2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷(一).doc

*绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷（一）本试卷共 9 页，满分 150 分。考生注意：1 答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：共 12 题 每题 5 分 共 60 分x1已知集合 P=x|1 x 3,Q=x|2 2那, 么 P(?RQ)=A.(1,3) B.1,3 C.1,+ ) D.?2已知 =b+i(a,b R),则a+b=A.-1 B.1 C.-2 D.23甲校有 3600 名学生 ,乙校有 5400 名学生 ,丙校有 1800 名学生 ,为统计三校学生的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为 90 人的样本 ,应在这三校分别抽取学生（）人 .A.30,30,30 B.30,45,15 C.20,30,10 D.30,50,104在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C: =1(ab0), 点 A 是椭圆C 的右顶点 ,点 B 为椭圆C 的上顶点 ,点 F(-c,0)是椭圆C 的左焦点 ,椭圆的长轴长为 4,且 BFAB,则c=A. -1 B. C.2 -2 D. +15设a,b 是非零向量 . “ab=|a|b| ”是 “ab”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6函数 f(x)=Asin( x+ )(A0, )0的,|部分|图f(|a|),则实数 a 的取值范围是A.(-1,1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(-2,2)10函数 f(x)=e|x-1|-e(x-1)2的大致图象为A. B.C. D.2 211在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,b cos Acos C=accos B,则角 B 的取值范围为A.( , ) B. , ) C. , ) D.( , 12已知过原点 O 的直线交双曲线 - =1(a0,b0) 的左、右两支分别于 A,B 两点 ,F 为双曲线的左焦点 ,若 4|AF| |BF|=|AB|2 2+2b ,则此双曲线的离心率为A. B. C.2 D.2二、填空题：共 4 题 每题 5 分 共20 分13已知函数 f(x)=x2f (2)+3x, 则 f (2)= .14已知在等差数列 a n中,an 的前 n 项和为 Sn,a1=1,S13=91,若 =6,则正整数 k= .15已知函数 f(x)=x(ex-e-x )-cos x 的定义域为 -3,3, 则不等式 f(x2+1)f(-2) 的解集为 .16已知 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 ,点 M 在边 AC 上,且 cosAMB=- ,BM= ,则ABM 的面积等于 .三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明 / 证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个考生都必须做答。第 22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题（ 60 分）17已知公比不为 1 的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,满足 S6= ,且 a2,a4,a3 成等差数列 .(1)求等比数列 an 的通项公式 ;(2)若数列 b n满足 bn=nan,求数列 b n 的前 n 项和 Tn.18如图,在三棱柱 ABC-A 1B1C1中,AB=BC=2,AB BC,B 1CBC,B 1AAB,B 1C=2 .(1)求证:BB 1AC;(2)求直线 AB 1 和平面 ABC 所成角的大小 .192018 年为我国改革开放 40 周年,某事业单位共有职工 600 人,其年龄与人数分布表如下 :年龄段人数 (单位:180 180 160 80人)约定:此单位 45 岁 59 岁为中年人 ,其余为青年人 ,现按照分层抽样抽取 30 人作为全市庆祝晚会的观众 .(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人 ?(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有 12人和 5 人不热衷关心民生大事 ,其余人热衷关心民生大事 .完成下列 22 列联表 ,并回答能否有 90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关 ? 不热衷关心民生 总计热衷关心民生大事 大事青年 123中年 5总计30(3)若从热衷关心民生大事的青年观众 (其中 1 人擅长歌舞,3 人擅长乐器)中,随机抽取 2 人上台表演节目,则抽出的 2 人能胜任的 2 人能胜任才艺表演的概率是多少?附参考数据与参考公式 :0.100 0.050 0.025 0.010 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 10.828.20设椭圆的右焦点为 ,过的直线与 交于 两点 ,点 的坐标为 .(1)当 与 轴垂直时,求直线的方程 ;(2)设为坐标原点 ,求 的值 .21 已知函数 f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x) 的单调性;(2)当 a1, 所以 P(?RQ)=x|x 1故.选C.0.102 B【解析】本题考查复数的基本运算以及复数相等的概念 ,考查考生对基础知识的掌握情况 .将等号两边同时乘以 i,然后利用复数相等列出方程组求解即可 ;也可直接利用复数的除法运算化简,然后利用复数相等列出方程组求解即可 .解法一 由已知可得 a+2i=(b+i)i, 即 a+2i=bi-1.由复数相等可得 所以 a+b=1.解法二 =2-ai=b+i, 由复数相等可得 解得 所以 a+b=1.0.103 B0.104 A【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,考查考生的运算求解能力.由 BF AB 及OBAF, 得到 |BO|2=|OF| |OA|,结合 a2=b2+c2 得到 的值,从而根据 a=2 得到 c 的值.2 2 2 2 2由题意得 A(a,0),B(0,b), 由 BF AB 及 OBAF,得|BO| =|OF| |OA|,即 b =ac,又 a =b +c ,所以ac=a2-c2,即 e2+e-1=0,解得 e= 或 e=- (舍去 ),又 a=2,所以 c= -1.0.105 A【解析】本题主要考查向量平行的概念和向量的数量积运算 ,意在考查考生分析问题、解决问题的能力.解题思路为按充分、必要条件的定义解题 .若 ab=|a|b|,则a与 b 的方向相同 ,所以 ab.若 ab,则ab=|a|b|,或 ab=-|a|b|,所以 “ab=|a|b| ”是“ab”的充分而不必要条件 ,选A.0.106 C【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的读图与识图能力、综合分析问题和解决问题的能力.由题中图象可知 A= ,又 ,所以函数 f(x) 的最小正周期 T=4 = , =2,结合题中图象可知 f( )= sin( + )=0所, 以 + =k(kZ),因为 | |0), a2 014q5m-1n-1=16 ,qm+n-2=16,m+n-2=4,m+n=6, =( ) (5+又 a1q a1q) (5+2 )= ,当且仅当 m=4,n=2 时等号成立 ,故选B.0.108 D【解析】本题主要考查立体几何中的动点问题 ,考查考生的空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力 .先根据题意证明CD平面 SAD,BC 平面 SAB, 得到对于给定的点P,PQ达到最短的条件 ,然后可以利用函数的有关知识求最值,也可以通过线面位置关系的有关证明及平面几何的有关知识求最值.因为底面 ABCD 为正方形,所以 CDAD,又 SA平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD, 所以 CDSA,又 SAAD=A, 所以 CD平面 SAD,同理BC平面 SAB.解法一 易知对于给定的点P,当且仅当 PQCD 时,PQ 达到最短 .设SP=t,t0, ,cosBSC= ,则PM= ,又 ? ? PQ=1- t,记2y=2(MP+ PQ) ? y= +1- t,2=1+t2- t, 移项平方得 (y-1+ t)2- (1+y)t+2y-y 2=0, 化简可得 t由方程有解可得 = (1+y)2-4 (2y-y 2) 0? 5y2-6y+1 0解得 y 1或 y (舍去 ),故 2MP+PQ=2y 2,故选D.解法二 如图,将四棱锥S-ABCD 补成长方体 STUV-ABCD,对于给定的点P,当且仅当 PQCD 时,PQ 达到最短 .过点P 作 PH平面 CDVU, 连接HQ,由 SA= ,BC=1, 得 SD=2,则cosSDA=cos HPQ= ,则PH=PQ cosHPQ= PQ,6则 2MP+PQ=2(MP+ PQ)=2(MP+PH),当且仅当 M,P,H 三点共线时 MP+PH 的值达到最小,易知此时 MP+PH=1, 即(2MP+PQ) min=2.0.109 A【解析】本题是函数与不等式的综合题 ,考查函数的单调性,考查运算求解能力、分类讨论思想、数形结合思想 . 根据分段函数的单调性,数形结合求解 .由题意知 ,f(x)= 作出函数 f(x) 的大致图象如图所示,由函数 f(x) 的图象可 2)f(|a|),得 2-a2|a|.当 a 0时,有 2-a2a,即(a+2)(a-1)-a,即(a-2)(a+1)0, 解得 -1a2,所以 -1a0.综上所述,得-2a1,所以 0 a1当; a0 时,有 2-a实数 a 的取值范围是 (-1,1).故选A.0.110 B【解析】先根据函数图象的平移变换可知 ,函数 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称,再利用特殊值 ,排除错误选项.设函数 g(x)=e|x|-ex2,则 g(-x)=e |x|-ex2=g(x), 所以 g(x)为偶函数 ,易知 f(x) 的图象可以看作是由 g(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到的 ,故 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称,排除 A,D, 又f(1)=e0-e (1-1)2=1,排除 C,故选B.0.111 B【解析】 本题主要考查同角三角函数的基本关系、 两角和的正切公式、 正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用等知识,考查考生的运算求解能力、分析问题与解决问题的能力 ,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.解法一 利用正弦定理、 同角三角函数的基本关系、 两角和的正切公式以及一元二次方程根的判别式进行求解 ;解法二 利用余弦定理进行求解 . 2cos Acos C=accos2B 及正弦定理 ,得 sin2Bcos Acos C=sin Asin Ccos 2B,即解法一 由 btan2B=tan Atan C, 所以 tan2B=-tan Atan(A+B), 即 tan2B=-tan A ,整理得tan2A-(tan 3B-tan B)tan A+tan 2B=0, 则关于 tan A 的一元二次方程根的判别式 =(tan3B-tanB)2-4tan2B 0又, ABC 为锐角三角形 ,所以得 (tan2B-3)(tan 2B+1) 0得, tan B ,所以 B.2 2 2 2解法二 由 bcos Acos C=accos B 及余弦定理 ,得 b =ac( ) ,即(b2+c2-a2) (b2+a2-c2)=(c2+a2-b2)2,即 b4-(a2-c2)2=b4+(c2+a2)2-2b2(c2+a2),化简得 a4+c4=b2(c2+a2),则cos B= ,当且仅当 a=c 时等号成立,又ABC 为锐角三角形,所以 Bf(-2) ? f(x +1)f(2), 可得 2f(-2) 的解集为 - ,-1)(1, .2+1)f(-2) 的解集为 - ,-1)(1, .2+1 3解, 得 - x-1 或 1x ,故不等式16.【解析】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形 ,考查综合分析问题、解决问题的能力 ,考查运算求解能力和应用意识 .首先根据正弦定理 ,结合 求出角 A,然后求出 AB 的长,利用余弦定理求出 AM 的长,最后结合三角形的面积公式求解即可 .8在ABC 中, ,则由正弦定理得 , , ,又 sin (A+C)=sin B 0,cos A= ,0A0, 故 f(x)在 (0,+ 单)调递增.若 a0; 当 x(- ,+ 时) ,f (x)0. 故 f(x) 在(0,- )单调递增,在 (- ,+ )单调递减.(2)由(1)知,当 a0; 当 x(1,+)时,g(x)0时,g(x) 从0.而当 a0时,ln(- )+ +1 0,即 f(x) - -2.0.119 (1)曲线C 的普通方程为+y2=1.当 a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0,11由 解得 或从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),(- , ).(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0, 故 C 上的点 (3cos ,sin到 l的)距 离为d= .当 a-4时,d 的最大值为.由题设得 ,所以 a=8;当 a-4时,d 的最大值为.由题设得 ,所以 a=-16.综上 ,a=8 或 a=-16.0.120 解:(1)由 f(x)=|x+1|+|2x-1|, 得f(x)= 作出图象如图所示,给合图象得不等式f(x) 的3 解集为(-,-1 1,+ ).(2)易知 y=|x-a|=当直线y=a-x 与直线y=2-x(- 1 x )重合时,a=2;当 y=x-a 经过点 ( , )时,a=-1.数形结合可得 a 的取值范围为-1,2.12