模拟试卷(6).doc

2015年全国高中数学联赛
模拟试卷（6） 姓名__________
1.设是上的递减函数，对任意的有.则满足条件的一个函数为
______________.
2.设正三棱柱的体积为，点分别在棱上，，则四面体
的体积为________.
3.设常数，集合.记的所有子集分别为.对，
用表示集合中所有元素的和，规定，则__________.
4.设，则的最小值是________.
5.设是的三个内角.若，其中，且，
则_______________.
6.在上任取两个实数，则方程有实根的概率为________.
7.已知是的外心.若，，且，则________.
8.设为整数，，令.若的整数部分为2013，
且2013除以的余数为53，则的整数部分除以的余数是______.
9.设，函数满足.
求证：在上不可能有两个零点.

10.已知是抛物线上一动点，设点.若以为为直径的圆与抛物线只有两个
公共点，求该圆面积的取值范围.

11.试求所有的正整数及实数，使得与均为有理数.

2015年全国高中数学联赛模拟试卷（6）参考答案
1.设是上的递减函数，对任意的有.则满足条件的一个函数为
______________.
【答案】.
【解析】考虑指数模型，设即可.
2.设正三棱柱的体积为，点分别在棱上，，则四面体
的体积为________.
【答案】.
3.设常数，集合.记的所有子集分别为.对，
用表示集合中所有元素的和，规定，则__________.
【答案】.
【解析】对于中的任意一个元素，含的子集共有个，故每个元素均出现了次，
.
4.设，则的最小值是________.
【答案】.
【解析】当时，.只需证明即可.
设，则，只需证明，由于
，得证.
5.设是的三个内角.若，其中，且，
则_______________.
【答案】.
【解析】显然是锐角，，，故也为锐角.
6.在上任取两个实数，则方程有实根的概率为________.
【答案】.
【解析】. 几何概型，用定积分求面积.
7.已知是的外心.若，，且，则________.
【答案】.
【解析】不妨设，建系设点，求出点坐标.
8.设为整数，，令.若的整数部分为2013，
且2013除以的余数为53，则的整数部分除以的余数是______.
【答案】.
【解析】设，则，
若是平方数，设，则，则，舍去；
故不是平方数，不是整数，即，
，，
.

9.设，函数满足.
求证：在上不可能有两个零点.
证明：假设在上有两个零点，则.
由得，故（）；
而，，矛盾！
故假设不成立，从而原命题成立.

10.已知是抛物线上一动点，设点.若以为为直径的圆与抛物线只有两个
公共点，求该圆面积的取值范围.
解：从反面考虑，如果以为为直径的圆与抛物线有异于的公共点，
设，又易证，
故，从而，
故的方程为，
与联立，消去得，
，，
即有根， （将视为主元）
，
解得或.且易知此时满足.
又该圆面积，
设，
则.
当时，，递增，；
当时，，递减，；
故，即.
从而若以为为直径的圆与抛物线只有两个公共点，则该圆面积的取值范围为.

11.试求所有的正整数及实数，使得与均为有理数.
解：由与均为有理数，
故，①
，②
由①知，存在，使得，
代入②得，从而，，
故，
设，由，
即，
由该方程有解，故，且，
又，故或.
当时，，或；
当时，，.

选题出处：
1-8,10《中等数学》2013.08 P41；
9 杭州奥林教育模拟题（一）9；
11 《中等数学》2013.02 P41