第二章学案文.doc

2.1 椭 圆
2.1.1椭圆及其标准方程
学习目标：1、能说出椭圆的定义并会推导椭圆标准方程；
2、会用相关点法求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程。
重点：会说出椭圆的定义，并会用相关点法求曲线方程。
难点：会用相关点法求曲线方程。
学习过程：
1、探究
引导学生一起探究P38的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？．
2、归纳定义 椭圆
把平面内与两个定点，的___________等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的________,两定点间的距离叫做椭圆的________.．即当动点设为时，椭圆即为点集__________________________.
3、椭圆标准方程的推导过程
（1）建立平面直角坐标系
（2）推导过程

得到椭圆的标准方程（焦点在x轴上）_______________________________.
其中的关系及几何意义是什么？____________________________________________
________________________________________________________________________________
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程_______________________．
4、例题讲解与引申
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．

例2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程．

引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程．

例3如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．

引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程．

练习：第42页1、2、3、4、
课后反思
2．1．2　椭圆的简单几何性质
学习目标
1、说出椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；
2、会用椭圆的定义解决实际问题；
3、会说出椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，并会求解相关问题。
学习重点：能说出椭圆的对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、准线、焦半径的概念；并解决简单的椭圆问题。
学习难点：椭圆第二定义的理解和应用。
1、复习与引入过程
学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P46的探究题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．
2、新课讲授过程
（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于________________________________里；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以____________为对称轴，_____为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的_______与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的_____．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做_____，较短的叫做______；
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比_______叫做椭圆的_____（），； ．（需熟记）
当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？
练习：已知椭圆方程为,
它的长轴长是：_________ ,短轴长是： ____________,焦距是：_________ ,离心率等于：____________,焦点坐标是：_______________,顶点坐标是：__________, 外切矩形的面积等于：_______________. 。

标准方程

范围

对称性

顶点坐标

焦点坐标

半轴长

离心率

a、b、c的关系

标准方程

范围

对称性

顶点坐标

焦点坐标

半轴长

离心率

a、b、c的关系

3、例题讲解与引申、扩展
例4 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

扩展：已知椭圆的离心率为，求的值．

例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．

例6如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．

引申：若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是椭圆．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；由椭圆的对称性，另一焦点，相应于的准线：．
例7：

练习：第48页1、2、3、4、5、6、7
课后反思：

2.2双曲线
2．2．1　双曲线及其标准方程
学习目标
1、能说出双曲线的概念，
2、会推导双曲线的标准方程，学会化简无理方程；
3、会用双曲线的定义解决实际问题；
学习重点：学会双曲线的概念，会用双曲线的定义和标准方程解决实际问题；
学习难点：会用双曲线的定义和标准方程解决实际问题.
1、预习与引入过程
引导学生一起思考与探究P52页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．
把平面内与两个定点，的距离的___________等于常数（小于）的点的轨迹叫做__________（hyperbola）．其中这两个_______叫做双曲线的________，两定点间的_______叫做双曲线的_______．即当动点设为时，双曲线即为点集______________．
（ii）双曲线标准方程的推导过程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．

类比椭圆：设参量的意义：
第一:双曲线的标准方程______________________________
第二、的关系有明显的几何意义._____________________________________

练习：写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1, )
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程________________________．

椭圆
双曲线
定 义

方 程

焦 点

a.b.c的关系

（iii）例题讲解、引申与补充
例1 已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．

例2 已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．

探究：如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程，并与§2.2．1．例3比较，有什么发现？

练习：第55页1、2、3、
课后反思
2．2．2　双曲线的简单几何性质
学习目标：
1、根据条件，能求出表示曲线的方程
2、能说出双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线、双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念
3、会用双曲线的定义解决实际问题
学习重点：能说出双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线、双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念；并会求解曲线方程
学习难点：求解曲线方程
学习过程
1、复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．
2、新课讲授过程
（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii）双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，，进一步得：____________．这说明双曲线在不等式___________________所表示的区域；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以___________为对称轴，以_________为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有_________之分，焦点所在的对称轴叫做_______，焦点不在的对称轴叫做__________；
④渐近线：直线________________叫做双曲线的渐近线；
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比______________叫做双曲线的__________（_______）．
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越____.

性质
双曲线
图像
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率

练习
1、若双曲线的的渐近线方程为，则双曲线的离心率为_______________。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角为 _____________ 。
（iii）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
扩展：求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率．
注意：λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到）．

例5： 如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．

例6：过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求。

练习：第61、2、3、4、5
课后反思

13