第二课时：等差数列.doc

第二第二课时（两小时）课时（两小时）教学内容教学内容:等差数列等差数列 教学目标教学目标:1.明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2.会解决知道ndaan,1中的三个，求另外一个的问题 3.明确等差中项的概念.4.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.教学重难点教学重难点:1.等差数列的概念，等差数列的通项公式 2.等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 一、基本一、基本知识点梳理知识点梳理 1等差数列等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即na1na=d，（n2，nN），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）奎屯王新敞新疆 2等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：dnaan)1(1 (nadmnam)(或na=pn+q(p、q 是常数)3有几种方法可以计算公差有几种方法可以计算公差 d d=na1na d=11naan d=mnaamn 4.定义：定义：若a，A，b成等差数列，那么 A 叫做a与b的等差中项奎屯王新敞新疆 不难发现，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项奎屯王新敞新疆 5.性质性质：在等差数列中，若 m+n=p+q，则，qpnmaaaa 即 m+n=p+q qpnmaaaa(m,n,p,q N)但通常 由qpnmaaaa 推不出 m+n=p+q，nmnmaaa 二、二、典型典型例题讲解例题讲解 例 1 求等差数列 8，5，2的第 20 项 -401 是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：由35285,81da n=20，得49)3()120(820a 由4)5(9,51da 得数列通项公式为：)1(45nan 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数 n，使得)1(45401n成立解之得 n=100，即-401 是这个数列的第 100 项奎屯王新敞新疆 例 2 在等差数列 na中，已知105a，3112a，求1a,d,naa,20 解法一：105a，3112a，则 311110411dada321da 53)1(1ndnaan 5519120daa 解法二：3710317512dddaa 5581220daa 53)12(12ndnaan奎屯王新敞新疆 小结：第二通项公式 dmnaamn)(例 3 将一个等差数列的通项公式输入计算器数列nu中，设数列的第 s 项和第 t 项分别为su和tu，计算tsuuts的值，你能发现什么结论？并证明你的结论奎屯王新敞新疆 解：通过计算发现tsuuts的值恒等于公差 证明：设等差数列nu的首项为1u，末项为nu，公差为 d，)2()1()1()1(11dtuudsuuts-得dtsuuts)(dtsuuts 小结：这就是第二通项公式的变形，几何特征，直线的斜率 例 4 梯子最高一级宽 33cm，最低一级宽为 110cm，中间还有 10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度奎屯王新敞新疆 解：设 na表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：1a=33,12a=110，n=12 daa)112(112,即 10=33+11d 解得：7d 因此，,61,54,47740,407335432aaaa,103,96,89,82,75,6811109876aaaaaa 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.例 5 已知数列na的通项公式qpnan，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定 na是不是等差数列，只要看1nnaa（n2）是不是一个与n 无关的常数奎屯王新敞新疆 解：当 n2 时,（取数列 na中的任意相邻两项1na与na（n2）)1()(1qnpqpnaannpqppnqpn)(为常数 na是等差数列，首项qpa1，公差为 p奎屯王新敞新疆 注：若 p=0，则na是公差为 0 的等差数列，即为常数列 q，q，q，若 p0,则na是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数 y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为 q.数列na为等差数列的充要条件是其通项na=pn+q(p、q 是常数)奎屯王新敞新疆称其为第 3 通项公式 判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个 例例 6 在等差数列na中，若1a+6a=9,4a=7,求3a,9a.分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手 解解：an 是等差数列 1a+6a=4a+3a=93a=94a=97=2 d=4a3a=72=5 9a=4a+(94)d=7+5*5=32 3a=2,9a=32 例例 7 等差数列na中，1a+3a+5a=12,且 1a3a5a=80.求通项 na 分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题奎屯王新敞新疆而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来奎屯王新敞新疆 解：1a+5a=23a 82080412321aaa515153133531aaaaaaaaa 1a=10,5a=2 或 1a=2,5a=10 d=1515aa d=3 或3 na=10+3(n1)=3n 13 或 na=2 3(n1)=3n+5 例例 8 在等差数列na中,已知3a4a5a6a7a450,求2a8a及前 9 项和9S.解：由等差中项公式：3a7a25a，4a6a25a 由条件3a4a5a6a7a450,得 55a450,5a90,2a8a25a180.9S1a2a3a4a5a6a7a8a9a(1a9a)(2a8a)(3a7a)(4a6a)5a 95a810.例例 9 已知 a、b、c 的倒数成等差数列，求证：acba，bacb，cbac 的倒数也成等差数列奎屯王新敞新疆 分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数 x、y、z 成等差数列的充要条件：x+y=2z奎屯王新敞新疆 证明：因为 a、b、c 的倒数成等差数列 cab112，即 2ac=b(a+c)又aacb+ccba=acbaacbc)()(-2=accabac)(22-2=acacac222-2=acca2)(-2=)()(22cabca-2=bca)(2-2=bbac)(2 所以acba，bacb，cbac的倒数也成等差数列奎屯王新敞新疆 三、课堂练习三、课堂练习（一）基础训练（一）基础训练 1.（1）求等差数列 3，7，11，的第 4 项与第 10 项.分析：根据所给数列的前 3 项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：1a=3,d=73=4.该数列的通项公式为：na=3+（n1）4,即na=4n1（n1,nN*）4a=441=15,10a=4101=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列 10，8，6，的第 20 项.解：根据题意可知：1a=10,d=810=2.该数列的通项公式为：na=10+（n1）（2）,即：na=2n+12,20a=220+12=28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100 是不是等差数列 2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数 n 值，使得na等于这一数.解：根据题意可得：1a=2,d=92=7.此数列通项公式为：na=2+（n1）7=7n5.令 7n5=100,解得：n=15,100 是这个数列的第 15 项.（4）20 是不是等差数列 0，321，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：1a=0,d=321 此数列的通项公式为：na=27n+27,令27n+27=20,解得 n=747 因为27n+27=20 没有正整数解，所以20 不是这个数列的项.2.在等差数列na中，（1）已知4a=10,7a=19,求1a与 d;（2）已知3a=9,9a=3,求12a.解：（1）由题意得：19610311dada,解之得：311da.（2）解法一：由题意可得：389211dada,解之得1111da 该数列的通项公式为：na=11+（n1）（1）=12n,12a=0 解法二：由已知得：9a=3a+6d,即：3=9+6d,d=1 又12a=9a+3d,12a=3+3（1）=0.3.在等差数列 na中，已知105a，3112a，求首项1a与公差d 解：由题意可知(2)3111(1)10411215daadaa 解之得123ad 即这个数列的首项是-2，公差是 3奎屯王新敞新疆 或由题意可得：daa)512(512即：31=10+7d 可求得 d=3，再由daa415求得1a=-2 4.在等差数列 na中,若 65a 158a 求14a 解：daa)58(58 即 d3615 3d 从而 33396)514(514daa 5.在 等 差 数 列 na中 若 30521aaa，801076aaa，求151211aaa 解：6+6=11+1 7+7=12+2 11162aaa 12272aaa )(151211aaa+)(521aaa2)(1076aaa 151211aaa=2)(1076aaa)(521aaa =28030=130（二）培养能力（二）培养能力 1.（08 陕西）已知na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前 10 项和10S等于（）A64 B100 C110 D120 2.(03北京春)在等差数列na中，已知1234520aaaaa，则3a（）.A4 .B5 .C6 .D7 3.设数列 na的前n项和为nS)(*Nn,关于数列 na有下列四个命题：若 na既是等差数列又是等比数列，则)(*1Nnaann；若),(2RbabnanSn，则 na是等差数列；,a b c成等差数列的充要条件是2acb。若 na是等差数列，则)(,*NmSSSSSm2m3mm2m也成等差数列；其中正确的命题是 （填上正确的序号）。4.（2003 年春季上海，12）设 f（x）=221x，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得 f（5）+f（4）+f（0）+f（5）+f（6）的值为_.5.(08 山东)nS为数列nb的前n项和，且满足11b，221nnnnbb SS2n.证明数列nS1成等差数列，并求数列 nb的通项公式.6.等差数列 na的前10项的和,10010S前100项的和10100S,求前110项的和.110S（三）探究创新（三）探究创新 7.设等差数列 na的前n项和为nS，已知312a，120S，130S ()求公差d的取值范围；()指出1S,2S,12S，中哪一个值最大,并说明理由新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋特级教师特级教师王新敞王新敞wxcktwxckt王新敞王新敞特级教师特级教师源头学子小屋源头学子小屋新疆新疆 8.（06 上海）已知数列3021,aaa，其中1021,aaa是首项为 1，公差为 1 的等差数列；201110,aaa是公差为d的等差数列；302120,aaa是公差为2d的等差数列（0d）.（1）若4020a，求d；（2）试写出30a关于d的关系式，并求30a的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,aaa是公差为3d的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（2）应作为特例）并进行研究，你能得出什么样的结论。参考答案：参考答案：【提示或答案提示或答案】B.提示：设数列的公差为d,则112421328adad得11,2ad.故10110 9101002Sad.【基础知识聚焦基础知识聚焦】考察等差数列的通项公式11naan nd和前 n 项和公式12nnn aaS或112nn nSnad.等差数列中，已知五个元素1,nna a n d S中的任意三个，便可求出其余两个.要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.【变式与拓展】（03 年全国）等差数列na中，已知1251,4,333naaaa，则n是 A.48 B.49 C.50 D.51【答案】C.提示:由已知解出公差23d，再由通项公式得1213333n，解得50n.【提示或答案提示或答案】A.示:由1234520aaaaa得3520a 故34a 【基础知识聚焦知识聚焦】考察等差数列的性质:数列 na是等差数列,若mnpq,则mnpqaaaa,特别2mpq时,2mpqaaa.【变 式 与 拓 展】（08湖 北）已 知 函 数 2xf x,等 差 数 列 na的 公 差 为2.若2468104f aaaaa,则 212310logf af af af a 【答案】6.3.【提示或答案提示或答案】.提示:中若数列各项为零时不满足;都是等差数列的性质.【基 础 知 识 聚 焦知 识 聚 焦】考 察 等 差 数 列 的 相 关 性 质,如 若 na是 等 差 数 列，则)(,*NmSSSSSm2m3mm2m也 成 等 差 数 列,公 差 为2k d；数 列 na的 前 n 项 和 为),(2RbabnanSn，是数列 na为等差数列的充要条件等.4.【提示或答案提示或答案】32.提示倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到 212f xfx，有题目特点可得值为3 2.【基础知识聚焦知识聚焦】考察等差数列前 n 项和公式的推导方法,要善于从式子的结构特征,联想解题方法.5【解】由已知221nnnnbb SS2n，又12nnSbbb，所以 12121nnnnnnSSSSSS即1121nnnnSSS S，所以11112nnSS，又111bS，所以数列1nS是首项为 1，公差为12的等差数列，由上可知112nnS即11nSn n所以当2n时，121nnnbSSn n 因此12nb 2【点评】本题考察等差数列的证明，证明等差数列的基本方法是利用定义，证明1nnaa常数n2（）；或利用等差中项，即证明1122nnnaaan【变式与拓展】已知数列na的前项和为nS，且120nnnaSS2n，112a 求证：1nS为等差数列.6.【解法一解法一】设 na的首项为1a,公差d,则 1111111010 9100502:11099100100 99102100dadada 解得110109110211101110daS【解法二解法二】na为等差数列,故可设BnAnSn2,则1110101001000010010100BABABA解得 110)110(1101101102110BABAS【解法三解法三】290290)(100111001110100aaaaSS 1102110)(2)(110100111101110aaaaS【点评】解法一转化为两个基本量,再求其它问题是重要的方法，也是解决这类问题的通法通解；解法二利用了前 n 项和公式的函数式特征.解法三较为灵活，运用了整体代换的思想方法。【变式与拓展】na为等差数列，,nmSm Sn mn，求m nS.【答案】m+n.提示：解法同上，下面仅给出一种解法：1211m-n2mnnnmmm nSSaaaanmaa1122m nnmnmaaaamn，12m nm nmnSaamn.7.（1）解：根据题意，有11112 11120213 121302212adadad，整理得1111266013780212adadad解得2437d.（2）【解法一】因为0d，1231213aaaaa.而113137131302aaSa，70a.又1121211267126602aaSaaaa，60a.所以数列的前6项和6S最大.【解 法 二】215122,12.22ndadSnd n考 察 函 数251222dyxd x，5120,22bdad5122xd时，y的 取 值 有 最 大 值.又 2437d，所 以51213622d.nN，所以当6n时nS最大，即数列的前 6 项和最大.【点评】本题给出的两种解法，揭示了数列、函数、不等式知识之间的联系.【变式与拓展】（1）（04 重庆）数列 na是等差数列，首项10a，20032004200320040,0aaaa则使得前 n 项和0nS 成立的最大自然数 n 是 （2）数列 na是等差数列，56678,SS SSS，则nS最大时n=【答案】（1）4006，（2）6n或7n.8.【解解】1）3,401010.102010ddaa.（2）)0(11010222030ddddaa，432110230da，当),0()0,(d时，307.5,a 且3010.a.（3）所给数列可推广为无穷数列na，其中1021,aaa是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当1n时，数列)1(1011010,nnnaaa是公差为nd的等差数列.研究的结论可以是：由32340301010 1aadddd。以此类推可得 12101110110 111011nnnddaddddnd当0d 时，1 01na的 取 值 范 围 是10，.【点评】方法是基本的转化为基本量,利用通项公式.(3)考查类比的能力.课堂小结 1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.2.等差数列中，已知五个元素 a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.3.证明数列an是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明 anan1（n2）为常数；（2）利用等差中项，即证明 2an=an1+an+1（n2）.4.等差数列an中，当 a10，d0 时，数列an为递增数列，Sn有最小值；当 a10，d0 时，数列an为递减数列，Sn有最大值；当 d=0 时，an为常数列.5.复习时，要注意以下几点：（1）深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质.（2）注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.四、课后作业四、课后作业 1.（2006 全国）设nS是等差数列 na的前n项和，若3613ss，则612ss()（A）310 （B）13 （C）18 （D）19 2.（08 广东）记等差数列na的前n项和为nS，若112a，420S，则6S（）A16 B24 C36 D48 3.（03 年全国，8）已知方程（x22x+m）（x22x+n）=0 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|mn|等于 A.1 B.43 C.21 D.83 4.等差数列an中，a100，a110 且 a11|a10|，Sn为其前 n 项和，则 A.S1，S2，S10都小于 0，S11，S12，都大于 0 B.S1，S2，S19都小于 0，S20，S21，都大于 0 C.S1，S2，S5都小于 0，S6，S7，都大于 0 D.S1，S2，S20都小于 0，S21，S22，都大于 0 5.在等差数列 na中,mnan am,则m na的值为 ()（A）mn （B）)(21nm （C）)(21nm （D）0 6.（04 年春季上海）在数列 na中，13a，且对任意大于 1 的正整数n，点（na，1na）在直线30 xy上，则na _.7.（08 重庆）设 Sn=是等差数列an的前 n 项和，1298,9aS ,则 S16=8.数列na中，)(5431Nnnaann.（1）若,201naa求的通项公式na；（2）设nnnSanaS求时当项和的前为,27,1的最小值 9.(06北京文)设等差数列na的首项1a及公差d都是整数,前n项和为nS,()若110a，1498S,求数列的通项公式；()若1a6，110a，14S77，,求所有可能的数列na的通项公式.参考答案：参考答案：1.A.2.D.3C.解析：设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4，则 x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当 m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设 x1为第一项，x2必为第 4 项，可得数列为41，43，45，47，m=167，n=1615.|mn|=21.4.B 解析：由题意知,010,0911dada 可得 d0，a10.又 a11|a10|=a10，a10+a110.由等差数列的性质知 a1+a20=a10+a110，S20=10（a1+a20）0.5.D 6.3n2.解析：将点代入直线方程得na1na=3，由定义知na是以3为首项，以3为公差的等差数列，故na=3n，即 an=3n2.7.72 8.min()243.nS 解析：（1）,3,5135432121nnnnnnaanaanaa两式相减得 135246,3 a a aa a ad与都是的等差数列120a ,312a 当n为奇数时，;24333)121(20nnan 当n为偶数时，;26833)12(31nnan（2）当n为偶数时，)()()(14321nnnaaaaaaS=（3154）+（3354）+3（n1）54=31+3+5+（n1）542n 223327(18)243,44nnn min18,()243;nnS 当时 当n为奇数时，1231()()nnnSaaaaa 221131053327(18)216,4444nnana 1719n当或时min1()216243;nSa min,18()243.nnS 综上 当时 9.（1）由1498S得121314,ad又111100,aad故解得12.20da.因此 na的通项公式是222,1,2,3,.nan n（2）由1411177,0,6.Saa得11121311,100,6.adada即11121302200212adada 由+得711,d即117d .由+得131,d 即113d .于是111713d.又dZ，故1d.代入得11012.a又1aZ，故111112.aa或 所以，所有可能的数列 na的通项公式是1213,1,2,3.nnanan n和 五、教学小结（或反思）五、教学小结（或反思）