一圆周角定理.docx

2．1　圆周角定理课后练习

一、选择题
1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是(　　)
A．AE＝BE　　　 B．OE＝DE
C．∠AOD＝50°　　 D．D是的中点
解析：选B　因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
所以＝，AE＝BE，
因为∠BCD＝25°，
所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，
故A，C，D正确，B不能得证．
2．如图所示，AB是⊙O的直径，C是上的一点，且AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径r等于(　　)
A．　　　　　　　　 B．5
C．10 D．不确定
解析：选B　由已知得∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10，
即2r＝10，r＝5.
3.如图，直径为10的⊙C经过点A(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙C弧上一点，则cos∠ABO的值为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C．　　　　　　　　 D．
解析：选B　法一：设⊙C与x轴另一个交点为D，
连接AD，如图所示：
因为∠AOD＝90°，
所以AD为⊙C的直径，
又因为∠ABO与∠ADO为圆弧AO所对的圆周角，
所以∠ABO＝∠ADO，
又因为A(0,5)，所以OA＝5，
在Rt△ADO中，AD＝10，AO＝5，
根据勾股定理得：
OD＝＝5.
所以cos∠ABO＝cos∠ADO＝＝＝，故选B.
法二：连接CO，因为OA＝5，AC＝CO＝5，
所以△ACO为等边三角形，
∠ACO＝60°，
∠ABO＝∠ACO＝30°，
所以cos∠ABO＝cos 30°＝.
4．已知P，Q，R都在弦AB的同侧，且点P在上，点Q在所在的圆内，点R在所在的圆外(如图)，则(　　)
A．∠AQB<∠APB<∠ARB
B．∠AQB<∠ARB<∠APB
C．∠APB<∠AQB<∠ARB
D．∠ARB<∠APB<∠AQB
解析：选D　如图所示，延长AQ交圆O于点C，设AR与圆O相交于点D，连接BC，BD，则有∠AQB>∠ACB，∠ADB>∠ARB.
因为∠ACB＝∠APB＝∠ADB，
所以∠AQB>∠APB>∠ARB.
二、填空题
5.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是 ．
解析：因为∠AOC＝60°，所以弧ABC的度数为60°，
AC对的优弧的度数为
360°－60°＝300°，
所以∠ABC＝150°.
答案：150°
6.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为 ．
解析：因为∠BOD＝100°，
所以∠A＝∠BOD＝50°.
因为∠B＝60°，
所以∠C＝180°－∠A－∠B＝70°.
答案：70°
7.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝ .
解析：因为AB是圆O的直径，所以弧ACB的度数为180°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.
答案：22°
8.如图，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为 ．
解析：作OC⊥AB于C，则BC＝，
在Rt△BOC中，
∵OC＝＝
＝1(cm)，
∴＝，
∴sin∠B＝，∠B＝30°，
∴∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°.
答案：120°
三、解答题
9.如图，在⊙O中，弦AB＝16，点C在⊙O上，且sin C＝.求⊙O的半径长．
解：作直径AD，连接BD，
则∠ABD＝90°，
∠D＝∠C.
因为sin C＝，所以sin D＝.
在Rt△ABD中，
sin D＝＝，
又因为AB＝16，
所以AD＝16×＝20，
所以OA＝AD＝10，
即⊙O的半径长为10.
10．如图，已知在⊙O中，直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．
解：因为AB为直径，
所以∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝8(cm)．
因为CD平分∠ACB，
所以＝，
所以△ADB为等腰三角形．
所以AD＝BD＝AB＝×10＝5(cm)．
11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，
∠1＝∠C.
(1)求证：CB∥MD.
(2)若BC＝4，sin M＝，求⊙O的直径．
解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，
所以∠C＝∠M.又∠1＝∠C，
所以∠1＝∠M，
所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．
(2)由sin M＝知，sin C＝，
所以＝，
BN＝×4＝.
由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.
所以⊙O的直径为6.