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数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章

篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及第八章

第八章 不定积分

一. 填空题

x

1．假设f?(e)?1?x，那么f(x)?___________

2．设f(x)的一个原函数为xe，那么?xf?(x)dx?_____________ 3．假设e

?x

x

是f(x)的一个原函数，那么?xf(x)dx?________________

4．假设f(x)?1，那么f(x)?____________ 5．?max(x,x)dx?___________________

6．假设f(x)有原函数xlnx，那么?xf??(x)dx?_______________ 7．?

ln(sinx)sin

2

?

3

??

2

x

dx?________________

8．假设?

dx(1?2cosx)

2

?

Asinx1?2cosx

?B?

dx1?2cosx

，那么A?__________，B?__________

9．设?xf(x)dx?arcsinx?C，那么?

dxx(4?x)

lnx?1x

2

dxf(x)

?_________

10．?

?_________________

11．?

dx?_________________

12．?13．?14．?

?a?sin(lnx)?cos(lnx)

n

x

?________________

?f(x)?xf?(x)?dx

dx1?e

x

?________________

?_____________

15．?16．?

xe

x2

(1?x)

dx?_____________________

4sinx?3cosxsinx?2cosx

dx?______________

2

17．已经明白f?(2?cosx)?sinx?tan

2

x，那么f(x)?_______________

18．?

f?(x)1??f(x)?

2

dx?______________

19. 假设?f(x)dx?F(x)?C,而u??(x),那么?f(u)du?___________. 20设函数f(x)的二阶导数f??(x)连续,那么?xf??(x)dx?__________. 21设f(x)的原函数是

sinxx

,那么?xf?(x)dx?__________.

112

22已经明白曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x??1时,y?那么f(x)?__________;f(x)的极小值是__________.

1?x

2

是极大值,

23已经明白一个函数的导数为f(x)?,同时当x?1时,这个函数值等于

32

?,那么这个函

数为F(x)?__________. 24 设f?(sin

2

x)?cosx(x?1),那么f(x)?__________.

2

25 假设f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),那么?f(x)dx?__________. 26 假设(?f(x)dx)??lnx,那么f(x)?__________. 27 已经明白e28

?x

2

是f(x)的一个原函数,那么?f(tanx)secxdx?__________.

2

2?f()dx?__________. 2

xx

1?x

29 设f(x)dx??C,那么f(x)?__________.

1?x

?

1

?

30 在积分曲线族?二、选择填空题 1．设I?

1xx

dx中,过(1,1)点的积分曲线是y?__________.

?

x

e?1e?1

x

x

，那么I?()

A.ln(1?e)?C B.2ln(1?e)?x?C C.x?2ln(1?e)?C D.ln(e?1)?C

x

x

x

3．设I1?

?

1?xdx,I2?

?

du，那么存在函数u?u(x)，使()

x(1?xex

)

u(1?u)

A.I1?I2?x B.I1?I2?x C.I2??I1 D.I2?I1 4．当n??1时，?xn

lnxdx?() n

n?1

n

(lnx?

1n

)?C B.

x

n?1(lnx?

1n?1

)?C

n?1

C.1?1

x

n?1

x

n(lnx?

1n?1

)?CD.

n?1

lnx?C

7．?(cosx2

?sin

x2

)dx?()

A.2(sinx?cos

x)?C B.2(cos

xx2

2

2?sin

2)?C

C.sinx?cosx

?sin2?C

8．?

x?sinx

1?cosx

dx?()

?C

9．假设f(x)的导函数是e?x

?cosx，那么f(x)的一个原函数为()

?x

?cosxB.?e

?x

?sinxC.?e?x

?x

?sinx

12．已经明白函数y?3x2

的一条积分曲线过(1,1)点，那么其积分曲线的方程为() A.y?x3

B.y?x3

?1C.y?x3

?2 D.y?x3

?C 13．?xf??(x)dx?() A.xf(x)?

?

f(x)dx B.xf(x)?f(x)?C

C.xf(x)?f(x)?C D.f(x)?xf(x)?C 14．sin2x的原函数是()

A.2cos2xB.

12

cos2xC.?cos

2

xD.

12

sin2x

15．假设f(x)为连续函数，那么?f(2x)dx?() A.f(2x)?CB.f(x)?CC.

12

f(2x)?CD.2f(2x)?C

16. 一个函数的原函数假设有的话有( ).

(A) 一个 ； (B) 两个 ； (C) 无穷多个 ； (D) 都不对 .

17. 假设?f(x)dx?F(x)?C,且x?at?b,那么?f(t)dt?( ). (A) F(x)?c; (B) F(t)?c ;(C)

1a

F(at?b)?C; (D) F(at?b)?C.

18. 设f(x)为可导函数,那么( ). (A)

?

f(x)dx?f(x);(B)

?f?(x)dx?

f(x); f(x)?C.

(C) (

?f(x)dx)??

f(x) ;(D) (

?f(x)dx)??

19. 假设u,v都是x的可微函数,那么?udv?( ). (A) uv?(C) uv?

?vdu ;(B) uv??u?vdu; ?v?du; (D) uv??uv?du.

?x

2

20． 已经明白f(x)的一个原函数是e(A) ?2xe(C) e

?x

2

,求?xf?(x)dx?( ).

?2xe

2

?x

2?x

2

?C; (B)

2

; f(x)dx..

(?2x?1)?C;(D) xf(x)?

?

21. 已经明白曲线上任意点的二阶导数y???6x,且在曲线上(0,-2)处的切线为2x?3y?6,那么这条曲线的方程为( ).

(A) y?x?2x?2; (B) 3x?2x?3y?6?0; (C) y?x; (D) 以上都不对.

33

3

22. 假设f(x)的一个原函数是ln(2x),那么f?(x)?( ). (A) ?

1x

2

;(B)

1x

;(C) ln(2x); (D) x?ln2x.

23. 假设?df(x)??dg(x),那么以下各式中不成立的是( ).

(A) f(x)?g(x); (B) f?(x)?g?(x); (C)df(x)?dg(x); (D) d

?f?(x)dx?d?g?(x)dx.

24. 假设f?(x2)?

1x

(x?0),那么f(x)?( ).

1x

(A) 2x?C;(B) lnx?C; (C) 2x?C;(D)

f?(lnx)x

?C

25. 假设f(x)?e?2x,那么?(A)

1x

2

dx?( ).

?C; (B) ?

1x

2

?C; (C) ?lnx?C; (D) lnx?C.

?x

26. 设?f(x)dx?F(x)?C,那么?e(A) F(e)?C;(B) F(e

x

f(e

?x

)dx?( ).

?x

)?C;(C)

F(ex

?x

)

?C;(D) ?F(e

?x

)?C.

27. 设sinx是f(x)的一个原函数,那么?xf(x)dx?( ).

(A) xsinx?cosx?C; (B) xsinx?cosx?C; (C) xcosx?sinx?C; (D) xcosx?sinx?C.

28. 设f(x)?cosx,那么f(x)在区间( )是可积的.

(A) (??,??);(B) [0,??);(C) [??,?];(D) [?1,0.

29. 在计算积分?x

2?xdx时,为使被积函数有理化,可做变换( ).

(A) x?sint; (B) x?tant;

(C) x?sect; (D) t?

3

?x.

30.

?x

2x

2

?2x?5

dx?

?(x?1)

2x?2?2

2

?4

dx?( ).

x?1x?122

?c;(B) lnx?2x?5?arcta?c; (A) lnx?2x?5?2arcta22x?11x?122

?c;(D) lnx?2x?5?arcta?c. (C) lnx?2x?5?2arcta424

三、计算题

1. 求一曲线y=f(x),使它在点(x、f(x))处的切线的斜率为2x,且通过点(2、5). 2. 求以下不定积分:

篇二：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章

第二十二章 曲面积分

一、证明题

1.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于

V=

余弦.

2.假设S为封闭曲面,L为任何固定方向,那么cos?n,L?ds=0

S1?xcos??ycos??zcosr?ds其中cos?,cos?, cpsr3S为曲面S的外法线方向

其中n为曲面S的外法线方向.

3. 证明 公式

???

Vdxdydzr=1cos?r,n?ds 2S

其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向. r=x2?y2?z2,r=(x,y,z).

4.证明: 场A=?yz?2x?y?z?,zs?x?2y?z?, xy?x?y?2z??是有势场并求其势函数.

二、计算题

1.计算以下第一型曲面积分:

(1) ???x?y?z?ds,其中S为上半球面

S

2222x?y?z=az?0;

(2) ???x

S2?y2?ds,其中S为主体x?y22?z?1的边界曲面;

(3) ??

S1x?y22ds,其中S为柱面x2?y2?R2被平面Z=0,Z=H所截取的P分;

(4) ??xyzds

S,其中S为平面在第一卦限中的部分.

2.计算??zds,其中S为圆锥外表的一部分.

S2

?x?rcos?sin??0?r?a?S:?y?rsin?sin? D:? 0???2???z?rcos??

这里θ为常数(0lt;θlt;?

2).

(1)??y?x?z?dydz+x2dzdx+?y2?xz?dxdy,其中S为x=y=z=0,x=y=z=a平成所围成

S

的正方体并取处侧为正向;

(2)???x?y?dydz??y?z?dzdx??z?x?dxdy,其中S是以原点中心,边长为2的正方体

S

外表并取外侧正向;

(3)??xydydz?yzdzdx?zxdxdy,其中S是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体

S

外表并取外侧为正向;

(4)??yzdzdx,其中S是球面,x2?y2?z2=1的上半部分并取外侧为正向;

S

2(5)??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中S是球面?x?a? +?y?b?+?x?c?=R并取222222

S

外侧为正向.

4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x2+y2 +z2=4的内部流过球面的流量

I=??f?x?dydz+g?y?dzdx+h?z?dxdy

S

其中S是平行分面体(0?x?a,0?y?b,0?z?c)外表并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数,

6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x2+y2 +z2=a2,z=0的磁通量,

7.应用高斯公式计算以下曲面积分:

(1)

(2) Syzdydz?zxdzds?sydxdy,其中S为单位球面x2+y2+z2=1的外侧; xdydz?ydzds?zdxdy,其中S是立方体0?x,y,z?a的外表取外侧;

xdydz?ydzds?zdxdy,其中S为锥面x2+y2 =z2与平面z=h所围的空间区222222S

S(3)域(0?z?h)的外表方向取外侧;

(4) x

S2dydz?ydzds?zdxdy,其中S是单位球面x2+y2+z2=1的外侧; 33

(5) xdydz

S?ydzds?2dxdy ,其中S为上半球面Z=a2?x2?y2的外侧.

????xy?yz?zx?dxdydz

V

其中v是由x?0,y?0,0?z?1与x2?y2?所确定的空间区域.

(1)?y?z?dx+?x2?z2?dy+?x2?y2?dz,其中L为x+y+z=1与三坐标面的交线,它22

L

的走向使新围平面区域上侧在曲线的左侧; (2)xydx?dy?zdz,其中为y2?z2=1,x=y所交的椭圆的正向; L22

(3)?z?y?dx+?x?z?dy+?y?x?dz,其中L是以A(a,0, 0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶点的三角形L

沿ABCA的方向.

10.假设L是平面xcos?+ycos?+zcosr－p=0上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求

dx dy dz

Lcos? cos? cosr

x yz

其中L依正向进展.

11.假设r=x2?y2?z2,计算?r2,?1

r,?f?r?,?rn(n=3)

12.求u=x2?2y2?3z2+2xy－4y+2y－4z在点0(0,0,0),A(1, 1,1),B(―1,―1,―1)的梯度,并求梯度为零之点.

13.计算以下向量场A的散度和旋度:

(1)A=?y?z,z?x,x?y222222?;

(2)A=?xyz,xyz,xyz222?; (3)A=???x?yzzx,y,z??. xy??

22214.流体流速A=?x,y,z

流量. ?求单位时间内穿过1球面x82+ y+z2=1(x1,y0,z0)的2

15.设流速A=??y,x,c?(c为常数)求环流量

(1)沿圆周x?y=1,z=0;

2(2)沿圆周?x?2??y=1,z=0. 222

三、考研复习题

?u

?x221.证明:假设?u=+?u?y22+?u?z22,S为包围区域V的同面的外例,那么

(1)????udxdydz=VS?u?nds; (2)u

S?u?nds=??????udxdydz+???u??udxdydz VV

2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明: ?u

?x?w?x(1)???WVdxdydz=uwdydz?

S???Vudxdydz;

(2)???W??udxdydz=WVS?u?nds?????uV??Wdxdydz.

3.设A=r

r3S为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,上,内时分别有

Ads

S=0.2π,4π.

4.证明公式:

f?msin?cos??nsin?sin??Pcos??sin?d?d?

D

=2??fum?u?p?11?222?du

篇三：《数学分析》(华师大二版)课本上的习题6

P.124 习题

1．试讨论以下函数在指定区间内是否存在一点?，使f?(?)?0：

1??xsin

（1）f(x)??x

??0

解 （1）由于f在[0,理，???(0,

0?x?x?0

1

?， （2）f(x)?|x|?1?x?1

1

1

?

]连续，在([0,

?

1

)可导，且f(0)?f()，因此由Rolle定

?

1

?

)，使得f?(?)?0。

?1x?0

，且f?(0)不存在，故不存在一点?，使f?(?)?0

?1x?0?

3

（2）由于f?(x)??

2．证明：（1）方程x?3x?c?0（这里c为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；

32

证明 设f(x)?x?3x?c，由于方程f?(x)?3x?3?0在(0,1)内没有根，因此

（由P.120，例1）方程x?3x?c?0在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。

（2）方程x?px?q?0（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。

证明 设f(x)?x?px?q，因此f?(x)?nx奇数，故方程f?(x)?nx

n

n?1n

n?1

n

3

?p?0。当n为偶数时，n-1为

?p?0至多有一个实根（由于幂函数nxn?1?p严格递增），

从而方程x?px?q?0至多有两个实根；

当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程

nf?(x)?nxn?1?p?0至多有两个实根，从而方程x?px?q?0当n为奇数时至多有三

个实根。

3．证明：假设函数f和g均在区间I上可导，且f?(x)?g?(x)，x?I，那么在区间I上

f和g只相差一常数，即f(x)?g(x)?c（c为某一常数）

证明 令F(x)?f(x)?g(x)，那么F在区间I上可导，且F?(x)?f?(x)?g?(x)?0，由推论1，存在常数c，使得F(x)?c，即f(x)?g(x)?c

4．证明 （1）假设函数f在[a,b]上可导，且f?(x)?m，那么f(b)?f(a)?m(b?a) （2）假设函数f在[a,b]上可导，且|f?(x)|?M，那么|f(b)?f(a)|?M(b?a) （3）对任意实数x1,x2，都有|sinx1?sinx2|?|x2?x1|

证明 由于f在[a,b]上可导，因此f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件，因此???(a,b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

（1）由于f?(x)?m，因此f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?m(b?a)，从而有

f(b)?f(a)?m(b?a)

（2）由于|f?(x)|?M，因此|f(b)?f(a)|?|f?(?)|?|b?a|?M(b?a) （3）不妨设x1?x2，正弦函数f(x)?sinx在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)可导，因此???(a,b)，使得|sinx1?sinx2|?|cos?|?|x1?x2|?|x2?x1|

5．应用拉格朗日中值定理证明以下不等式： （1）

b?abb?a

，其中0?a?b ?ln?

baa

证明 设f(x)?lnx，那么f在[a,b]上连续且可导，因此f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件，因此???(a,b)，使得ln

b1

?lnb?lna?f?(?)(b?a)?(b?a)，a?

由于0?a???b，因此

b?ab?ab?ab?abb?a，从而 ???ln?

b?abaa

h2

?arctanh?h，其中h?0 （2）2

1?h

证明 设f(x)?arctanx，那么f在[0,h]上满足Lagrange中值定理的条件，因此

???(0,h)，使得arctanh?arctanh?arctan0?f?(?)(h?0)?

h

。由于 2

1??

h2hh

??h，从而?arctanh?h。 0???h，因此2

1?h21??21?h

6．确定以下函数的单调区间：

（1）f(x)?3x?x （2）f(x)?2x?lnx

2

2

x2?1

（3）f(x)?2x?x （4）f(x)?

x

2

解 （1）f?(x)?3?2x，令f?(x)?0，得x?当x?

3 2

33

时，f?(x)?0，f递增；当x?时，f?(x)?0，f递减。 22

14x2?11（2）f的定义域为x?0。f?(x)?4x??，令f?(x)?0，得x?

xx2

当0?x?

11

时，f?(x)?0，f递减；当x?时，f?(x)?0，f递增。

22

1?x2x?x

2

（3）f的定义域为0?x?2。f?(x)?，令f?(x)?0，得x?1

当0?x?1时，f?(x)?0，f递增；当1?x?2时，f?(x)?0，f递减。

1x2?1

?0，故f在其定义域 （4）f的定义域为x?0。f?(x)?1?2?2

xx(??,0)?(0,??)递增。

7．应用函数的单调性证明以下不等式：

x3?

（1）tanx?x?，x?(0,)

33

x3

证明 设f(x)?tanx?x?，那么f在x?0连续，且f(0)?0。由于

3f?(x)?sec2x?1?x2?tan2x?x2?0，x?(0,

?

3

)，故f在(0,

?

3

)严格单调递

x3?

增，又因f在x?0连续，因此f(x)?f(0)?0，从而tanx?x?，x?(0,)。

33

（2）

2x

?

?sinx?x，x?(0,2x

?

2

)

2sinxsnix2?

?。设f(x)?那么f在x??sinx，?，

??xx?2?xcosx?sinx(x?tanx)cosx?

连续，且f()?0。由于f?(x)?，??0x?(0,)。22

22xx??sinx2?

因此f在(0,)严格单调递减，因此f(x)?f()?0，从而?，x?(0,)。

22x?2

证明 先证

其次证明：sinx?x。设f(x)?x?sinx，那么f在x?0连续，且f(0)?0。由于

f?(x)?1?cosx?0，x?(0,

?

2

)。因此f在(0,

?

2

)严格单调递增，又因f在x?0连

续，因此f(x)?f(0)?0，从而x?sinx，x?(0,

?

2

)。

x2x2

?ln(1?x)?x?（3）x?，x?0 22(1?x)

x2x2

?ln(1?x)，x?0。?nl(1?x)，证明 先证：x?令f(x)?x?那么f在x?0221?x2

??0，x?0。因此f在x?0严格连续，且f(0)?0。由于f?(x)?1?x?

1?x1?xx2

?ln(1?x)，x?0。单调递减，又因f在x?0连续，因此f(x)?f(0)?0，从而x? 2

x2x2

?ln(1?x)，那么其次证明：ln(1?x)?x?，x?0。令f(x)?x?

2(1?x)2(1?x)

2x?x21x2

???0，x?0。且f(0)?0。由于f?(x)?1?f在x?0连续，

2(1?x)21?x(1?x)2

因此f在x?0严格单调递增，又因f在x?0连续，因此f(x)?f(0)?0，从而

x2

ln(1?x)?x?，x?0。

2(1?x)

8．以S(x)记由(a,f(a)), (b,f(b)), (x,f(x))三点组成的三角形面积, 试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.

证明 由于S(x)?

1?b2x

af(a)1

f(b)1, 假设f(x)在[a,b]连续, 在(a,b)可导, 那么易见f(x)1

S(x)也在[a,b]连续, 在(a,b)可导, 且S(a)?S(b)?0. 故由罗尔定理知, 存在

??(a,b), 使得S?(?)?0. 而

1?b21a

1

f(b)1?[f?(x)(b?a)?(f(b)?f(a))], 故

2

f?(x)0f(a)

1

S?(x)?

f(b)?f(a)?f?(?)(b?a).

1．试征询函数f(x)?x,g(x)?x在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？

2

解 由于f?(x)?2x,g?(x)?3x，故当x?0时，f?(0)?0,g?(0)?0，不满足柯

2

3

西中值定理的条件，因此在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理。

2．设函数f在[a,b]上可导，证明：存在??(a,b)，使得

2?[f(b)?f(a)]?(b2?a2)f?(?)

证明 设F(x)?x[f(b)?f(a)]?(b?a)f(x)，那么F(x)在[a,b]上连续并可

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