高一复习资料——12数列求和.doc

第十一讲 数列的前项和
数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：
一、题型分析
1、公式法：——直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列求和公式：
（2）等比数列求和公式：
例1．求和

变式1：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

2、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）
例2．设函数.
（I）求证：若，则为定值
（II）若

变式2、 求的值

3、错位相减法：——设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。
例3．求和：（且）．

变式3、求和.

4、裂项求和法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常见裂项如： （1） （2）
（3），（4）等。
例4 .在数列{an}中，，又，求证：

变式4、（1）求数列的前n项和.
（2）求之和

5、分组求和法:所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例5. （1）
（2）数列{an}：，求S2002.

变式5、（1）求之和
（2）求

二、课后练习
1．数列{an}满足an＝1－an－1(n∈N，n>1)，且a2＝2，Sn是{an}的前n项和，则S2 011＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．1 002 B．1 003 C．1 004 D．1 005
2．数列1，2，3，4，…的前n项和为 (　　)
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－ C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2
3．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为 (　　)
A．11 B．99 C．120 D．121
4．数列1，，，…，的前n项和Sn等于 (　　)
A. B. C. D.
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1(3n－2)，则前100项之和S100等于________．
6．数列5,55,555，…的前n项和为________．
7．已知f(x)＝，求f ＋f ＋…＋f ＝________.　
8．已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.
(1)求{an}的通项公式；(2)令，求数列{bn}的前n项和Sn.

9．已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝n3.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)求＋＋…＋的值．

10．等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上．
(1)求c，an； (2)若kn＝，求数列{kn}前n项和Tn.
三、课后练习详细解答
1．数列{an}满足an＝1－an－1(n∈N，n>1)，且a2＝2，Sn是{an}的前n项和，则S2 011＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．1 002 B．1 003 C．1 004 D．1 005
解析：由an＝1－an－1得an－1＋an＝1，a1＝1－a2＝－1，
S2 011＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 008＋a2 009)＋(2 010＋2 011)＝－1＋1 005＝1 004.
答案：C
2．数列1，2，3，4，…的前n项和为 (　　)
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2
解析：∵an＝n＋，
∴Sn＝1＋2＋…＋n
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋，
∴Sn＝＋
＝n(n＋1)＋1－＝(n2＋n＋2)－.
答案：A
3．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为 (　　)
A．11 B．99 C．120 D．121
解析：∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
答案：C
4．数列1，，，…，的前n项和Sn等于 (　　)
A. B. C. D.
解析：an＝＝2，所以
Sn＝2
＝2＝.
答案：B
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1(3n－2)，则前100项之和S100等于________．
解析：并项求和
a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝…＝a99＋a100＝－3
∴S100＝－3×50＝－150.
答案：－150
6．数列5,55,555，…的前n项和为________．
解析：an＝＝(10n－1)，
∴Sn＝(10＋102＋…＋10n－n)＝
＝(10n＋1－10)－n＝(10n－1)－n.
答案：(10n－1)－n
7．已知f(x)＝，求f ＋f ＋…＋f ＝________.　
解析：因为f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝1.
所以f ＋f ＝f ＋f ＝…＝f ＋f ＝1.
∴f ＋f ＋…＋f ＝5.
答案：5
8．已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.
(1)求{an}的通项公式；(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意得方程组
.解得a1＝5，d＝4，
所以{an}的通项公式为an＝4n＋1.
(2)由an＝4n＋1，得bn＝24n＋1，
所以{bn}是首项为b1＝25，公比q＝24的等比数列．
于是得{bn}的前n项和Sn＝＝.
9．已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝n3.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)求＋＋…＋的值．
解：(1)当n≥2时，由a1＋a2＋…＋an－1＋an＝n3，
a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)3，
两式相减，得an＝3n2－3n＋1，n＝2,3,4，…
当n＝1时，有a1＝13＝1，满足上述公式．
故数列{an}的通项公式为an＝3n2－3n＋1.
(2)∵＝＝，n＝2,3,4…
∴＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝＝.
10．等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上．
(1)求c，an； (2)若kn＝，求数列{kn}前n项和Tn.
解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上，
∴Sn＝n2＋c，
a1＝S1＝1＋c，a2＝S2－S1＝(4＋c)－(1＋c)＝3.a3＝S3－S2＝5，又∵{an}为等差数列，
∴6＋c＝6，
∴c＝0，d＝3－1＝2，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)kn＝，
Tn＝＋＋＋…＋＋①
Tn＝＋＋＋…＋＋②
①－②得：Tn＝＋2－
＝＋2×－＝－
∴Tn＝3－.

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