常微分方程证明题.doc

常微分方程试题——证明题
证明题
1. 试证：如果是满足初始条件的解，那么
.
2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数．
3. 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组，有一解形如：，其中是常数向量.
4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.
5. 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有.
6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.
7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解.
8. 设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式：

是一阶非齐次线性方程于区间上的全部解的共同表达式。
9. 设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组与有相同的基本解组，则º。
10. 证明： 一个复值向量函数是（LH）的解的充要条件，它的实部和虚部都是（LH）的解。

（五）、证明题参考答案及评分标准 (每题10分)
1. 试证：如果是满足初始条件的解，那么
.
证明：因为是的基本解矩阵，是其解，所以存在常向量使得：
， （2分）
令，则：
， （2分）
所以
， （2分）
故
（4分）
2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数．
证明：设在区间上连续，由刘维尔公式可知，对任意，它们的朗斯基行列式满足：
， （4分）
而在方程中，，所以
， （4分）
即 ， （2分）
3. 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组，有一解形如：.其中是常数向量.
证明：要证是解，就是要证能够确定常数向量，它使得
， （2分）
即，成立。 （2分）
亦即
， （2分）
由于不是的特征值，故，从而存在逆矩阵， 那么可取向量 ，
， （2分）
这样方程就有形如的解. （2分）
4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.
证明：先证必要性，设方程为线性方程，即
， （2分）
所以 ，
， （2分）
即它有仅依赖与x的积分因子，且 是其积分因子。（1分）
再证充分性，因为在方程，中

所以 ， （2分）
（1分）
如果它有仅依赖与的积分因子，则是的函数，设
（1分）
关于积分得：，是的可微函数，故方程可表为：

是线性方程. （2分）
5. 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有.
证明：设为方程的任一解，它满足初始值条件，由常数变易法有：
                  ， （4分）
于是
（2分）
= 0 + （4分）
6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.
证明：设为黎卡提方程的一个特解，则
， （2分）
令，则有
（3分）
整理得：
（3分）
它是的伯努利方程，可用初等积分法求它的通解. （2分）
7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解.
证明：设的系数矩阵在区间上连续，任意取定一点和个线性无关的维常向量。 （2分）
对于每一个，，以表示满足初始条件的解向量。 （2分）
由存在与唯一性定理可知，此解向量在区间上存在且有定义。
（2分）
由于常向量组是线性无关的，从而向量函数组于区间上线性无关. （4分）
8. 设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解。则含有任意常数的表达式：

是一阶非齐次线性方程于区间上的全部解的共同表达式。
证明：将直接代入一阶非齐次线性方程可知，对任意常数，都是一阶非齐次线性方程的解。 （4分）
反之，设是一阶非齐次线性方程的任一解，则是其对应齐次方程的解。 （2分）
任取，由于是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解，所以。 （2分）
令，则 和都是其对应齐次方程的解，并且在时取相同的值，故由初值问题解的唯一性知，应有，即。（2分）
9. 设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组与在（a, b）上有相同的基本解组，则º，.
证明：因为方程组与在（a, b）上有相同的基本解组，所以可设是其基本解矩阵。 （2分）
从而有： ， （2分）
与 ，成立。 （2分）
所以 ， （2分）
又由于是其基本解矩阵，所以，即可逆，故
º，. （2分）
10. 证明： 一个复值向量函数是（LH）的解的充要条件，它的实部和虚部都是（LH）的解。
证明：设是的解，是实函数矩阵，（2分）
则：
， （1分）
从而
， （1分）
所以
，且
即它的实部和虚部都是（LH）的解。 （2分）
反之，若，成立。则
， （2分）
即向量函数是（LH）的解。 （2分）