《1.1-分类加法计数原理和分步乘法计数原理》-同步练习-1.doc

1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 同步练习 1基础练习一、选择题1已知x2，3，7，y31，24，4，则xy可表示成不同的值的个数是()A112B1113C236D339答案D解析因为按x、y在各自的取值集合中各选一个值去做积这件事，可分两步完成：第一步，x在集合2，3，7中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合31，24，4中任取一个值有3种方法根据分步乘法计数原理有339个不同的值故选D.2(2014陕西宝鸡中学高二期末)图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有()种不同的取法()A120B16C64D39答案B解析由分类加法计数原理知，共有不同取法35816种3一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种类共有()A6种B8种C36种D48种答案D解析参观路线分步完成：第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法由分步计数原理知，共有3222248(种)方法二、填空题4有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有_种不同的取法答案242解析任取两本不同的书，有三类：(1)取数学、语文各一本，(2)取语文、英语各一本，(3)取数学、英语各一本然后求出每类取法，利用分类加法计数原理即可得解取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10990种不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9872种不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10880种不同取法综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有907280242种不同取法故填242.5如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的个数是_答案36解析用分类加法计算原理：第一类，正方体的一条棱与面有两个“正交线面对”，共有24个；第二类，正方体的一条面对角线与对角面有一个“正交线面对”，共有12个所以共有“正交线面对”的个数是241236.三、解答题6从1到200的这二百个自然数中，各个位数上都不含数字8的共有多少个？分析本题涉及分类加法计数原理与分步乘法计数原理，在分类中又包含分步，“类”、“步”交融，应注意根据所学知识认真分析，及对于一些“步”中分类的问题要学会具体对待解析应分三类来解决该问题第一类：一位数中除8以外符合要求的数有8个；第二类：二位数中，十位数除0、8以外有8种选法，而个位数除8以外有9种选法，故二位数中符合要求的数有8972(个)；第三类：三位数中百位数为1，十位数和个位数上的数字除8以外都有9种选法，故三位数中，百位数为1的符合要求的数有9981(个)百位数为2的只有200这一个符合要求，三位数中符合要求的数有81182(个)由分类加法计数原理，符合要求的数字共有N87282162(个)点评考虑问题的原则是先分类而后分步，要注意在分类(或分步)时，必须做到不重不漏.能力提升一、选择题1从集合1，2，3，11中任选两个元素作为椭圆方程1中的m和n，则能组成落在矩形区域B(x，y)|x|11，且|y|9内的椭圆的个数为()A43个B72个C86个D90个答案B解析由题意，m可能的取值为1，2，10；n可能的取值为1，2，8，先确定m有10种方法，再确定n有8种方法，按分步计数原理共有80种方法，但其中包括mn的情况共8种，故能组成落在矩形区域内的椭圆个数为72个故选B.2四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是()A4B24C43D34答案C解析依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是44443.故选C.3(2014安徽理，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对B30对 C48对D60对答案C解析如图，上底面的一条对角线为例共4对，这样的对角线共12条，共有12448对本题也可以用排除法，C612求得42014年南京青奥会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是()ABCDEA05456B50762C47098.6D56905E628.650A.20.6B21C22D23答案B解析由于“以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“ 最短路线的距离”，由选项判断，A中20.6在表中只有C和E之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE是必定经过的路线，又因为A为起点，E为终点，故如果A正确，那么线路必须是：1.ABDCE或2.ADBCE，进行验证：线路1的距离和为5698.628.6，故线路1不符合；线路2的距离之和为5678.626.6，线路2也不符合，故排除A；再验证选项B，发现线路ACDBE的距离之和为496221符合，故选B.5方程ayb2x2c中的a，b，c3，2，0，1，2，3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A60条B62条C71条D80条答案B解析本题考查抛物线、计数原理由题意知a0，且b0，下面分2类：若c0，ayb2x2，不同抛物线有54614条，若c0，不同抛物线有5431248，共481462条分类要全面，要不重不漏二、填空题6若一个m，n均为非负整数的有序数对(m，n)在做mn的加法时各位均不会进位，则称(m，n)为“简单的”有序数对，mn称为有序数对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是_答案300解析由题意可知mn1942，当m，n中一个数确定时，另一个数也就唯一确定了，所以不妨设m1000x1100x210x3x4，则x1有2种不同取法，x2有10种不同取法，x3有5种不同取法，x4有3种不同取法，所以所求的有序数对的个数为21053300.7.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_种(用数字作答)答案390解析给四个格子编号如答图所示，由题意号格子有6种不同涂色方法，号格子有5种不同的涂色方法，若号格子与号格子同色，则号格子有5种不同涂色方法(可以与号同色)，由乘法原理有655150(种)涂色方法；若号格子与号格子不同色，则号格子有4种不同涂色方法，此时号格子只能与号或号同色，因而有2种涂色方法，由乘法原理有6542240(种)涂色方法，最后由加法原理共有150240390(种)不同的涂色方法，故填390.三、解答题8甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？分析由题目可获取以下主要信息：有4个人、4张贺卡；取别人写的贺卡解答本题可根据自己写的卡的情况，最简捷的办法是用分步乘法计数原理设计完成这件事的步骤解析方法一(枚举法)：(1)甲取得乙卡，分配方案如表此时乙有甲、丙、丁3种取法若乙取甲的卡，则丙取丁的、丁取丙的，若乙取丙的卡，则丙取丁的，丁取丙的，故有3种分配方案(2)甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲 (3)甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丁甲乙丙、乙丙甲乙、丁丙乙甲由分类加法计数原理，共有N3339(种)方法二(间接法)：4人各取1张贺卡甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法由分步乘法计数原理，4个人各取1张贺卡共有432124(种)4个人都取自己写的贺卡有1种方法；2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写贺卡的方法有6种(即4个人中选出取自己写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)；1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写贺卡方法有8种(从4个人中选出取自己写的贺卡的1个人有4种方法而其余3个人都不取自己所写贺卡的方法有2种方法)因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有N24(168)9(种)方法三(分步法)第一步甲取1张不是自己所写的那张贺卡，有3种取法；第二步由甲取的那张贺卡的写卡人取，也有3种取法；第三步由剩余两个中任1个人取，此时只有1种取法；第四步最后1个人取，只有1种取法由分步乘法计数原理，共有N33119(种)点评对于有限制条件的选取、抽取问题的计数，一般地，当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，可用树形图、框图及表格进行枚举；当数目较大，符合条件的情况较多时，可用间接法计数；否则直接用分类或分步计数原理计数但一般根据选(抽)取顺序分步或根据选(抽)取元素的特点分类9将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数是多少？ 解析可分两步进行，先将四棱锥一侧的三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论如图所示，由题设，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染颜色互不相同，它们共有54360种染色方法当S，A，B已染好时，不妨设其颜色分别为颜色1，2，3；若C颜色为2，则D可染颜色3，4，5之一，有3种染色法；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法，可见，当S，A，B已染好时，C与D还有7种染法，因此不同的染色方法共有607420种点评关于涂色问题，我们一般先给涂色部位依次标上相应的序号，以便分析问题具体涂色时，看先给哪个部位涂色较简单本例中首先须涂顶点S，其次AB，涂C时要分类进行，分类标准是C同A和C不同于A两类10如图所示的53方格中有多少个矩形(每个小正方形的边长为1)？解析如果直接数图中矩形的个数，则有可能重复或遗漏，而以矩形的面积作为分类标准就能做到不重不漏(1)面积为1的矩形有15个(2)面积为2的矩形有两类：一是横向的，有4312个；二是竖向的，有2510个，故共有121022个(3)面积为3的矩形有33514个(4)面积为4的矩形有：横向的有236个；正方形的有248个，共有6814个(5)面积为5的矩形有3个(6)面积为6的矩形有32410个(7)面积为8的矩形有224个(8)面积为9的矩形有3个(9)面积为10的矩形有2个(10)面积为12的矩形有2个(11)面积为15的矩形有1个故共有矩形152214143104322190个点评本题中，可以用直接法一一地数出这些矩形的个数，但在“数”的过程中，容易出现重复和遗漏而在这里以“面积”的大小作为分类标准，就可以避免重复和遗漏，并且它将一个大的计数问题分解成若干个小的计数问题，从而降低了思维难度，简化了解题过程，避免了错误的发生