则的值为
（4）、二次函数 的对称轴为直线x=－ 运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A（m,n）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=－
练习（5）已知、是抛物线上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点、的坐标可能是_____________．（写出一对即可）
（5）增减性：二次函数 的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）
若，当x 时（在对称轴 侧），y随x的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y随x的增大而减小，若，当x 时（在对称轴 侧），y随x的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y随x的增大而减小，
练习（6）已知抛物线（＞0）的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小： _（填“>”，“<”或“=”）
特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内

练习（7）二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。则当时，的值是 。
（6）最大（小）值：
①若顶点横坐标在自变量的取值范围内
当a>0时，函数有最 值，并且当x= 时，y最 值= ；
当a<0时，函数有最 值，并且当x= 时，y最 值= ；
②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。
练习（8）二次函数y=m2x2-4x+1有最小值-3,则m等于( )
A.1 B.-1 C.±1 D.±
练习（9）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
练习（10）填表：
特
性
函
数

开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
+4

练习（11）若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A．=l B．>l C．≥l D．≤l
练习（12）、若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
X
-7
-6
-5
-4
-3
-2
y
-27
-13
-3
3
5
3
则当x=1时，y的值为 （可用多种解法）
2、画二次函数的图象：
首先将一般式化为顶点式①画对称轴②确定顶点③确定与y轴交点关于对称轴对称的点
④确定与x轴的交点或另选一组较简的对称点⑤连线
练习（13）已知二次函数.画出它的图象

3、抛物线的平移、对称、旋转：首先化二次函数的解析式为顶点式，抓住关键点顶点的变化，顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的形状大小完全相同，只是顶点的位置不同.反之，若几条抛物线的形状大小相同，则二次项系数的绝对值相同。抛物线的平移、对称、旋转过程中，的值不变。

① 抛物线y=ax2+bx+C向上平移n（n＞0）个单位后的解析式y=
抛物线y=ax2+bx+C向下平移n（n＞0）个单位后的解析式y=
② 抛物线y=ax2+bx+C向左平移n（n＞0）个单位后的解析式y=
抛物线y=ax2+bx+C向右平移n（n＞0）个单位后的解析式y=
③ 抛物线y=ax2+bx+c关于X轴对称的抛物线解析式是
（方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）
④ 抛物线y=ax2+bx+c关于Y轴对称的抛物线解析式是
（方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）
练习（14）将抛物线绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
※二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，则与分别等于（ ）
A、6、4 B、－8、14 C、4、6 D、－8、－14
4、抛物线y=ax2+bx+c的位置与参数a、b、c及相关特殊代数式的符号的关系：
①a的符号判别---开口向上 a 0；开口向下 a 0；
②c的符号判别---由抛物线的与Y轴的交点来确定：
若交点在y轴的正半轴 c 0；
若交点在y轴的负半轴 c 0；
若交点在原点 c 0；
③b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧 a、b同号；
对称轴在Y轴的右侧 a、b异号。
④a+b+c的符号由x=1时的点的位置决定;a－b+c的符号由x=－1时的点的位置决定
点（1，a+b+c）在x轴上方 a+b+c 0
点（1，a+b+c）在x轴下方 a+b+c 0
点（-1，a-b+c）在x轴上方 a-b+c 0
点（-1，a-b+c）在x轴下方 a-b+c 0

-1
1

y
⑤b+2a的符号由对称轴与1的大小关系确定；b－2a或2a-b的符号由对称轴与-1的大小关系确定
⑥△的符号由抛物线与x轴的交点个数确定
2个交点. △＞0
抛物线与x轴有
1个交点. △= 0
0个交点. △＜0
练习（16）已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
知识点3：确定二次函数的解析式
1、二次函数解析式常用的有三种形式：
(1) 当已知抛物线上任意三点（题设中直接或间接给出）时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。
(2)当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。
(3) 当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)
练习（17）有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,,．此二次函数的解析式是_____
练习（18）抛物线与x轴一个交点的横坐标为－2，顶点为(2,8),它的关系式为
练习（19）直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. 抛物线的解析式为
练习（20）已知抛物线经过点（0，－3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间你所确定的b的值是 ．
练习（21）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
你能得到抛物线的哪些特征？（至少写出四条）解析式是什么？

知识点4：二次函数与一元二次方程
1、二次函数与一元二次方程的关系：
(1) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值等于m的自变量x的值就是一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0)的解。反过来,解方程ax2+bx+c=0(a≠0)又看作已知二次函数y=ax2+bx+c值为0时求自变量x的值.
(2)二次函数的图象与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系.

一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况
二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点情况
b2-4ac>0
有两个不相等的根
有两个不同的交点
b2-4ac=0
有两相等的根
只有惟一的一个交点
b2-4ac<0
无实数根
无交点
2、弦长公式：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

3、直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线只有一个交点()
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(3)抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线y=k与抛物线的交点,同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。
当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则交点的横坐标是的两个实数根.
①有两个交点抛物线与直线y=k相交；
②有一个交点(顶点在直线y=k上)抛物线与直线y=k相切；
③没有交点抛物线与直线y=k相离.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组
的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时与有两个交点方程有两个不相等的实数根;
②方程组只有一组解时与只有一个交点方程有两个相等的实数根;
③方程组无解时与没有交点方程无实数根;
练习（22）二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表：

1

2

3

1

1

一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个（ ）
① ②
③ ④
练习（23）二次函数的图象如图所示，
（1）根据图象写出方程的两个根．　
（2）根据图象写出不等式的解集．　
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．　
练习（24）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
练习（25）已知函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
练习（26）已知二次函数y=x2+x+m,当x取任意实数时,都有y>0,则m的取值范围是( )
A.m≥; B.m>; C.m≤; D.m<
练习（26）已知关于x的函数y＝（m－1）x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝
练习（26）已知抛物线的图象与x轴有两个交点为，且，m=
练习（26）a取何值时,抛物线y=x2+ax+a-2与x轴的两个不同的交点间的距离最小?

练习（27）已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；
（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.

练习（28）如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（-1，0）（0，1.5）
（1）求此抛物线的函数关系式。
（2）若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求三角形ABP面积的最大值。
（3）问：此抛物线位于x轴的下方是否存在一点Q，，使△ABQ的面积与△ABP的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。

知识点5：二次函数的应用：
1、解决实际问题时的基本思路：
(1)分析理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；
(3)设谁为自变量x，谁为函数y，，找到变量间的相等关系，用函数表达式表示出y与x之间的关系；
(4)利用二次函数的有关性质进行求解；
(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等
2、二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值，运用二次函数的性质求实际问题的最大值或最小值的一般步骤 :
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。
解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问题的求解依靠方配法或最值公式，而不是解方程。
练习（29）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元．求：
（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于（元）的函数关系式．
（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？（6分）

3、利用二次函数的关系式求解实际问题的一般步骤:
(1).建立适当的直角系,并将已知条件转化为点的坐标
(2).合理设出所求的函数的表达式,并代入已知条件或点的坐标,求出关系式, (3).利用关系式，解决相关问题
练习（30）一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。此次投篮能否投中？若不中，在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？若不中，
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?
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