高等数学 第11章 微分方程习题详解.doc

第十一章 微分方程习题详解第十一章 微分方程习 题 1111判断下列方程是几阶微分方程？（1） （2）（3） （4）解 微分方程中所出现的未知函数导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶所以有：（1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程；（3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1），；（2），；（3），；（4），解 （1）将代入所给微分方程的左边，得左边右边，故是微分方程的解（2）将，代入所给微分方程的左边，得 左边右边，故是微分方程的解（3）将，代入微分方程的左边，得 左边（右边），故不是所给微分方程的解（4）对方程的两边关于求导，得 ，即 再对求导，得 ，即，故是所给微分方程的解3确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件（1）， ；（2），解 （1）将，代入微分方程，得 所以，所求函数为（2），将，分别代入和，得，所以，所求函数为4能否适当地选取常数，使函数成为方程的解解 因为，所以为使函数成为方程 的解，只须满足，即而，因此必有，即或，从而当，或时，函数均为方程的解5消去下列各式中的任意常数，写出相应的微分方程（1） （2） （3） （4）解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程（1）由两边对求导，得，代入原关系式，得所求的微分方程为（2）由两边对求导，得 ，即 而，故所求的微分方程为 ，化简得 （3）由两边对求导，得 ，两边再对求导，得，可得所求的微分方程为（4）由两边对求导，得，将代，并化简得，对上式两边再对求导，得，故所求的微分方程为习 题 1121求下列微分方程的通解或特解：（1） （2）（3） （4）（5）， （6），解 （1）分离变量，得，两端积分，得，即 ，所以原方程的通解为 注 该等式中的与等本应写为与等，去绝对值符号时会出现号；但这些号可认为含于最后答案的任意常数中去了，这样书写比较简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理（2）原方程分离变量，得 ，两端积分，得 ，即 ，故原方程的通解为 （3）原方程可化成 ，分离变量，得 ，两端积分，得，即 是原方程的通解（4）分离变量，得 ，两边积分，得 ，即 是原方程的通解（5）分离变量，得 ，两端积分，得 ，即 由定解条件，知 ，即，故所求特解为 ，即（6）将方程两边同除以，得 ，两端积分，得，积分后得 （其中），从而有，代入初始条件，得 因此，所求方程满足初始条件的特解为，即 2一曲线过点在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程解 设曲线的方程为，过点的切线与x轴和y轴的交点分别为及，则点就是该切线的中点于是有 ，即，且，分离变量后，有 ，积分得 ，即 由定解条件，有，故 为所求的曲线3一粒质量为20克的子弹以速度（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度（米/秒）离开木板若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k），问子弹穿过木板的时间解 依题意有 ，即 ，两端积分，得 （其中20克0.02千克），代入定解条件，得，故有 设子弹穿过木板的时间为秒，则，又已知时，米/秒，于是，从而，为此有 ，所以 （秒），故子弹穿过木板运动持续了（秒）4求下列齐次方程的通解或特解：（1） （2）（3） （4）（5）， （6）， 解 （1）原方程变形，得 ，令，即，有，则原方程可进一步化为 ，分离变量，得 ，两端积分得 ，即 ，将代入上式并整理，得原方程的通解为（2）原方程变形，得 ，即令，即，有，则原方程可进一步化为，即 ，两端积分，得 ，将代入并整理，得原方程的通解 （其中）（3）原方程变形，得，即，令，有，则原方程可进一步化为 ，即 ，两端积分，得 ，即 ，将代入上式并整理，得原方程的通解为 （4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以为变量的函数，故令，即，有，则原方程可化为 ，整理并分离变量，得 ，两端积分，得 ，即 将 代入并整理，得原方程的通解为 （5）原方程可化为 令，有，则原方程可进一步化为 ，即 ，两端积分，得 ，将代入，得 ，代入初始条件，得 因此，所求方程满足初始条件的特解为（6）原方程可写成 令，即，有，则原方程成为，分离变量，得 ，两端积分，得 ，即 ，代入并整理，得通解 由初始条件，得于是所求特解为5设有连结原点O和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围成图形的面积为，求曲线弧的方程解 设曲线弧的方程为，依题意有yxO11A(1,1)P(x, y)xyy，上式两端对x求导，即得微分方程，令，有，则微分方程可化为 ，即，积分得 ，因，故有 又因曲线过点，故于是得曲线弧的方程是6化下列方程为齐次方程，并求出通解：（1）； （2）解 （1）原方程可写成 ，令，解得交点为，作坐标平移变换，有 ，所以原方程可进一步化为 （）这是齐次方程设，则，于是（）式可化为，即 ，变量分离，得 ，两端积分，得 ，即 ，将代入，得原方程的通解为 （2）原方程可写成，该方程属于类型，一般可令令，有，则原方程可化为 ，即 ，积分得 ，将代入上式，得原方程的通解为 习 题 1131求下列微分方程的通解：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）解 （1） （2）原方程可化为，故通解为（3）原方程可化为，故通解为（4）所给方程的通解为 （5）方程可化为 ，即 ，故通解为 （6）2求下列微分方程的特解：（1），； （2），；（3），解 （1），代入初始条件，得故所求特解为 （2） ，代入初始条件，得，故所求特解为 ，即 （3） ，代入初始条件，得，故所求特解为 3求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于解 设曲线方程为，依题意有，即从而有 由，得故所求曲线的方程为 4设曲线积分在右半平面（）内与路径无关，其中可导，且，求解 依题意及曲线积分与路径无关的条件，有 ，即 记，即得微分方程及初始条件为 ，于是， 代入初始条件 ，得，从而有 5求下列伯努利方程的通解：（1） （2）（3） （4）解 （1）方程可以化为令，则，即代入方程，得，即 ，其通解为 ，所以原方程的通解为 （2）原方程化为 令，则，即代入方程，得，即 ，其通解为 所以原方程的通解为 （3）原方程化为 令，则，于是原方程化为，其通解为 ，所以原方程的通解为 （4）原方程化为 ，即令，则，则原方程化为，其通解为 ，所以原方程的通解为 ，或写成 习 题 1141求下列全微分方程的通解：（1） （2）（3） （4）解 （1）易知，因为，所以原给定的方程为全微分方程而 ，于是，所求方程的通解为 （2）易知，因为 ，所以原给定的方程为全微分方程而 ，于是，所求方程的通解为 （3）易知，因为 ，原方程为全微分方程将原方程的左端重新组合，得 ，于是，所求方程的通解为 （4）原方程可化为 ，易知，因为 ，原方程为全微分方程方程的左端重新组合，得 ，于是，所求方程的通解为 2用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：（1） （2）解 （1）用乘方程，便得到了全微分方程 ，将方程左端重新组合，得于是，通解为 （2）原方程可化为，即，用乘方程，便得到了全微分方程，于是，原方程的通解为 3用积分因子法解下列一阶线性方程：（1）； （2）解 （1）将原方程写成 ，此方程两端乘以后变成 ，即 ，两端积分，得 ，于是，原方程的通解为 （2）方程两端乘以，则方程变为 ，即 ，两端积分，得 ，于是，原方程的通解为 习 题 1151求下列微分方程的通解：（1）； （2）； （3）解（1）， （2）， ， （作为最后的结果，这里也可以直接写成）（3）令，则有，可知，从而有，再逐次积分，即得原方程的通解2求下列微分方程的通解： （1） （2）（3） （4）解 （1）令，则，且原方程化为 利用一阶线性方程的求解公式，得 即，再积分，得通解 （2）令，则，且原方程化为 ，分离变量，得 ，积分得 ，即 ，再积分，得通解 （3）令，则，且原方程化为 ，分离变量，得 ，积分得 ，故 ，再分离变量，得 由于，故上式两端积分，即，两边平方，得 （4）令，则，且原方程化为，即 若，则是原方程的解，但不是通解若，由于的连续性，必在的某区间有于是 ，分离变量，得 ，积分得 ，即，亦即 积分得 即 ，也可写成 由于当时，故前面所得的解也包含在这个通解之内3求下列初值问题的解： （1），；（2），；（3），；（4），解 （1）易知，由初值条件，知，得；由，知，得故特解为 （2）令，则，且原方程化为，变量分离，得 ，两端积分，得 再两端积分，得 由初值条件，有，解得，由初值条件，有 ，解得，故所给初值条件的微分方程的特解为 （3）令，则，且原方程化为 ，即，两端积分得代入初始条件，得 ，从而 ，即，亦即 分离变量后积分，即 ，得 ，代入初始条件，得于是，符合所给初值条件的特解为 ，即 （4）令，则，且原方程化为 ，分离变量，得 ，两端积分，得，代入初始条件，得 从而，即，再分离变量，得 ，即两端积分，得，代入初始条件，得，从而有满足所给初始条件的特解为 ，即，或写成 4试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线解 由于直线在处的切线斜率为，依题设知，所求积分曲线是初值问题 ，的解由，积分得，再积分，得 ，代入初始条件，解得 ，于是所求积分曲线的方程为 5对任意的，曲线上的点处的切线在轴上的截距等于，且存在二阶导数，求的表达式解 设曲线的方程为，其中有二阶导数，则在点处的切线方程为 ，令，知切线在轴上的截距为，据题意，有 ，即两端求导，得，即，已知，故有，令，则，且原方程化为 ，分离变量，得，两端积分，得 ，即再对两端积分，得 ，即习 题 1161下列函数组中，在定义的区间内，哪些是线性无关的（1）， （2），（3）， （4），解 （1）因为，满足：常数，所以函数组，是线性无关的（2）因为，满足：，所以函数组，是线性相关的（3）因为，满足：常数，所以函数组，是线性无关的（4）因为，满足：常数，所以函数组，是线性无关的2验证及都是方程的解，并写出该方程的通解 证明 由，得，； 由，得，可见， ，故及都是方程的解又因为常数，故与线性无关于是所给方程的通解为3验证及都是微分方程的解，并写出该方程的通解证明 由，得，；由，得，因为；，所以及都是方程的解又因为常数，故与线性无关，于是所给方程的通解为4若，都是方程 的特解，当，都是连续函数时，求此方程的通解解 因为，所以及都是方程对应齐次方程的特解又因为常数，所以与线性无关因此，所给方程的通解为习 题 1171求下列微分方程的通解（1） （2）（3） （4）（5） （6）解 （1）所给方程对应的特征方程为，解之，得，所以原方程的通解为（2）所给方程对应的特征方程为解之，得，所以原方程的通解为（3）所给方程对应的特征方程为解之，得 ，所以原方程的通解为（4）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，所以原方程的通解为（5）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，所以原方程的通解为（6）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，所以原方程的通解为2求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）；（2）；（3）；（4）解 （1）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，所以原方程的通解为 ，从而，代入初始条件，得 解得 故所求特解为 （2）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，所以原方程的通解为，从而，代入初始条件，得 解得， 故所求特解为 （3）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，所以原方程的通解为，从而，代入初始条件，得解得， 故所求特解为 （4）所给方程对应的特征方程为，解之，得 ，所以原方程的通解为 ，从而，代入初始条件，得解得 故所求特解为 3设圆柱形浮筒，直径为0.5米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2秒，求浮筒的质量解 设x轴的正向铅直向下，原点在水面处平衡状态下浮筒上一点A在水平面处，又设在时刻t，点A的位置为，此时它受到的恢复力的大小为（是浮筒的半径），恢复力的方向与位移方向相反，故有 ，其中m是浮筒的质量记，则得微分方程其对应的特征方程为，解得，故 ，由于振动周期，故，即 ，从中解出浮筒的质量为 （千克）习 题 1181求下列微分方程的特解的形式（不必求出待定系数）（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）解 （1）属于型（其中，），对应齐次方程的特征方程为易知，不是特征方程的根，所以特解的形式为 （这里A、B和C为待定系数）（2）属于型（其中，），对应齐次方程的特征方程为易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为 （这里A和B为待定系数）（3）属于型（其中，），对应齐次方程的特征方程为，易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式为 （其中A为待定系数）（4）属于型（其中，），对应齐次方程的特征方程为，易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为 （其中A为待定系数）（5）属于型（其中，），对应齐次方程的特征方程为，易知，是特征方程的一个单根，所以特解的形式为 （其中A和B为待定系数）（6）是型（其中，），对应齐次方程的特征方程为，易知，是不是特征方程的根，所以特解的形式为 （其中A、B和C为待定系数）（7）属于型（其中，）对应齐次方程的特征方程为，易知，不是特征方程的根，所以应设其特解为 （其中A、B为待定系数）（8）属于型（其中，）对应齐次方程的特征方程为，易知，是特征方程的根，所以应设其特解为 （其中A和B为待定系数）（9）由属于型（其中，），对应齐次方程的特征方程为，易知，不是特征方程的根，所以应设其特解为 （其中A、B、C和D为待定系数）（10）属于型（其中，）对应齐次方程的特征方程为，易知，是特征方程的根，所以应设其特解为（其中A、B、C和D为待定系数）2求下列各微分方程的通解（1） （2）（3） （4）解 （1）是型（其中，），对应齐次方程的特征方程为，解得 ，故对应齐次方程的通解为因为不是特征方程的根，所以特解的形式为，代入原方程得消去，有，即 ，故原方程的通解为（2）是型（其中，），对应齐次方程的特征方程为 ，解得 ，故对应齐次方程的通解为因为是特征方程的单根，所以特解的形式为，代入原方程并消去，得比较系数，得，即 ，故原方程的通解为（3）是型（其中，），对应齐次方程的特征方程为 ，解得 ，故对应齐次方程的通解为因为是特征方程的二重根，所以特解的形式为，代入原方程并消去，得比较系数，得，即 ，故原方程的通解为（4）原方程对应的齐次方程的特征方程为，解得，故对应齐次方程的通解为因，对应于方程，可设特解为；对应于方程（是特征方程的根）可设特解为，故由叠加原理，设原方程的特解为，代入原方程，得，比较系数，得，即 ，故原方程的通解为3已知函数所确定的曲线与轴相切于原点，且满足，试求 解 显然函数满足初值条件：，可解得方程的通解为由定解条件，有解得 所求的曲线为4设函数连续，且满足，求解 由于函数连续，故可导，从而有，于是，有初值问题：，可解得方程的通解为由定解条件，可解得，故所求的函数为习 题 1191对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术人数成正比，推广是无限的；（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低；（3）在（2）的前提下考虑广告媒体的传播作用解 设时刻采用新技术的人数为（1）指数模型：（2）Logistic模型：，为总人数（3）广告等媒介在早期作用比较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有（2）和（3）的区别见下图（3）（3）（2）（2）2侦察机搜索潜艇设t0时艇在O点，飞机在A点，OA6里此时艇潜入水中并沿着飞机不知道的某一方向以直线形式逃去，艇速20里/时，飞机以速度40里/小时按照待定的航线搜索潜艇，当且仅当飞到艇的正上方时才可发现它（1）以O点为原点建立极坐标系，A点位于的向径上，见右图分析图中由P、Q、R组成的小三角形，证明在有限时间内飞机一定可以搜索到潜艇的航线，是先从A点沿直线飞到某点，再从沿一条对数螺线飞行一周，而是一个圆周上的任一点给出对数螺线的表达式，并画出一条给出对数螺线的表达式，并画出一条航线的示意图；（2）为了使整条航线是光滑的，直线段应与对数螺线在点相切，找出这条光滑的航线；（3）在所有一定可以发现潜艇的航线中哪一条航线最短，长度是多少，光滑航线的长度又是多少？解 （1）证明 记飞机速度40里/小时，艇速20里/时设是所求航线上的一段，即当潜艇沿航行时飞机、潜艇在相遇（图1），那么当潜艇沿航行时，二者必在相遇，记弧长为，则，注意到，即可得到，这是一条对数螺线，是满足的任意一点的坐标，而位于以为圆心、半径为4里的圆周上飞机从沿直线飞至，再沿螺线飞行，最远飞行一圈至，总能发现潜艇（图2中实线为飞机航线，虚线为潜艇航线）图 2图 1（2）考察对数螺线上任一点的切线与该点的向径夹角（图3），有，对于，夹角，而螺线起始点所在的圆周上只有点使与的夹角也是（图4），所以沿的航线是光滑的图 36图 4（3）一定可以发现潜艇的航线是，直线段加上螺线一圈（图2）显然最短的航线是取点为（2，0），沿螺线飞行至点点的向径即为潜艇的航程，因为，故飞机最短航线的长度为里同理，光滑航线的长度为里如果计算螺线的长度，则需代入求积分复习题A1填空题（1）已知及是微分方程的解（其中、都是已知的连续函数）则该方程的通解为_；（2）若曲线过点，且曲线上任意一点处的切线的斜率为，则_；（3）微分方程的特解的形式为_；（4）若，都是微分方程的解（其中，都是已知的连续函数），则此微分方程的通解为_解 （1）因为与线性无关，所以所求通解为；（2）因为，所以 ，由定解条件，知，故有 （3）是型（其中，），对应齐次方程的特征方程为 易知，是特征方程的二重根，所以特解的形式为 （这里A和B为待定系数）（4）因为，都是对应齐次方程的解，并且线性无关，故对应齐次方程的通解为 ，取所给方程的一个特解为，于是所给方程的通解为 2选择题（1）函数(、为任意常数）是方程的（ ）（A）通解； （B）特解；（C）不是解； （D）是解，既不是通解，又不是特解（2）方程是（ ）（A）一阶线性齐次方程； （B）一阶线性非齐次方程；（C）齐次方程； （D）可分离变量的方程（3）下列微分方程中，具有特解，的三阶常系数齐次线性微分方程是（ ） （A） （B）（C） （D）（4）微分方程的一个特解应具有形式（式、为常数）（ ）（A） （B） （C） （D）解 （1）因为，它实际只含有一个任意常数，所以它既不是通解，又不是特解而满足所给方程，所以是所给方程的解应选（D）（2）方程可变形为 ，它是典型的齐次方程，故选（C）（3）由于，可知，是特征方程的二重根且于是所给方程对应的齐次方程的特征方程为 ，故所求的微分方程应为 本题应选（B）（4）原方程对应的齐次方程的特征方程的根为相对于方程，因，是特征方程的（单）根，故该方程的特解应形如又相对于方程，因，不是特征方程的根，故该方程的特解应形如按微分方程解的叠加原理，原方程的特解应形如 本题应选（B）3求下列微分方程的通解：（1） （2）（3） （4） （5） （6）解 （1）所给方程可以化为 ，令，则，方程就化成线性方程：其通解为 因此，原方程的通解为 （2）原方程可以化为 ，解此线性方程，有通解 （3）令，则，从而方程可化为 ，解得，故原方程的通解为 （4）原方程可化为 ，或，令，则，代入有，解得 故原方程的通解 （5）由于，故原方程可表示为，即 所以原方程的通解为 （6）原方程对应的齐次方程的特征方程为，有根，故对应齐次方程的通解为对于方程，因，其中是特征方程的（单）根，故可令其特解为，代入方程中并消去，得 ，比较系数得解得于是有对于方程，因，其中是特征方程的（单）根，故可令其特解为，代入方程中，得 ，比较系数得解得于是有根据线性方程解的叠加原理得原方程的特解，故原方程的通解为4求下列微分方程满足初值条件的特解：（1），；（2），；（3），；（4）,解 （1）所给方程可以化为，即令，则，即，代入上面的方程，有 ，解得此线性方程的通解为，即 由定解条件，可得，所求的特解为 ，即（2）令，则，代入原方程有 ，即，积分得，或，即 ，将初值条件代入上式，可得，从而有 ，再积分，得将初值条件代入上式，可得，故满足初值条件的特解为（3）令，代入原方程，得 ，即积分得将初值条件，代入上式，可解得从而有 ，即，分离变量，得 ，两端积分，得，或将初值条件代入上式，可解得，故满足初值条件的特解为 ，或（4）属于型（其中，）对应齐次方程的特征方程为，解得，对应齐次方程的通解为，因为不是特征方程的根，所以可设其特解为 从而有，代入原方程，得 ，即 ，比较系数，得 ，故 因此，原方程的通解为 ，从而，将初值条件,代入以上两式，得解得，于是满足初始条件的特解为 5设可导函数满足，求函数解 对所给的等式两边求导，得，即 ，且有故 由初值条件，有，故所求的特解为 6求下列欧拉方程的通解（1）； （2）解 （1）设，即，则有 ，代入方程，有，即 ，有通解 （2）设，即，则有 ，代入方程，有，即 ，对应齐次方程的通解为 ，由于自由项中，不是特征方程的根，故令特解为，代入方程后，求出故所给方程的通解为 复习题B1填空题（1）微分方程的通解为_；（2）微分方程的通解为_；（3）设（、为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该微分方程为_；（4）过点且满足关系式的曲线方程为_解 （1）此方程对应的齐次方程的特征方程为，其根为又因自由项，是特征方程的单根，故令是原方程的特解，代入原方程可得，于是原方程的通解为 （2）原方程可变形为 ，两端积分，得 ，即 ，故所给方程的通解为 ，（其中）（3）由所给通解的表达式知，是所求微分方程的特征方程的根，于是特征方程为，故所求微分方程为 （4）将所给关系式改写成 ，由一阶线性微分方程的通解公式，得，即 ，代入初始条件，得，故所求曲线的方程为 2选择题（1）设线性无关的函数，都是二阶非齐次方程的解，、为任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）（2）设是微分方程的解，且，则在（ ） （A）的某邻域内单调增加； （B）的某邻域内单调减少；（C）处取得极小值； （D）处取得极大值（3）设曲线积分与积分路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则等于（ ）（A） （B）（C） （D）解 （1）因与是对应的齐次方程的解，且由，线性无关可推知与线性无关，而是非齐次方程的特解，故 是非齐次方程的通解所以本题应选（D）（2）因，即是的驻点，又因为是微分方程的解，故有 这说明是的极小值点，所以本题应选（C）（3）由曲线积分与路径无关的充要条件，可得微分方程 ，其通解为由可得，于是，故本题应选（B）3求微分方程满足初始条件的特解解法一 用伯努利方程的解法，将原方程化为 ，令，则，且原方程可化为 ，解得 ，即原方程的通解为由，得，故所求特解为 解法二 将原方程化为，即令，即，则，原方程进一步化为 分离变量后积分 得 代入，得原方程的通解为 由，得，故所求特解为 ，即 4设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解解 将代入原方程，可得 ，即于是，原方程可化为，当时，消去得，于是，通解 由初始条件，得，即，故所求特解为 5设，其中为连续函数，求解 因，代入，得，且 ，即，代入，得又记，则有初值问题 上述微分方程对应的齐次方程的特征方程有根，而自由项为 ，故，而是特征方程的根，从而可令原方程的一个特解为 ，代入微分方程并比较系数，得，即于是得通解 ，且由，得 即故 6求微分方程的通解，其中为实数解 原方程对应的齐次方程的特征方程为，解得，故齐次方程的通解为对于自由项，当时，可令原方程的一个特解为 ，代入原方程，可得，即；当时，可令原方程的一个特解为，代入原方程，可得，即故原方程的通解为 yOxAB117设物体A从点出发，以常速率沿轴正向运动，物体B从点与A同时出发，其速率为，方向始终指向A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件解 设物体B的运动轨迹的方程为 ，且在时刻t，物体B位于点处，此时物体A位于点按题意，则如右图所示，有，即 （1）又此刻，物体B从点行至的路程为 （2）由（1）式与（2）式消去，得两端对x求导，得 ，即 初始条件为 ，8在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群的总人数为N，在时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻已掌握新技术的人数为（将视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数，求解 根据题意，可得初值问题 ，分离变量得，两端分别从到和从0到积分，得初值问题的解：，左端为，由 解得 43