2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷(一).doc

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2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学模拟卷（一）
本试卷共 9 页，满分 150 分。
考生注意：
1． 答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共 12 题 每题 5 分 共 60 分
x
1．已知集合 P={x|1 ≤ x≤ 3},Q={x|≤2 2}那, 么 P∪(?RQ)=
A.(1,3) B.[1,3] C.[1,+ ∞) D.?
2．已知 =b+i(a,b ∈R),则a+b=
A.-1 B.1 C.-2 D.2
3．甲校有 3600 名学生 ,乙校有 5400 名学生 ,丙校有 1800 名学生 ,为统计三校学生的情况,计划
采用分层抽样法,抽取一个容量为 90 人的样本 ,应在这三校分别抽取学生（）人 .
A.30,30,30 B.30,45,15 C.20,30,10 D.30,50,10
4．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C: =1(a>b>0), 点 A 是椭圆C 的右顶点 ,点 B 为
椭圆C 的上顶点 ,点 F(-c,0)是椭圆C 的左焦点 ,椭圆的长轴长为 4,且 BF⊥AB,则c=
A. -1 B. C.2 -2 D. +1
5．设a,b 是非零向量 . “a·b=|a||b| ”是 “a∥b”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6．函数 f(x)=Asin( ω x+φ )(A>0, ω > )0的,|部φ分|图< 象如图所示,则
1
***
A.f(x)= sin(2x- ) B.f(x)= sin(x- )
C.f(x)= sin(2x+ ) D.f(x)= sin(x+ )
7．正项等比数列 {an} 中,a2 016=a2 015+2a2 014,若 aman=16 ,则 的最小值等于
A.1 B. C. D.
8．如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形 ,侧棱 SA⊥平面 ABCD,SA= ,BC=1,M
为线段 SB 的中点 ,动点 P,Q 分别在线段 SC,CD 上,则 2MP+PQ 的最小值是
A.1 B. C. D.2
9．已知函数 f(x)= 若 f(2-a

2
)>f(|a|),则实数 a 的取值范围是
A.(-1,1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(-2,2)
10．函数 f(x)=e

|x-1|
-e(x-1)

2

的大致图象为
A. B.
C. D.
2 2
11．在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,b cos Acos C=accos B,则角 B 的取
值范围为
A.( , ) B.[ , ) C.[ , ) D.( , ]
12．已知过原点 O 的直线交双曲线 - =1(a>0,b>0) 的左、右两支分别于 A,B 两点 ,F 为双曲
线的左焦点 ,若 4|AF| ·|BF|=|AB|

2 2
+2b ,则此双曲线的离心率为
A. B. C.2 D.
2
二、填空题：共 4 题 每题 5 分 共20 分
13．已知函数 f(x)=x

2f '(2)+3x, 则 f '(2)= .
14．已知在等差数列 {a n}中,{an} 的前 n 项和为 Sn,a1=1,S13=91,若 =6,则正整数 k= .
15．已知函数 f(x)=x(e

x-e-x )-cos x 的定义域为 [-3,3], 则不等式 f(x2+1)>f(-2) 的解集为 .
16．已知 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 ,点 M 在边 AC 上,
且 cos∠AMB=- ,BM= ,则△ABM 的面积等于 .
三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明 / 证明过程或演算步骤。第 17~21
题为必考题，每个考生都必须做答。第 22、23为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题（ 60 分）
17．已知公比不为 1 的等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn,满足 S6= ,且 a2,a4,a3 成等差数列 .
(1)求等比数列 {an} 的通项公式 ;
(2)若数列 {b n}满足 bn=nan,求数列 {b n} 的前 n 项和 Tn.
18．如图,在三棱柱 ABC-A 1B1C1中,AB=BC=2,AB ⊥BC,B 1C⊥BC,B 1A⊥AB,B 1C=2 .
(1)求证:BB 1⊥AC;
(2)求直线 AB 1 和平面 ABC 所成角的大小 .
19．2018 年为我国改革开放 40 周年,某事业单位共有职工 600 人,其年龄与人数分布表如下 :
年龄段
人数 (单位:
180 180 160 80
人)
约定:此单位 45 岁 59 岁为中年人 ,其余为青年人 ,现按照分层抽样抽取 30 人作为全市庆祝晚
会的观众 .
(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人 ?
(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有 12人和 5 人不热衷关心民生大事 ,其余人热衷
关心民生大事 .完成下列 2×2 列联表 ,并回答能否有 90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大
事有关 ?
不热衷关心民生 总计
热衷关心民生大
事 大事
青年 12
3
中年 5
总计30
(3)若从热衷关心民生大事的青年观众 (其中 1 人擅长歌舞,3 人擅长乐器)中,随机抽取 2 人上
台表演节目,则抽出的 2 人能胜任的 2 人能胜任才艺表演的概率是多少?
附参考数据与参考公式 :
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
.
20．设椭圆的右焦点为 ,过的直线与 交于 两点 ,点 的坐标为 .
(1)当 与 轴垂直时,求直线的方程 ;
(2)设为坐标原点 ,求 的值 .
21． 已知函数 f(x)=ln x+ax

2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x) 的单调性;
(2)当 a<0时,证明f(x) -≤ -2.
（二）选考题（ 10 分）请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所
做的第一题计分
22． 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为 ( θ为参数 ),直线l 的参数方程为
(t 为参数 ).
(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标 ;
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ,求 a.
23． 已知 f(x)=|x+1|+|2x-1|.
(1)画出 f(x) 的图像并解不等式 f(x) ≥ 3;
(2)若不等式 f(x) ≥ -a|x|恒成立 ,求 a 的取值范围.
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4
文科数学模拟卷（一）参考答案
0.101 C
【解析】本题主要考查集合的并、补运算 ,指数函数的性质,考查的数学核心素养是数学运算 .
先根据指数函数的单调性求出集合 Q,再利用集合的并、补运算求 P∪(?RQ).
x
∵2 ≤ 2∴, x≤ 1∴, Q={x|x ≤ 1}∴, ?RQ={x|x>1}, 所以 P∪(?RQ)={x|x ≥ 1故}.选C.
0.102 B
【解析】本题考查复数的基本运算以及复数相等的概念 ,考查考生对基础知识的掌握情况 .将
等号两边同时乘以 i,然后利用复数相等列出方程组求解即可 ;也可直接利用复数的除法运算
化简,然后利用复数相等列出方程组求解即可 .
解法一 由已知可得 a+2i=(b+i)i, 即 a+2i=bi-1.
由复数相等可得 所以 a+b=1.
解法二 =2-ai=b+i, 由复数相等可得 解得 所以 a+b=1.
0.103 B
0.104 A
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,考查考生的运算求解能力.由 BF⊥ AB 及
OB⊥AF, 得到 |BO|
2=|OF| |·OA|,结合 a2=b2+c2 得到 的值,从而根据 a=2 得到 c 的值.
2 2 2 2 2
由题意得 A(a,0),B(0,b), 由 BF ⊥AB 及 OB⊥AF,得|BO|
=|OF| |·OA|,即 b =ac,又 a =b +c ,所以
ac=a
2-c2,即 e2+e-1=0,解得 e= 或 e=- (舍去 ),又 a=2,所以 c= -1.
0.105 A
【解析】本题主要考查向量平行的概念和向量的数量积运算 ,意在考查考生分析问题、解决
问题的能力.解题思路为按充分、必要条件的定义解题 .
若 a·b=|a||b|,则a与 b 的方向相同 ,所以 a∥b.若 a∥b,则a·b=|a||b|,或 a·b=-|a||b|,所以 “a·b=|a||b| ”
是“a∥b”的充分而不必要条件 ,选A.
0.106 C
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的读图与识图能力、综合分析问题
和解决问题的能力.
由题中图象可知 A= ,又 ,所以函数 f(x) 的最小正周期 T=4× =π , ω==2,结合题中
图象可知 f( )= sin( +φ )=0所, 以 +φ =kπ∈(kZ),因为 | φ |<,所以 φ= ,即 f(x)= sin(2x+ ).
【备注】【解题思路】首先根据题中图象可以得到 A= ,然后由 T=4×( )求出函数 f(x)
的最小正周期 T,进而可得 ω,最后结合特殊点可求 φ即, 可求出 f(x).
0.107 B
【解析】先由通项公式列式求公比 ,再代入已知条件确定 n,m 的大小关系式 ,最后用基本不等
2=a2 014q+2a2 014,∴q2-q-2=0, ∴q=2 或 q=-1( 舍去 ),
式求最小值.设{a n}的公比为 q(q>0), ∵a2 014q
5
m-1
n-1=16 ,∴qm+n-2=16,∴m+n-2=4,m+n=6, ∴ =( ) · (5+
又 a1q
·a1q
) ≥ (5+2 )= ,当且仅当 m=4,n=2 时等号成立 ,故选B.
0.108 D
【解析】本题主要考查立体几何中的动点问题 ,考查考生的空间想象能力、运算求解能力、
推理论证能力 .先根据题意证明CD⊥平面 SAD,BC ⊥平面 SAB, 得到对于给定的点P,PQ达到
最短的条件 ,然后可以利用函数的有关知识求最值,也可以通过线面位置关系的有关证明及平
面几何的有关知识求最值.
因为底面 ABCD 为正方形,所以 CD⊥AD,
又 SA⊥平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD, 所以 CD⊥SA,又 SA∩AD=A, 所以 CD⊥平面 SAD,同理
BC⊥平面 SAB.
解法一 易知对于给定的点P,当且仅当 PQ⊥CD 时,PQ 达到最短 .
设SP=t,t∈[0, ],cos∠BSC= ,
则PM= ≥ ,
又 ? ? PQ=1- t,
记2y=2(MP+ PQ) ? y= +1- t,
2=1+t2- t, 移项平方得 (y-1+ t)
2- (1+y)t+2y-y 2=0, 化简可得 t
由方程有解可得 Δ=[ (1+y)]

2-4 ××(2y-y 2) ≥ 0? 5y2-6y+1 ≥ 0
解得 y≥ 1或 y≤ (舍去 ),故 2MP+PQ=2y≥ 2,故选D.
解法二 如图,将四棱锥S-ABCD 补成长方体 STUV-ABCD,
对于给定的点P,当且仅当 PQ⊥CD 时,PQ 达到最短 .过点P 作 PH⊥平面 CDVU, 连接HQ,
由 SA= ,BC=1, 得 SD=2,
则cos∠SDA=cos ∠HPQ= ,
则PH=PQ· cos∠HPQ= PQ,
6
则 2MP+PQ=2(MP+ PQ)=2(MP+PH),
当且仅当 M,P,H 三点共线时 MP+PH 的值达到最小,易知此时 MP+PH=1, 即(2MP+PQ) min=2.
0.109 A
【解析】本题是函数与不等式的综合题 ,考查函数的单调性,考查运算求解能力、分类讨论思
想、数形结合思想 . 根据分段函数的单调性,数形结合求解 .
由题意知 ,f(x)= 作出函数 f(x) 的大致图象如图所示,由函数 f(x) 的图象可
2)>f(|a|),得 2-a2>|a|.当 a≥ 0时,有 2-a2>a,即(a+2)(a-1)<0, 解
知,函数 f(x) 在 R 上单调递增,由 f(2-a
2>-a,即(a-2)(a+1)<0, 解得 -1<a<2,所以 -1<a<0.综上所述,
得-2<a<1,所以 0≤ a<1当; a<0 时,有 2-a
实数 a 的取值范围是 (-1,1).故选A.
0.110 B
【解析】先根据函数图象的平移变换可知 ,函数 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称,再利用特殊值 ,
排除错误选项.
设函数 g(x)=e

|x|-ex2,则 g(-x)=e |x|-ex2=g(x), 所以 g(x)为偶函数 ,易知 f(x) 的图象可以看作是由 g(x)
的图象向右平移 1 个单位长度得到的 ,故 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称,排除 A,D, 又
f(1)=e

0
-e ×(1-1)

2
=1,排除 C,故选B.
0.111 B
【解析】 本题主要考查同角三角函数的基本关系、 两角和的正切公式、 正弦定理和余弦定理
在解三角形中的应用等知识,考查考生的运算求解能力、分析问题与解决问题的能力 ,考查数
学运算、逻辑推理的核心素养.
解法一 利用正弦定理、 同角三角函数的基本关系、 两角和的正切公式以及一元二次方程根
的判别式进行求解 ;解法二 利用余弦定理进行求解 .
2cos Acos C=accos2B 及正弦定理 ,得 sin2Bcos Acos C=sin Asin Ccos 2B,即
解法一 由 b
tan
2B=tan Atan C, 所以 tan2B=-tan Atan(A+B), 即 tan2B=-tan A · ,整理得
tan
2A-(tan 3B-tan B)tan A+tan 2B=0, 则关于 tan A 的一元二次方程根的判别式 Δ =(tan3B-tan
B)
2-4tan2B≥ 0又, △ABC 为锐角三角形 ,所以得 (tan2B-3)(tan 2B+1) ≥ 0得, tan B ≥ ,所以 ≤ B<.
2 2 2 2
解法二 由 b
cos Acos C=accos B 及余弦定理 ,得 b · · =ac·( ) ,即
(b
2+c2-a2) ·(b2+a2-c2)=(c2+a2-b2)2,即 b4-(a2-c2)2=b4+(c2+a2)2-2b2(c2+a2),化简得 a4+c4=b2(c2+a2),则
cos B= ≤ ,当且仅当 a=c 时等号成立,又△ABC 为锐角三角
形,所以 ≤ B<.
0.112 B
【解析】本题考查双曲线的定义和几何性质 ,考查考生的运算求解能力 ,考查数形结合思想 ,
考查数学运算的核心素养.
先根据双曲线的对称性,构造平行四边形 AF 1BF, 再根据平行四边形的性质,得到
|AB|

2+|FF1|2=2(|AF|2+|AF1|2),最后根据双曲线的定义即可求解 .
根据双曲线的对称性,将△ABF 补形为平行四边形 AF1BF( 如图 ),
7
则 F1 为双曲线的右焦点,根据平行四边形的性质,得|AB|

2+|FF1|2=2(|AF|2+|AF1|2).
2+|AF1|2-2|AF| |A·F 1|=4a2,即 根据双曲线的定义 ,得|AF|-|AF 1|=2a,两边平方得 ,|AF|
|AB|

2 2 2
+|FF1| =2(4a +2|AF| |·AF1|),
又|AF1|=|BF|,∴|AB|

2+(2c) 2=2(4a2+2|AF| |·BF|).
∵4|AF| ·|BF|=|AB|
2=3a2,
∴c

2+2b2,∴4c2=8a2+2b2,又 b2=c2-a2,
∴双曲线的离心率e= .
0.113 -1
【解析】函数 f(x)=x 2f '(2)+3x, 则 f '(x)=2xf '(2)+3, 所以 f '(2)=4f '(2)+3, 解得 f '(2)=-1.
2.707
【解析】本题考查等差数列的性质及前n 项和 ,考查考生的运算能力 . 由 a1=1,S13=91,得出通
项公式 an,然后求出 Sk,从而可求出正整数 k 的值.
解法一 设等差数列 {an} 的公差为 d,则由 S13=91,得 13a1+ d=91,根据 a1=1,得 d=1,所以
an=n,所以 Sk= ,由 =6,得 k=11.
解法二 设等差数列 {an} 的公差为 d,在等差数列 {a n} 中,由 S13=91 及等差数列的性质,可得
13a7=91,所以 a7=7,由 a1=1,a7=7,可得公差 d=1,所以 an=n,所以 Sk= ,由 =6,得 k=11.
15. [- ,-1)∪ (1, ]
【解析】本题主要考查函数的定义域、函数的单调性、一元二次不等式的求解等 ,考查化归
与转化思想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力 .先判断出函数 f(x) 的奇
偶性 ,然后判断出函数 f(x) 在[0,3] 上的单调性 ,最后将不等式转化为一元二次不等式进行求解 .
因为 f(-x)=-x(e

-x -ex)-cos(-x)=x(e x-e-x)-cos x=f(x), 所以函数 f(x) 为偶函数 ,易知函数 y=x(ex- )在
[0,3] 上为增函数 ,函数 y=-cos x 在 [0,3] 上为增函数 ,故函数 f(x)=x(e

x-e-x)-cos x 在[0,3] 上为增函
2 2
数.由 f(x
+1)>f(-2) ? f(x +1)>f(2), 可得 2<x
f(x 2+1)>f(-2) 的解集为 [- ,-1)∪(1, ].
2+1)>f(-2) 的解集为 [- ,-1)∪(1, ].

2
+1≤ 3解, 得 - ≤ x<-1 或 1<x≤ ,故不等式
16.
【解析】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形 ,考查综合分析问题、解决问题的能力 ,考
查运算求解能力和应用意识 .
首先根据正弦定理 ,结合 求出角 A,然后求出 AB 的长,利用余弦定理求出 AM 的
长,最后结合三角形的面积公式求解即可 .
8
在△ABC 中, ,则由正弦定理得 , ,∴
,
∴ ,又 sin (A+C)=sin B ≠ 0,
∴cos A= ,∵0<A<π,∴A= ,
由 cos ∠AMB=- ,得 sin ∠AMB= ,
在△AMB 中, ,即 ,∴AB=4.
设 AM=x,
在△AMB 中,AB

2=AM 2+BM 2-2AM· BMcos ∠AMB,
2+7-2x × ×(- )=16,即 x2+2 x-9=0, 解得 x= 或 x=-3 (舍去 ),
∴x
∴S△AMB = AM· AB· sin A= ×4sin .
0.114 (1)设数列{a n}的首项为a1,公比为q(q ≠ 1),
由题意得 ? ?
n-1 n-1
从而 an=a1q
=3(- )

.
(2)由(1)得 bn=3n(- )
n-1 ,
0+3×2×(- )+3 ×3×(- )2+⋯ +3n×-( )n-1,①
由 Tn=3×(- )
- Tn=3×(- )+3 ×2×(- )
2+3×3×(- )3+⋯ +3n×-( )n,②
0+3×(- )+3 ×(- )2+⋯ +3×(- )n-1-3n ×(- )n=2-(3n+2)(- )n,
由① -②得 Tn=3×(- )
n
整理得 Tn= -(2n+ )(- )
.
0.115 (1)如图,取 AC 的中点 E,连接B1E,BE,∵ AB=BC, ∴BE⊥AC,
9
在△B1CB 和△B1AB 中,∠B1CB=∠B1AB=90°,BC=AB,B 1B=B 1B,
∴△ B1CB≌ △ B1AB,
∴B1C=B1A,
∴B1E⊥AC, ∵BE,B 1E? 平面 B1BE,B1E∩ BE=E,∴AC ⊥平面 B1BE,
∵B1B? 平面 B1BE,∴B1B⊥AC.
(2)过C 作 CD∥AB,过A 作 AD ∥BC,连接B1D,
则四边形 ABCD 为平行四边形 ,∵AB ⊥BC,AB=BC=2, ∴四边形 ABCD 为正方形且边长为 2,
∴BC⊥CD,BA ⊥AD,AD ⊥ CD,
∵BC⊥B1C,B1A ⊥AB,B 1C∩ CD=C,B1A∩ AD=A,
∴BC⊥平面 B1CD,BA ⊥平面 B1AD,
∴BC⊥B1D,BA ⊥B1D,
又 BC∩BA=B, ∴ B1D⊥平面 ABCD, ∴∠ B1AD 为直线AB 1 和平面 ABC 所成的角 .
∵B1C=2 ,∴B1D=2,AB 1=B1C=2 ,
∴sin∠B1AD= ,∠B1AD=45°,即直线AB 1 和平面 ABC 所成角的大小为 45°.
0.116 (1)抽出的青年观众为 18 人,中年观众12 人;
(2)2 ×2 列联表如下 :
热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事总计
青年 6 12 18
中年 7 5 12
总计13 17 30
,
∴没有 90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关 ;
(3)热衷关心民生大事的青年观众有 6 人,记能胜任才艺表演的四人为 ,其余两人
记为 ,则从中选两人 ,一共有如下 15 种情况 :
,
,
抽出的 2 人都能胜任才艺表演的有 6 种情况 ,
所以 .
0.117 (1)由已知得 的方程为 ,
10
由已知可得 ,点 的坐标为 或 .
所以 的方程为或 ;
(2)当 与 轴重合时, ,
当 与 轴不重合也不垂直时,设的方程为,
当 ,直线的斜率之和为,
由 得
,
将 代入 ,得 ,
所以 .
则 ,
从而 ,故 的倾斜角互补,所以 ,
所以 .
0.118 (1)f(x) 的定义域为(0,+ ∞ ),f '(x)=+2ax+2a+1= .
若 a≥ 0则, 当 x∈(0,+∞)时,f '(x)>0, 故 f(x)在 (0,+ ∞单)调递增.
若 a<0,则当 x∈(0,- )时,f '(x)>0; 当 x∈(- ,+ ∞时) ,f '(x)<0. 故 f(x) 在(0,- )单调递增,在 (- ,+ ∞)
单调递减.
(2)由(1)知,当 a<0时,f(x) 在 x=- 取得最大值,最大值为f(- )=ln(- )-1- .
所以 f(x) ≤- -2 等价于 ln(- )-1- ≤- -2,即 ln(- )+ +1≤ 0.
设g(x)=ln x-x+1, 则 g'(x)= -1.
当 x∈(0,1)时,g'(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,g'(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+ ∞单)调递减.故
当 x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当 x>0时,g(x) ≤ 从0.而当 a<0时,ln(- )+ +1≤ 0,
即 f(x) ≤- -2.
0.119 (1)曲线C 的普通方程为+y

2
=1.
当 a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0,
11
由 解得 或
从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),(- , ).
(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0, 故 C 上的点 (3cos θ ,sin到 lθ的)距 离为d= .
当 a≥-4时,d 的最大值为.由题设得 ,所以 a=8;
当 a<-4时,d 的最大值为.由题设得 ,所以 a=-16.
综上 ,a=8 或 a=-16.
0.120 解:(1)由 f(x)=|x+1|+|2x-1|, 得
f(x)= 作出图象如图所示,
给合图象得不等式f(x) ≥ 的3 解集为(-∞,-1] ∪[1,+ ∞).
(2)易知 y=|x-a|=
当直线y=a-x 与直线y=2-x(- 1≤ x≤ )重合时,a=2;
当 y=x-a 经过点 ( , )时,a=-1.
数形结合可得 a 的取值范围为[-1,2].
12