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锐角三角函数与相似综合提高
一、相似三角形
1．相似三角形判定定理：
　（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
　（2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．
　（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．
　（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．
　（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：
　（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．
2．相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
二、锐角三角函数
1．互余角的三角函数间的关系
（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．
2．同角三角函数间的关系
（1）；（2）．
三、解直角三角形
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）边与角之间的关系：，，．
2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，
设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；
由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；
由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．
从三角函数的角度考虑，有
由，得a2＝pc； 同理，得b2＝qc；
由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．
在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．
3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则
（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．
4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．

　　　　　　　　　图1 　　　　　　　图2 　　　　　　　　　　　　图3
5．直角三角形的面积：
（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．
6．直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型
一、选择题、
1、如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于
( ). A. B. C. D.
B
A
C
D
E

2、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为( ).
A． B．15 C． D．
3、如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为( ).
A． B． C． D．
4、 如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的
半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则的值为（ ）
A、B、C、D、
5. 如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，
连结CD，若tan∠BCD＝，则tanA＝（　　）
A.1 B. C. D.
二、填空题
6、直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k的值为 。
7、.已知关于的方程的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值．[来K]8．如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．
9、将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是_________cm2。
A
B
C
D
αA

10、Rt△ABC中，∠C=90º，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD= .
三、解答题
11、计算：+．

12．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东
30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°。
（1）求B、D之间的距离；
（2）求C、D之间的距离。

13、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F。
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值。

14、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径.

15、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

16、如图，已知：△ABC中，D是AB中点，⊥， cos∠，求.

O
B
A
C
E
M
D
17、如图，以线段为直径的⊙交线段于点，点是弧AE的中点，交于点，°，，．
①求的度数；
②求证：BC是⊙的切线；
③求MD的长度．

18、已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°。

A
D
B
C
O
①求证：AD是⊙O的切线；
②若OD⊥AB，BC=5，求AD的长。

20．已知： 如图，在△ABC中， AB=AC， AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O，交BC于点G，交AB 于点F， FB恰为⊙O的直径．
①求证：AE与⊙O相切；
②当BC=4，时，求⊙O的半径．

21、.要求的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：
作Rt△，使，斜边，直角边，
Ａ
Ｃ
Ｂ
2
1
．．在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出的值．请简要写出你添加的辅助线和求出的的值．

22、如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。
（1）求证：PM=PN；
（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

23、点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若，求弦MN的长．

24．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标。

25、如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,

26、如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°，
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）求AF•BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM•ON的值；
（4）求线段EF长的最小值．（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时， x+y=()2+2xy或 x+=(-)2+2）

27、如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为 ．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α-β）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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