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矩阵选讲(习题课)
解答题(本大题共10小题，每小题10分，共100分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
1．(2012年高考江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．
解析：因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.
因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，
于是矩阵A的特征多项式为
f(λ)＝＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
2．设数列{an}、{bn}满足an＋1＝2an＋3bnbn＋1＝2bn，且满足＝M，求二阶矩阵M.
解析：依题设有＝ ，
令A＝，则M＝A4，
A2＝ ＝.
M＝A4＝(A2)2＝ ＝.
3．(2012年福州质检)已知矩阵T＝，O是坐标原点，点A(1，0)在矩阵T的变换下得到点P.设b>0，当△POA的面积为，∠POA＝时，求a，b的值．
解析：∵ ＝ ，∴p(a，b)，
又∵b>0，∠POA＝，
∴S△AOP＝×1×sin ＝，
又S△OPA＝×1×b＝，∴a＝2，b＝2.
4．已知矩阵M＝，N＝.在平面直角坐标系中，设直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．
解析：由题设得MN＝ ＝，
设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，
点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′，y′)，
则有 ＝，
即＝，所以
因为点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，
从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0，
所以曲线F的方程为2x＋y＋1＝0.
5．已知二阶矩阵A有特征值λ1＝3及其对应的一个特征向量α1＝，特征值λ2＝－1及其对应的一个特征向量α2＝，求矩阵A的逆矩阵A－1.
解析：设二阶矩阵A＝，则有 ＝3，且 ＝－，
即且
解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1.
∴A＝，从而A－1＝.
6．已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝.求矩阵A.
解析：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，
即 ＝－1×，得
同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.
因此矩阵A＝.
7．已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)．求矩阵M.
解析：设M＝，则 ＝3＝，故.
＝，故.
联立以上两方程组解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，
故M＝.
8．已知矩阵A＝，向量α＝.
(1)求A的特征值λ1，λ2和特征向量α1，α2；
(2)计算A5α的值．
解析：(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝
＝λ2－5λ＋6，由f(λ)＝0解得λ1＝2，λ2＝3.
当λ1＝2时，解得α1＝，
当λ2＝3时，解得α2＝.
(2)由α＝m α1＋n α2得，
解得m＝3，n＝1.
则A5α＝A5(3α1＋α2)
＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα)＋λα2
＝3×25＋35＝.
9．(2012年高考福建卷)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求A2的逆矩阵．
解析：(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．
由＝ ＝，得
又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，
即a2x2＋(bx＋y)2＝1，
整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.
依题意得解得或
因为a>0，所以
(2)由(1)知，A＝，A2＝ ＝.
所以|A2|＝1，(A2)－1＝.
10．已知矩阵M＝的两个特征值分别为λ1＝－1和λ2＝4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求直线x－2y－3＝0的矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
解析：(1)矩阵M＝的特征多项式为f(λ)，
∴f(λ)＝(λ－2)(λ－b)－2a
＝λ2－(b＋2)λ＋2b－2a，
由已知λ1＝－1，λ2＝4为f(λ)＝0的两根，
∴解得
(2)由(1)知M＝.设直线x－2y－3＝0上任意一点(x，y)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是(x′，y′)，
由＝ ＝，
得
解得代入x－2y－3＝0得
－2×－3＝0，即5x′－7y′＋12＝0，
于是点(x′，y′)必在直线5x－7y＋12＝0上．
由(x，y)的任意性可知，直线x－2y－3＝0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为5x－7y＋12＝0.
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