浙江农林大学环路定理电势电势梯度习题.doc

四 计算题
1、两点电荷=1.5×10-8C，=3.0×10-8C，相距=42cm，要把它们之间的距离变为=25cm，需作多少功 （填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）
A、-6.55×10-6 J B、-4.55×10-6 J C、-6.55×10-4 J D、-8.55×10-6 J
答案：A

解:

外力需作的功

2、 如图所示，在，两点处放有电量分别为+,-的点电荷，间距离为2，现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点，求移动过程中电场力作的功 ．
A、-6.55×10-6 J B、-4.55×10-6 J C、-6.55×10-4 J D、-8.55×10-6 J
答案：A

解: 如图所示

∴

3、如图所示，有三个点电荷、、沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且＝＝Q 。求在固定、的情况下，将从点O移到无穷远处外力所作的功 ．
A、 B、
C、 D、
答案：A

解 由题意所受合力为零，即

解得

将从点O移到无穷远处外力所作的功，等于电荷在点O的电势能。由电势叠加原理，和在点O产生的电势为

因此，外力所作的功为

4、如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于．试求环中心点处的场强 ．和电势 ．

A、 B、
C、 D、
答案：A , C

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，和段电荷在点产生的场强互相抵消，取，则产生点如图，由于对称性，点场强沿轴负方向

［］

(2) 电荷在点产生电势，以

同理产生
半圆环产生
∴

5、 有一电荷面密度为s的“无限大”均匀带电平面．若以该平面处为电势零点，试求带电平面周围空间的电势分布在x≤0区域 在x≥0区域 ．
A、 B、
C、 D、
答案：A , C

解：选坐标原点在带电平面所在处，x轴垂直于平面．由高斯定理可得场强分布为
E=±s / (2e0)
(式中“＋”对x＞0区域，“－”对x＜0区域) . 平面外任意点x处电势：
在x≤0区域

在x≥0区域

6、电荷q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点) ．
A、 B、
C、 D、
答案：A

解：设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．细杆的电荷线密度l＝q / (2l)，在x处取电荷元dq = ldx＝qdx / (2l)，它在P点产生的电势为

整个杆上电荷在P点产生的电势

7、 两个半径分别为和（＜)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+，试计算：
(1)外球壳上的球壳内表面带电电荷 外表面带电 电势 ；
A、 B、
C、 D、0
答案：A, B, C

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的球壳内表面带电电
荷 外表面带电 电势 .
A、 B、
C、 D、0
答案：A, B, D

解: (1)内球带电；球壳内表面带电则为,外表面带电为，且均匀分布，其电势

题8-23图

(2)外壳接地时，外表面电荷入地，外表面不带电，内表面电荷仍为．所以球壳电势由内球与内表面产生：

8、如图所示，两均匀带电薄球壳同心放置，半径分别为R1和 R2 （R1< R2），已知内外球壳间的电势差为，求两球壳间的电场分布 方向 。

A、 B、
C、 D、0
答案：A, 方向沿径向

解 设内球壳带电量为q，则内外球壳间的场强可表示为

则两球壳间的电势差为

解出并代入的表达式，得两球壳间的电场分布为

方向沿径向。

9、两个很长的共轴圆柱面（），带有等量的异号电荷，两者的电势差为450V。求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷 .（2）两圆柱面之间的电场强度 。
A、 B、
C、 D、
答案：A, 方向沿径向

解 （1）设单位长度的圆柱面带电荷为。两圆柱面之间的电场为

根据电势差的定义，有

解得

（2）两圆柱面之间的电场强度为
V

10、如图，有一薄金属环，其内外半径分别为和，圆环均匀带电，电荷面密度为。（1）计算通过环心垂直于环面的轴线上一点的电势 ；（2）若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环，要使质子能穿过圆环，它的初速度至少应为

A、 B、
C、 D、
答案：A, C

解 （1）把金属环分割成很多半径为，宽度为的细圆环，其所带电荷为

它在轴线上产生的电势（无限远处为电势零点）为

金属环的电势等于这些同心轴圆环电势的叠加，即

（2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能，质子的初速率应满足

即

11、两个同心球面半径分别为和，各自带有电荷和。（1）由电势叠加求各区域电势分布： ： ： ；（2）两球面间的电势差为多少？
Q1
Q2

A、 B、
C、 D、
答案：A, B,C, D

解 （1）半径为，电荷为的均匀带电球面内（）各点的电势相等，都等于球面上各点的电势，即

而带电球面外（）的电势为

由电势叠加原理，电场内某点的电势等于两个带电球面单独存在时在该点电势的代数和。因此
：场点处于两个球面的内部，电势为

：场点处于两个球面之间

：场点位于两个球面之外

（2）两个球面间的电势差为

12、在面上倒扣着半径为的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷面密为。A点的坐标为，B点的坐标为，求电势差 。

A、 B、
C、 D、
答案：B

解 假设将半球面扩展为电荷面密度相同的完整球面，此时在A、B两点的电势分别为

由电势叠加原理，半球面在A、B两点的电势等于完整球面电势的一半。因此，半球面在A、B两点的电势差为

13、 如图3.21所示，已知长为，均匀带电（电量为）的细棒，求z轴上的一点P(0,a)的电势 及场强的z轴分量 （要求用求场强）。

A、 B、
C、 D、
答案：A, C

解 用电势的定义求P点的电势，即

对于轴上的点P(0 , z)，其电势为

场强的z轴分量为

一、判断题
1、静电场力做功与路径有关。
错误

分析：，静电场力做功与路径无关,只与起点与终点的位置有关

2. 电场是标量场，电势是矢量场。
错误

分析：电场是矢量, 电势是标量场。

3、静电场是保守场。
正确

分析：静电场力做功与路径无关，静电场是保守场。

4、电场的方向指向电势降落的方向。
正确

分析：如果设无限远处为零势能点，则一点的电势为，电势在数值上等于把单位正试验电荷从点A移到无限远处，静电场力所做的功。从电势的定义可以判断电势沿着电场的方向下降。

5、电场力做正功电势能减少。
正确

6、电场中有两点电势相等，则在该两点间电场强度处处为零。
错误

分析：由，不能得到。最简单的例子就是匀强电场中的等势面。

7.1. 电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负。
错误

分析：电势值的正负取决于电势零点的选择。

7.2. 电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负。
错误

分析：电势值的正负取决于电势零点的选择。

8.1 电场强度为零的点，电势不一定为零
正确

分析：两个等量正电荷连线的正中间点处，电场强度为零，但电势不为零。

8.2 电势为零的点，电场强度也一定为零
错误

分析：零电势点是人为选定的，因此不能得出电势为零的点，电场强度一定为零的结论。

三 填空题：
1、 在电场分布为的静电场中，任意两点a和b间的电势差的表示式为Ua－Ub＝ ____________。

分析：答案为。这是电势差的公式。

2、E
A
B
d
图4.7
a
如图所示，在场强为E的均匀电场中，A、B两点间距离为d，AB连线方向与E的夹角为a. 从A点经任意路径到B点的场强线积分= .
答案：Ed cosα

分析：的值与路径无关，至于除末位置有关，因此可以选取几分路径沿直线从A至B，即

3、电量分别为的三个点电荷分别位于同一个圆周的三个点上，如图所示，设无穷远处为电势零点，圆半径为R，则b点处的点势U=______________。
答案：(√2 q1+q2+√2 q3)/(8πε0R)

分析：答案为。b点处的点势

4、 一点电荷q＝10-9 C，A、B、C三点分别距离该点电荷10 cm、20 cm、30 cm．若选B点的电势为零，则A点的电势为______________，C点的电势为________________．
(真空介电常量e0＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2)
答案：45 V, －15 V

分析：答案依次为45 V、－15 V。
选B点的电势为零，

5、一半径为R的均匀带电圆环，电荷线密度为l． 设无穷远处为电势零点，则圆环中心O点的电势U＝______________________．
答案：l / (2e0)

分析：答案为l / (2e0) ，计算表达式为

6、 在点电荷q的电场中，把一个－1.0×10-9 C的电荷，从无限远处(设无限远处电势为零)移到离该点电荷距离 0.1 m处，克服电场力作功1.8×10-5 J，则该点电荷q＝________________．(真空介电常量e0＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2 )
答案：-2×10-7 C

7、 真空中电荷分别为q1和q2的两个点电荷，当它们相距为r时，该电荷系统的相互作用电势能W＝________________．(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)
+q
-q
C
D
B
R
·
O
A
·
如图所示, BCD是以O点为圆心,以R为半径的
半圆弧,在A点有一电量为-q的点电荷,O点
有一电量为+q的点电荷. 线段= R.
现将一单位正电荷从B点沿半圆弧轨道BCD移到D点，则电场力所作的功为 .
答案：-q2/(6πε0R)

分析：答案为 , 电场力是保守力，做功的大小与路径无关，它在数值上等于电势能的改变量。

8、一静止的质子，在静电场中通过电势差为100V的区域被加速，则此质子的末速度是_____________。（1eV＝，质子质量）
答案：1.38×105 m/s

分析：答案为，根据已知可得，

9、如图所示，一等边三角形边长为a，三个顶点上分别放置着电量为q、2q、3q的三个正点电荷，设无穷远处为电势零点，则三角形中心O处的电势UO=___________________。
答案：3√3 q/(2π ε0 a)

分析：答案为。根据几何关系，可以得到O点到三个正电电荷的距离均为。再由电势叠加原理，

10、一半径为R的均匀带电细圆环，带电量Q，水平放置，在圆环轴线的上方离圆心R处，有一质量为m、带电量为q的小球，当小球从静止下落到圆心位置时，它的速度为v=______________。
答案：[2gR-(1-1/√2)Qq/(2πmε0R)]2

分析：答案为
引起小球动能改变的原因有两个，一是本身重力做功，另一个原因是静电场力做功，这两个力均为保守力，做功的大小与路径无关。

即

二、选择题
1、一电量为-q的点电荷位于圆心O处，A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图所示，现将一试验电荷从A点分别移动到B、C、D各点，则：
A、从A到B，电场力作功最大
B、从A到C，电场力作功最大
C、从A到D，电场力作功最大
D、从A到各点，电场力作功相等。
答案：D

分析：答案为（D），圆周上各点电势相等，因此A到各点，电场力作功相等，且均为零。

2、真空中有一点电荷Q，在与它相距为r的a点处有一试验电荷q。现使试验电荷q从a点沿半圆弧轨道运动到b点，如图所示．则电场力对q作功为
A、 B、 C、 D、0．
答案：D

分析：答案为（D）。圆周上各点电势相等，因此A到各点，电场力作功相等，且均为零。

3、在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点 ， 则M点的电势为
A、． B、．
C、 ． D、．
答案：D

分析：答案为（D），
4、一半径为R的均匀带电球面，带有电荷Q．若规定该球面上的电势值为零，则无限远处的电势将等于
A、． B、0． C、． D、∞．
答案：C

分析：答案为（C），

5、有四个等量点电荷在OXY平面上的四种不同组态，所有点电荷均与原点等距。设无穷远处电势为零，则原点O处电场强度和电势均为零的组态是：

答案：D

分析：答案为（D），电场是矢量，电势是标量。根据电场的矢量叠加原理，满足在中心O处的场强值为零的只有D选项，依据电势叠加原理，A，B，C，D选项在O点的电势均为零。

6、如图所示，边长为l的正方形，在其四个顶点上各放有等量的点电荷．若正方形中心O处的场强值和电势值都不等于零，则：
A、顶点a、b、c、d处都是正电荷．
B、顶点a、b、c处是正电荷，d处是负电荷．
C、顶点a、b处是正电荷，c、d处是负电荷．
D、顶点a、b、c、d处都是负电荷．
答案：B

分析：答案为（B），电场是矢量，电势是标量。分析A 、D选项，在中心O处的场强值为零，而根据C选项的电荷分布，依据电势叠加原理，中心O处的电势值为零，只有B满足题设条件。

7、图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出：
A、EA＞EB＞EC，UA＞UB＞UC．
B、EA＜EB＜EC，UA＜UB＜UC．
C、EA＞EB＞EC，UA＜UB＜UC．
D、EA＜EB＜EC，UA＞UB＞UC．
答案：D

分析：答案为（D）。从电场线的疏密程度可以看出，EA＜EB＜EC ；电势沿着电场线的方向下降，因此UA＞UB＞UC。

8、 如图所示，半径为R的均匀带电球面，总电量为Q，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的P点处的电场强度的大小和电势为：
r
Q
O
R
P
·
A、E = 0 , U = Q/4pe0R .
B、 E = 0 , U = Q/4pe0r .
C、 E = Q/4pe0r2 , U = Q/4pe0r .
D、E = Q/4pe0r2 , U = Q/4pe0R .
答案：A

分析：答案为（A）。根据高斯定理可以判断，内部场强为零，也即内部电势不变，因此P点处场强为零，电势等于球面上的电势。

9、 如图所示,两个同心的均匀带电球面,内球面半径为R1,带电量Q1,外球面半径为R2，带电量为Q2.设无穷远处为电势零点,则在两个球面之间,距中心为r处的P点的电势为：
Q1
Q2
R1
R2
P
O
·
r
A、.
B、.
C、.
D、.
答案：C

分析：答案为（C）。根据电势叠加原理，P点的电势等于带电球面各自单独存在时在P产生的电势值之和。带电量Q1的均匀带电球在P点产生的电势为，带电量为Q2 的均匀带电球在P点单独产生的电势大小等于其球面上的电势，即。

l
-q
l
+q
F
E
C
A
B
D

l
l
·
·
10、如图所示，CDEF为一矩形，边长分别为l和2l，在DC延长线上CA=l处的A点有点电荷+q，在CF的中点B点有点电荷-q，若使单位正电荷从C点沿CDEF路径运动到F点，则电场力所作的功等于：
A、. B、.
C、. D、.
答案：D

分析：答案为（D）。电场力做功的大小与路径无关，在数值上它等于电势能的改变量。

11、在均匀电场中各点，下列诸物理量中：(1)电场强度；(2)电势；(3)电势梯度.相等的物理量是？
A、 (1) (3)；
B、 (1) (2)；
C、 (2) (3)；
D、 (1) (2) (3).
答案：A

分析：答案为（A），电势沿着电场线的方向下降，均匀电场中，各点电场强度都一样，电场强度E等于电势梯度的负值，因此均匀中电场各点的电势梯度也相同。