资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，⊙O的圆周角∠A =40°，则∠OBC的度数为（ ）
A．80° B．50° C．40° D．30°
2．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则cosB的值为( )
A． B． C． D．1
3．一元二次方程的一次项系数和常数项依次是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为 1.6 m，并测得BC=2.2 m ，CA=0.8 m, 那么树DB的高度是（ ）
A．6 m B．5.6 m C．5.4 m D．4.4 m
6．截止到2018年底,过去五年我国农村贫困人口脱贫人数约为7 000万,脱贫攻坚取得阶段性胜利,这里“7 000万”用科学记数法表示为( )
A．7×103 B．7×108 C．7×107 D．0.7×108
7．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．函数在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．若函数其几对对应值如下表，则方程（，，为常数）根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
10．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=4，那么AB的长为________．
12．如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点、、分别是、、的中点，连接，，则的最小值为_____．
13．二次函数y＝x2－2x＋2图像的顶点坐标是______．
14．在△ABC和△A'B'C'中，＝＝＝，△ABC的周长是20cm，则△A'B'C的周长是_____．
15．一个直角三角形的两直角边长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____cm1．
16．小刚要测量一旗杆的高度，他发现旗杆的影子恰好落在一栋楼上，如图，此时测得地面上的影长为8米，楼面上的影长为2米．同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则旗杆的高度为_______米．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，AB＝5，则cosB的值为__________．
18．当a=____时，关于x的方程式为一元二次方程
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=， AC=3，求CD的长．
20．（6分）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
21．（6分）画出抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5的图象（要求列表，描点），回答下列问题：
（1）写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）当y随x的增大而增大时，写出x的取值范围；
（3）若抛物线与x轴的左交点（x1，0）满足n≤x1≤n+1，（n为整数），试写出n的值．
22．（8分）如图，已知双曲线与直线交于点和点
（1）求双曲线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（点C不与A，B重合），连接CA，CB．∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D．
（1）求∠ACD的度数；
（2）探究CA，CB，CD三者之间的等量关系，并证明；
（3）E为⊙O外一点，满足ED＝BD，AB＝5，AE＝3，若点P为AE中点，求PO的长．
24．（8分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”. 如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为点，像这样的三角形均为“中垂三角形. 设.
（1）如图1，当时，则_________，__________；
（2）如图2，当时，则_________，__________；
归纳证明
（3）请观察（1）（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（4）如图4，在中，分别是的中点，且. 若，，求的长.
25．（10分）我区某校组织了一次“诗词大会”，张老师为了选拔本班学生参加，对本班全体学生诗词的掌握情况进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）全班学生共有 人；
（2）扇形统计图中，B类占的百分比为 %，C类占的百分比为 %；
（3）将上面的条形统计图补充完整；
（4）小明被选中参加了比赛．比赛中有一道必答题是：从下表所示的九宫格中选取七个字组成一句诗，其答案为“便引诗情到碧霄”．小明回答该问题时，对第四个字是选“情”还是选“青”，第七个字是选“霄”还是选“宵”，都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小明回答正确的概率．
情
到
碧
霄
诗
青
引
宵
便
26．（10分）如图，已知，，，，．
（1）求和的大小；
（2）求的长
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】然后根据圆周角定理即可得到∠OBC的度数，由OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，根据三角形内角和定理计算出∠OBC．
【详解】∵∠A=40°．
∴∠BOC=80°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=50°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．
2、B
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据余弦的定义求解即可.
【详解】∵AC=2，BC=2，
∴AB=，
∴cosB=.
故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.
3、B
【解析】根据一元二次方程的一般形式进行选择．
【详解】解：2x2-x=1，
移项得：2x2-x-1=0，
一次项系数是-1，常数项是-1．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b分别叫二次项系数，一次项系数．
4、D
【分析】根据各象限内点的坐标特征进行判断即可得.
【详解】因
则点位于第四象限
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系象限的性质，象限的符号规律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，熟记象限的性质是解题关键.
5、A
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．
【详解】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，
∴EC∥BD，∠ACE=∠ABD=90°，
在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A=∠A，∠ACE=∠ABD=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ABD，
∴，即
，解得BD=6m．
故选A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．
6、C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】将数据7 000万用科学记数法表示为．
故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
7、B
【分析】直接得出朝上面的数字大于4的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴共有6种情况，其中朝上面的数字大于4的情况有2种，
∴朝上一面的数字是朝上面的数字大于4的概率为：，
故选：B．
【点睛】
本题考查简单的概率求法，概率=所求情况数与总情况数的比；熟练掌握概率公式是解题关键．
8、C
【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0，
但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．
故选C．
9、C
【分析】先根据表格得出二次函数的图象与x轴的交点个数，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可得出答案．
【详解】由表格可得，二次函数的图象与x轴有2个交点
则其对应的一元二次方程根的个数为2
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系，掌握理解二次函数的图象特点是解题关键．
10、B
【解析】分析：直接利用弧长公式计算得出答案．
详解：的展直长度为：=6π（m）．
故选B．
点睛：此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、6
【分析】根据题意cosB=,得到AB= ,代入计算即可.
【详解】解：Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，可知cosB=得到AB= ，又知BC=4，代入得到AB=
故填6.
【点睛】
本题考查解直角三角形相关，根据锐角三角函数进行分析求解.
12、
【分析】连接，交对称轴于点，先通过解方程，得，，通过，得，于是利用勾股定理可得到的长；再根据三角形中位线性质得，，所以；由点在抛物线对称轴上，、两点为抛物线与轴的交点，得；利用两点之间线段最短得到此时的值最小，其最小值为的长，从而得到的最小值．
【详解】如图，连接，交对称轴于点，则此时最小．
∵ 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
∴当时，，解得：，，即，，
当时，，即，
∴，
∴，
∵ 点、、分别是、、的中点，
∴ ，，
∴，
∵点在抛物线对称轴上，、两点为抛物线与轴的交点，
∴，
∴，
∴此时的值最小，其最小值为，
∴的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与轴的交点以及利用轴对称求最短路线，用到了三角形中位线性质和勾股定理．正确得出点位置，以及由抛物线的对称性得出是解题关键．
13、（1，1）
【解析】分析：把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
详解：∵
∴顶点坐标为(1,1).
故答案为：(1,1).
点睛：考查二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键.
14、30cm．
【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】 ，
的周长:的周长=2：3
的周长为20cm，
的周长为30cm，
故答案为：30cm．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
15、
【分析】本题可利用三角形面积×底×高，直接列式求解．
【详解】∵直角三角形两直角边可作为三角形面积公式中的底和高，
∴该直角三角形面积．
故填：．
【点睛】
本题考查三角形面积公式以及二次根式的运算，难度较低，注意计算仔细即可．
16、1
【分析】直接利用已知构造三角形，利用同一时刻，实际物体与影长成比例进而得出答案．
【详解】如图所示：由题意可得，DE＝2米，
BE＝CD＝8米，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴，
解得：AB＝4，
故旗杆的高度AC为1米．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，正确构造三角形是解题关键．
17、
【分析】先根据勾股定理求的BC的长，再根据余弦的定义即可求得结果.
【详解】由题意得
则
故答案为：
点睛：勾股定理的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
18、≠±1
【分析】方程是一元二次方程的条件是二次项次数不等于0，据此即可求得a的范围．
【详解】根据题意得：a1-4≠0，
解得：a≠±1．
故答案是：≠±1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（1）CD=1.
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（1）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC；
（1）∵△BDC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴CD=1．
【点睛】
考核知识点：相似三角形的判定和性质.
20、（1）购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元；（2）这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．
【详解】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，
由题意得，，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，
由题意得，60a+28（30﹣a）≤1480，
解得：a≤20，
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
21、列表画图见解析；（1）开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，5）；（2）x＜1；（1）n＝﹣1
【分析】根据二次函数图象的画法，先列表，然后描点、连线即可画出该抛物线的图象；
（1）根据画出的抛物线的图象，可以写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）根据函数图象，可以写出当y随x的增大而增大时，x的取值范围；
（1）令y＝0求出相应的x的值，即可得到x1的值，然后根据n≤x1≤n+1，（n为整数），即可得到n的值．
【详解】解：列表：
描点、连线
（1）由图象可知，
该抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，5）；
（2）由图象可知，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x＜1；
（1）当y＝0时，
0＝﹣（x﹣1）2+5，
解得，，，
则该抛物线与x轴的左交点为（+1，0），
∵﹣1＜+1＜﹣2，n≤x1≤n+1，（n为整数），
∴n＝﹣1．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
22、（1）；（2）或
【分析】（1）将点A坐标代入双曲线解析式即可得出k的值，从而求出双曲线的解析式；
（2）求出B点坐标，利用图象即可得解．
【详解】解：（1）∵双曲线经过点，.
∴双曲线的解析式为
（2）由双曲线解析式可得出B(-4，-1)，结合图象可得出，
不等式的解集是：或．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是从图象中得出相关信息．
23、（1）∠ACD＝45°；（2）BC+AC＝CD，见解析；（3）OP＝．
【分析】（1）由圆周角的定义可求∠ACB＝90°，再由角平分线的定义得到∠ACD＝45°；
（2）连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；先证明△BGF是等腰直角三角形，得到BG＝BF，AG＝BF，再证明△CDF是等腰三角三角形，得到CF＝CD，即可求得BC+AC＝CD；
（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；先证明Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），再证明△AED是等腰三角形，分别求得EN＝，BN＝，在Rt△EBN中，BE＝，OP＝BN＝．
【详解】解：（1）∵AB是直径，点C在圆上，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D，
∴∠ACD＝45°；
（2）BC+AC＝CD，
连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；
∴∠CDG＝∠CBG＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥BG，
∴∠CGB＝∠ACG，
∴∠CGB＝45°+∠DCG，
∵∠CBF＝90°+∠DCG，
∴∠BGF＝45°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG＝BF，
∵△ACO≌△BGO（SAS），
∴AG＝BF，
∵△CDF是等腰三角三角形，
∴CF＝CD，
∴BC+AC＝CD；
（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；
∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴AD＝BD，
∵AB＝5，
∴BD＝AD＝，
∵∠MAD＝∠BDN，
∴Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），
∴AM＝DN，MD＝BN，
∵ED＝BD，
∴△AED是等腰三角形，
∵AE＝3，
∴AM＝，DM＝，
∴EN＝，BN＝，
在Rt△EBN中，BE＝，
∵P是AE的中点，O是AB的中点，
∴OP＝BN，
∴OP＝．
【点睛】
本题是一道关于圆的综合题目，考查了等腰三角形的性质、圆周角定义、角平分线、全等三角形的判定及性质，勾股定理等多个知识点，根据题目作出适合的辅助线是解此题的关键．
24、（1） ，；（2），；（3），证明见解析；（4）
【分析】（1）根据三角形的中位线得出；，进而得到计算即可得出答案；
（2）连接EF，中位线的性质以及求出AP、BP、EP和FP的长度再根据勾股定理求出AE和BF的长度即可得出答案；
（3）连接EF，根据中位线的性质得出，根据勾股定理求出AE与AP和EP的关系以及BF与BP和FP的关系，即可得出答案；
（4）取的中点，连接，结合题目求出四边形是平行四边形得出AP＝FP即可得到是“中垂三角形”，根据第三问得出的结论代入，即可得出答案(连接，交于点，证明求得是的中线，进而得出是“中垂三角形”，再结合第三问得出的结论计算即可得出答案).
【详解】解：（1）∵是的中线，∴是的中位线，
∴，且，易得.
∵，
∴，∴.
由勾股定理，得，
∴.
（2）如图2，连结.
∵是的中线，
∴是的中位线，
∴，且，易得.
. ∵，
∴，
∴.
由勾股定理，得，
∴.
（3）之间的关系是.
证明如下：如图3，连结.
∵是的中线，
∴是的中位线.
∴，且，
易得.
在和中，
∵，，
∴.
∴.
∴，
即.
（4）解法1：设的交点为. 如图4，取的中点，连接.
∵分别是的中点，是的中点，
∴.
又∵，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是“中垂三角形”，
∴，即，
解得.
（另：连接，交于点，易得是“中垂三角形”，解法类似于解法1，如图5）
解法2：如图6，连接，延长交的延长线于点.
在中，∵分别是的中点，
∴.
∵，
∴.
又∵四边形为平行四边形，
∴，
易得，
∴，
∴，
∴是的中线，
∴是“中垂三角形”，
∴.
∵，
∴.
∴，
解得.
∵是的中位线，
∴.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，注意类比思想在本题中的应用，第四问方法一得出是解决本题的关键.
25、（1）40；（2）60，15；（3）补全条形统计图见解析；（4）小明回答正确的概率是．
【分析】（1）根据统计图可知，10人占全班人数的，据此求解；
（2）根据（1）中所求，容易得C类占的百分比，用1减去两类的百分比即可求得类百分比；
（3）根据题意，画出树状图，根据概率公式即可求得.
【详解】（1）全班学生总人数为10÷25%＝40（人）；
故答案为：40；
（2）B类占的百分比为：×100%＝60%；
C类占的百分比为1﹣25%﹣60%＝15%；
故答案为：60，15；
（3）C类的人数40×15%＝6（人），补全图形如下：
（4）根据题意画图如下：
由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，
所以小明回答正确的概率是．
【点睛】
本题考查统计图表的中数据的计算，以及树状图的绘制，涉及利用概率公式求随机事件的概率，属综合基础题.
26、（1），；（2）4cm
【分析】（1）由题意根据相似三角形的性质以及三角形内角和为180°，分别进行分析计算即可；
（2）根据相似三角形的性质即对应边的比相等列出比例式，代入相关线段长度进行分析计算即可得出答案.
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，.
（2）,
∴，
∵，，，
∴,
∴.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边的比相等以及对应角相等是解题的关键．
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