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第十四章 网络函数

14．1 基本概念
14．1．1 网络函数的定义及性质
1. 定义：在线性非时变的电路中，电路在单一的独立激励下，其零状态响应的象函数与激励的象函数之比定义为该电路的网络函数，即。
2. 网络函数的形式
（1）驱动点函数：与网络在一对端子处的电压和电流有关，又分为驱动点阻抗函数和驱动点导纳函数，定义为：

“驱动点”指的是若激励在某一端口，则响应也从此端口观察。
（2）转移函数：又称传递函数。转移函数的输入和输出在电路的不同端口，它的可能的形式有以下几种：
电压转移函数
电流转移函数
转移阻抗函数
转移导纳函数
3. 网络函数的性质
（1）网络函数是一实系数的有理分式，可写成两个多项式的比值：

函数，是系数分别为和的多项时，系数和是实数。
（2）当输入信号为单位冲激时，，则输出

该式说明,电路的单位冲激响应网络函数的原函数，即

14．1．2 网络函数的零极点与冲激响应的关系
1. 网络函数的零极点：若对上式中的，作因式分解，网络函数可写成

式中：，，…，称为网络函数的极点，， ，…，称为网络函数的零点。网络函数的零点和极点可能是实数、虚数或复数。网络函数的极点仅取决于电路参数而与输入形式无关，故称为网络变量的自然频率或固有频率。
2. 零极点与冲激响应的关系
零点不影响的变化形式，仅影响波形的幅度，极点的分布直接影响的变化形式：
（1）若网络函数的极点位于平面的原点，比如，则，冲激响应的模式为阶跃函数。
（2）当网络函数的分母中含有一个一阶因子时（为实数），含有下列形式的指数分量。

式中：是极点处的留数。，则冲激响应是增长的指数函数；。则冲激响应是衰减的指数函数。
（3）当网络函数含有复数极点时，则含有下列形式的分量

式中：是极点处的留数，表示的辐角。，则冲激响应振荡且幅值衰减；。则冲激响应振荡且幅值增加，，则为等幅振荡。
冲激响应在时，实际上是零输入响应。而零输入响应表征了网络与电源无关的固有特性。也就是说，分析网络函数的极点与冲激响应的关系可以预见时域响应中的自由分量（瞬态分量）的特性。
3. 网络函数的零极点与系统的稳定性之间的关系
当冲激响应在时间趋于无限大时衰减到零，称这种电路为稳定的。如果极点全部位于的左半平面，则电路是稳定的；如果极点位于的右半平面或在虚轴上且具有二阶以上的重极点，则电路是不稳定的；当极点位于平面的虚轴上，且只有一阶极点，这种情况称为临界稳定系统。
14．1．3网络函数与频率响应
令网络函数中复频率等于，即为相应的频率响应函数。即

14．1．4卷积定理
线性无源电路对外加任意波形激励的零状态响应，等于激励函数与电路的单位冲激响应的卷积积分，即

现在激励的象函数为，故

也就是，激励函数与单位冲激响应的卷积的象函数等于激励函数的象函数乘以单位冲激函数的象函数。这叫做卷积定理。
14．2 重点和难点
14．2．1 本章重点
网络函数是由系统本身的特性决定的，与系统的激励无关，它在系统分析和系统综合中占有很重要的地位。学习网络函数重点在于：
1. 网络函数的定义及性质；
2. 网络函数的求解；
3. 网络函数与冲激响应之间的关系；
4. 网络函数的零极点；
5. 网络函数的零极点分布与时域响应之间的关系；
6. 网络函数的零极点分布与频率响应之间的关系；
7. 利用网络函数求系统的零状态响应。
14．2．2 本章难点
根据极点和零点的分布判断瞬态响应和频率响应的性状是本章的难点。
14．3 典型例题
例14-1 求图14-1（a）所示电路的网络函数。

解 运算电路模型如图14-1（b）所示。结点电压方程为：

经整理，得：

将（2）式代入（1）式，将

网络函数为

例14-2 如图14-2所示电路中，开关闭合前电容无电压，电感无电流。求S闭合后，电路对应响应的网络函数。

解 这是个平衡电桥电路，电阻两端电位相等，从电源端看进去的输入阻抗

所求的网络函数

例14-3 求图14-3（a）所示电路中的电压比。图中的运算放大器是理想
运算放大器。

解 运算电路模型如图14-3（b）所示，其中

在两个结点，可得如下关系

即
将（2）代入（1）并整理，可得，

例14-4 如图14-4所示电路中，已知=，，。求网络函
数。

解 在复频域列结点电压方程

根据理想变压器特性再列补充方程

将已知数代入上述方程并整理得：

联立解得

所以

例14-5 若已知电路的转移函数，试求：
（1) 网络的极零点；
（2) 绘出极零点分布图；
（3) 绘出幅频特性曲线（由极零点分布情况画出幅频特性）。
解
（1）

电路零点，极点、
（2） 极零点图如图14-5（a）所示。
设点由原点沿虚轴上移，在零点附近为极小， 而极点附近
达极大，可得幅频特性如图14-5（b）。
例14-6 已知某线性网络在作用下，响应相量与激励相量之比为。试求当激励为时，该网络的零状态响应。
解 网络函数

输入的象函数

响应的象函数

零状态响应
V
例14-7 图14-6（a）电路中，R=1，C=0.5F，为激励，为响应。试求：
（1）网络函数；（2）单位冲激响应；（3）单位阶跃响应；（4）网络函数的幅频特性。

解 （1）求。

网络函数
=
（2）对取拉氏反变换，单位冲激响应为：
V
（3）当激励为阶跃函数时，有：

对上式取反变换，有：
V
（4）可用两种解法求，
方法一：计算法。 令s=jω，网络函数的模值为
幅频特性如图14-6（c）
方法二：图解法。
首先求网络函数的零极点。零点，；极点，。画出零极点分布图，如图14-6（b）所示。由此画幅频特性。方法是从零极点所在的复平面的虚轴上取不同的点连接极点、零点得出线段由于，所以无论为何值，均有。而在的情况下，是一条平行于ω轴的直线。 如图14-6（c）所示。
例14-8 如图14-7所示电路为一阶低通滤波器，若的冲激响应 V。试求：
（1）之值；
（2） 频率为何值时，输出辐度为零频率时的？

解
（1）
对图示电路

比较可得 H， F
（2）

时，
时，

例14-9 回答下列各题：
(1) 已知一线性电路（零状态）的单位阶跃响应为
求单位冲激响应和网络函数；
(2) 一线性电路，当输入为时，其响应为，又知这时其零状态为。试问该电路当输入为时其响应为多少？
解：
（1）单位阶跃响应的导数则为单位冲激响应，

的象函数就是网络函数

（2） 因为线性电路的全响应=零输入响应+零状态响应
本题给出了输入为时的全响应，又给出了零状态响应为，因此，零输入响应，
按照线性电路的性质：当该电路的激励增加时，其零状态响应将按同样的比例增加。即当输入变为时，其零状态响应 ；本题中改变了电路的激励，而初始状态不变，因此这时的零输入响应仍为，其全响应为：

例14-10 电路如图14-8所示，已知在相同的初始状态，当Ｖ时，全响应Ｖ；当Ｖ，全响应。

求：当Ｖ，初始状态仍不变时的全响应。
解 （１）计算零输入响应
令，由零状态响应的线性关系和已知条件可得：

解得，Ａ＝５，Ｂ＝５，所以，

（２）利用网络函数求零状态响应，根据网络函数的定义，可求得网络函数，

所以

故

全响应

例14-11　　已知某二阶电路的网络函数为，
（1） 当时其响应的初值为其一阶导数的初值为求此响应的自由分量和强制分量；
（2） 当时求此电路的正弦稳态响应。
解
零状态响应为

设零输入响应为

则全响应为

由初始值定常数可得 Ａ＝４，Ｂ＝－２
所以

其中，强制分量为１.５，自由分量为
（1） 求正弦稳态响应
方法一：用相量形式的网络函数求

方法二：

上式中后两项对应原函数的暂态分量，当时，其响应趋于零；前一项即为正弦稳态响应的象函数，对其进行拉氏反变换，得：

例14-12 求14-9（a）所示电路的网络函数，当时，将如何呢？

解
运算电路见图14-9（b），从图上可知：

所以

当时，令
则有：

因此

这时，

显然，网络函数是个常量，这时电压电流只差一个比例常数，它们波形相同，无过渡过程，这种电路称恒振电路。
例14-13 求如图14-10（a）所示图中的，激励 如图14-10（b）所示。

解
方法一 运算法
阶梯波可表示为

反变换：

方法二：卷积积分。
根据 ，可求出：

现以来计算，分三段积分：
，

，

将上述三式合并得：

14．4 自测题
习题14-1 已知网络的单位冲激响应试用拉氏变换求该响应对应的网络函数和网络函数的极点。
答案：
极点：
习题14-2 已知系统函数试求系统的稳态响应。
输入分别为：（1），（2），（3）
答案：（1）（2）（3）。
习题14-3 已知某线性系统的系统函数求系统对于以下输入x（t）的零状态响应。
（1）（2）
习题14-4 如某线性非时变系统的阶跃响应为使其零状态响应问输入信号应具有何种形式？
答案：
习题14-5 电路如图14-11所示，，，。
（1） 试求网络函数；
（2） 若初始值，，且，试求的零状态响应和零输入响应；
（3） 要使的零状态响应和零输入响应相等，试求初始值。

答案：（1）
（2）
（3） ， A
习题14-6 电路如图所示，已知 V，，，
。
（1） 试求网络函数；
（2） 如要求响应为一正弦波（即电路无过渡过程），
试求电路的初始值和，并求此时的。

答案：（1） （2） mA V
习题14-7已知电路的极零点图如14-13所示，试写出该电路的网络函数，
并确定该电路具有何种频率特性。

图中为极点，为零点。
答案：
该电路具有（二阶）带阻特性。