第十五讲正弦余弦定理.doc

第十五讲 正弦余弦定理（1）
【基础回顾】
一、基础知识：
知识点一：在三角形中有下述重要的公式与定理
设△ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1、正弦定理： （R为外接圆半径）；
2、余弦定理： ；
3、面积公式： （其中r为内切圆半径，）
知识点二：一些常用的结论及定理的变形应用
1、 内角和定理：A+B+C= ，最小角∈ ，最大角∈ ，
锐角三角形的两个内角A、B则A+B>，即得sinA cosB,cosA sinB ；
钝角三角形的两个内角A、B则A+B<，即得sinA cosB,cosA sinB ；
．
2、正弦定理的一些变式：① ；② ；
③ ．
知识点三：常见题型
（1）已知两角和一边； （2）已知三边a、b、c; （3）已知两边和夹角（如a、b、c），用余弦定理求c边；再用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；（4）已知两边和其中一边的对角：若运用正弦定理，则务必注意可能有两解．
二、基础自测：
1．中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的有 解．
2．已知ABC中，，则= ．
3．在△ABC中，已知a=10, c=20, A=30°, 则∠B= ．
4．在△ABC中，已知三边a、b、c 满足(a+b+c)·(a+b－c)=3ab, 则∠C= ．
5．中，若其面积，则=___ _．
6．在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 ．
【典型例题】
例题1：在中，B=，AB=2，AC=2，则的面积是多少？
分析：本题是已知两边及其中一边的对角先解三角形再求三角形面积问题．
解：根据正弦定理：，
当时，，则，
当时，，则，
．
例题2：在ABC中，已知，，，求b和角A．
解：∵=cos== ∴
解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin又∵＞＜
∴＜，即＜＜ ∴
例题3：（1）在中，已知，试判断该三角形的形状；
（2）在中，为角所对的三边，已知，求角.
解：（1）解法一：由正弦定理及余弦定理，得，所以 ，整理得 ，因为，所以．因此，为等腰三角形．
解法二：在中，由于， 即， ，因此，为等腰三角形．
（2）分析：用余弦定理的变形式“三边化角”是解题中的一种重要手段.
解：由得：，， 又，
例题4：若，，设内角等于，的周长为，求的最大值．
解析：合理利用正弦定理化边为角，通过三角函数的恒等变换向单一的三角函数变形，在解题过程中注意三角形内角和为的隐含条件.
， ，
同理： ，
， ，， 故， 当时，.
【巩固练习】
1．在中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6,且a+b+c=15，则a= ，b= ，c= .
2．在中，，则a：b：c= .
3．在中，已知a=xcm，b=2cm，B=，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 .
4．在中，若b=2asinB，则角A的度数为 .
5．在中，已知C=，两边a和b是方程的两根，则c等于 . 6．在中，若C=，c=，a+b=2（，则A= .
7．在中，已知3b=2asinB，且cosB=cosC，则的形状为 .
8．在中，若，则的形状是 .
9．在锐角中，边长a=1，b=2，求c边的取值范围是 .。
10．在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则＝____ .
11．已知中，锐角B所对边b=7，外接圆半径R=，三角形面积S=10，求三角形其它两边的长.

12.中，，，是方程的两个根，且，
求：①角的度数； ②的长度； ③．

13.如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=.求：
（1） AB的长；（2）、求四边形ABCD的面积.

14．已知ΔABC的三个内角A、B．C成等差数列，其外接圆半径为1，且有.（1）求A、B、C的大小；（2）求ΔABC的的面积．

【拓展提高】
★1．在△ABC中，求△ABC的周长？

★2．设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，则= .

【总结反思】

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