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傅里叶变换与拉普拉斯变换区别演讲稿
傅里叶变换
一、傅里叶变换的表述
在数学上，对任意函数f（x），可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。
信号分析与处理中常见的有cfs（连续时间傅里叶级数）、cft（连续时间傅里叶变换）、dtft（离散时间傅里叶变换）、dfs（离散傅里叶级数）、dft（离散傅里叶变换）。通过对连续非周期信号xc（t）在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。
1、cfs（连续时间傅里叶级数）
在数学中，周期函数f（x）可展开为
由此类比，已知连续周期信号x（t），周期为t0，则其傅里叶级数为
其中，
为了简写，有
其中，
为了与复数形式联系，先由欧拉公式ejz=cosz+jsinz得
故有
1
令
则
对于dn，有
n≤0时同理。故
cfs图示如下：
2
figure1
理论上，cfs对于周期性信号x（t）在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。在实践中，只要n取值范围足够大，就可以保证在某一点附近对x（t）展开都有很高的精度。
2、cft（连续时间傅里叶变换）
连续非周期信号x（t），可以将其看成一连续周期信号期t0→∞。当然，从时域上将x（t）进行cfs展开，有
的周
也可以反过来看成x（t）的周期延拓。
若令
则
有
3
t0→∞使得Ω0→0，则
由此，定义傅里叶变换与其逆变换如下cft：
cft-1：
x（t）是信号的时域表现形式，x（jΩ）是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。cft即将x（t）分解，并按频率顺序展开，使其成为频率的函数。上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）。
cfs中的dn与cft中的x（jΩ）之间有如下关系
即从频域上分析，dn是对x（jΩ）的采样（可将figure1与figure2进行对比）。
cft图示如下：
4
figure2
3、dtft（离散时间傅里叶变换）
首先，先从连续信号得到离散信号。用冲激信号序列
对连续非周期信号xc（t）进行采样，采样间隔为ts，有
此时的xs（t）还不是真正的离散信号，它只是在满足t=nts的时间点上有值，在其它时间点上值为零。对xs（t）进行进一步处理有
规定
则
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其中，x[n]是最终所得的离散信号。xs（t）自变量为t，其单位为秒s，间隔为ts；x[n]自变量为n，其单位为1，间隔为1。
从频域分析上有
其中
。令
，定义
以上式为dtft定义式。dtft逆变换为
dtft是在时域上对cft的采样（图示可见figure3与figure4），在dtft中，时域信号x[n]为离散的，而对应的频域表示x（ejω）为连续的，且有周期ωs=2π。
x（ejω）与xs（jΩ）之间的关系为
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ω=Ωts
xs（jΩ）中，自变量Ω单位为弧度/秒（rad/s），周期为Ωs=2π/ts；x（ejω）中，自变量ω单位为弧度（rad），周期为ωs=2π。
cft时域采样图示如下：
figure3
dtft图示如下：
figure4
4、dfs（离散时间傅里叶级数）
在离散时间信号x[n]基础上，用冲激序列
对dtft中的x（ejω）进行采样，采样间隔为Δω=2π/n，则有
而s（ω）的逆dtft变换为
7
对xs（ejω）进行逆dtft变换，有
xs[n]相当于对x[n]进行了周期延拓，周期为n=2π/Δω。由上式可得
若延拓周期n大于x[n]的时长，则延拓不会发生混叠，于是
k为任意整数
令周期信号
，k为任意整数，则
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有
取ω=2πk/n，令
则有
是以k为自变量的函数，有以下性质
m为任意整数
即的周期为n。为了避免重复计算，我们只考虑一个周期n内的情况，即
同时，
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为时域表示，
为频域表示。故定义dfs为
其逆变换为
的自变量n单位为1，周期为n；
的自变量k单位为1，周期也为n。dfs应用于离散时间周期性信号中，其相当于在频域中
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对dtft采样，而对应地在时域中相当于对dtft进行周期延拓（图示见figure5与figure6）。dfs与dtft的关系为
dtft频域采样图示如下：
figure5
dfs图示如下：
figure6
5、dft（离散傅里叶变换）
在dfs基础上，取离散时间周期性信号0，1，2，…n-1这一个周期内的n个点，得
其中，rn[n]表示当n=0，1，2，…n-1时函数取值为1，当n取其它值时函数取值为0。定义dft为
的基础上，
其逆变换为
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xd[n]的自变量n单位为1，时长为n；xd[k]的自变量k单位为1，时长也为n。dft相当于对dfs的时域及频域都取0，1，2，…n-1这一个周期内的n个点。
6、傅里叶变换之间的关系
傅里叶变换之间的关系主要有两点，一是采样与周期延拓之间的对应关系，二是对自变量的替换关系。（1）采样与周期延拓之间的对应关系
采样与周期延拓之间是一种对应关系，时域中对信号采样相当于在频域中对信号进行周期延拓，同样地，频域中对信号采样相当于在时域中对信号进行周期延拓，二者间是对应与平行的关系，不存在因果关系。
傅里叶变换中的cfs、cft、dtft、dfs、dft可由连续非周期信号xc（t）进行采样及周期延拓处理得到各种变换，它们之间的关系如图figure7与figure8：
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figure7
figure8
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上两图中，蓝色箭头表示在时域或频域中采取的主动措施，白色箭头表示在频域或时域中产生的相应变换。（2）对自变量的替换关系
在对信号进行采样与周期延拓的同时，对自变量进行某种替换，从而完成傅里叶变换类型的转变。
傅里叶变换中对自变量的替换情况如图figure9所示。cfs适用于连续周期性信号
，其自变量t单位为秒（s），相应的幅频谱|dn|中，自变量n单位为1。而cft适用于连续非周期信号xc（t），其自变量t单位为秒（s），对应的频域信号为xc（jΩ），其自变量Ω单位为弧度/秒（rad/s）。由cfs变成cft相当于连续周期性信号
的周期t0趋于无穷，而在频域中则为自变量的替换，由n变成Ω，替换关系为
dtft适用于离散时间信号x[n]，其自变量n单位为1，对应的频域信号为x（ejω），自变量ω单位为弧度（rad）。由cft变成dtft相当于对连续信号xc（t）采样及离散化，自变量由t替换为n，替换关系为t=nts，而在频域中则为周期延拓及自变量的替换，由Ω替换为ω，替换关系为ω=Ωts。
dfs适用于离散周期性信号频域信号为
，其自变量n单位为1，对应的，自变量k单位为1。由dtft变成dfs相当于在频
域中对x（ejω）进行采样、离散化与自变量替换，由ω替换为k，替换关系为ω=2πk/n。
dft的时域与频域序列长度都为n个点（0，1，2，…n-1），时域自变量n单位为1，频域自变量k单位为1。
由图figure
7、figure8和figure9可以清楚地研究非相邻变换之间的关系。
figure9
二、与相关教材内容的辨析
1、《signalprocessingandlinearsystems》（b.p.lathi，oxforduniversitypress）
书中首先将高等数学中的向量理论扩展到了信号系统中，引出正交信号空间的定义，指出任意信号x（t）可用正交信号空间的线性组合表示，进而引出三角傅里叶级数，将这种表示用三角函数的线性组合表示。cfs的来源介绍比我对cfs的自述更加详细具体，更有逻辑性，体现了高等数学的延伸，cfs定义部分与我的自述大体相同。
书中由cfs引出cft，指出连续非周期信号xc（t）相当于将连续
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周期性信号的周期t0趋于无穷，然后对xc（t）按照cfs方法展开，中间过程中引出了cft。这一部分与我的自述大体相同。只是我在对傅里叶变换的总结中将xc（t）进行无混叠的周期性延拓，反向也得出了。这只是对傅里叶变换的又一种理解，但从本源上考虑，还应该是由连续周期性信号
得出连续非周期信号xc（t）。
书中接下来先介绍的是dfs。书中由cfs类比定义了dfs，定义为
其中，
这种定义与我对dfs的自述略有差别。书中完全按照cfs的定义模式定义的，书上在此之后也按照cfs的模式给出了dr的幅频谱与相频谱。而我的自述则采用类似cft的定义方式，即正变换为从时域变到频域，逆变换为从频域变到时域，其次书中使用的字母表示方式与我的自述略有差异，不过本质上意义是相同的。
紧接着，书中由dfs引出了dft，指出dft的时域及频域都为n点有限序列，此处与我对dft的自述大体相同，但未进行深入说
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明。之后，类似于由cfs引出cft，书中由dfs中的离散时间周期函数引出离散时间非周期函数x[k]（令周期n0→∞），然后对x[k]按照dfs的方法展开，在中间推导过程中引出了dtft。总之，在离散时间信号的傅里叶变换中，书上是类比cfs引出cft的模式，由dfs引出dtft，而dft也由dfs引出，只是未做重点讲解，实质上是从时域角度出发，与连续时间信号进行同等过程的类比。我对离散时间信号傅里叶变换的自述则从频域角度出发，与连续时间信号的时域推导过程进行同等过程的类比。二者分析方向不同，顺序不同，但本质上是相同的。这也从侧面反映出傅里叶变换将单纯的时域分析引向时域与频域的双领域分析，增加了对信号分析与处理的方法与方向，有利于更好地对信号进行理解。
2、《信号与系统》
书中也是首先将高等数学中的向量理论扩展到了信号系统中，引出正交信号空间的定义，指出任意周期为t0的信号x（t）可进行正交分解，而正余弦信号集是比较特殊的正交信号集，并用正余弦信号集表示信号，达到一种分解的目的，从而定义出cfs，并将正余弦信号集进一步扩展为虚指数信号集，从而将指数形式的cfs表示出来。在表示方式上与我的自述基本相同。而书中对三角形式的cfs与指数形式的cfs总结比较清楚，并对各自形式的幅频谱进行了比较，指出指数形式cfs的频谱为双边谱，而三角形式的cfs的频谱为单边谱。而由cfs导出cft的叙述则基本与我的自述相同，即连续非周
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期信号xc（t）相当于将连续周期性信号的周期t0趋于无穷，然后对xc（t）按照cfs方法展开，中间过程中引出了cft。
书中对dfs的描述，类比于对cfs的描述，采用离散形式的虚指数正交信号集对离散时间周期性信号表示，表示方式与上一本书相同。由dfs引出dtft时类比于由cfs引出cft的过程，将离散时间周期性信号周期趋于无穷，得出离散时间非周期性信号，按照dfs的方式对信号进行分解表示，在推导过程中引出dtft的定义，过程与上一本书基本相同。而dtft也可对离散时间周期性信号进行处理。对dft并未做重点描述。
总之，两本书对傅里叶变换的描述都是先对连续时间信号进行讨论，然后离散时间信号中的讨论参考连续时间信号中的讨论，层次清晰，可比性强。我的自述主要侧重于对信号的时域或频域进行各种处理，引出傅里叶变换的各种形式，可加深对傅里叶变换各种形式之间关系的理解。
三、傅里叶变换的应用
1、应用
傅里叶变换主要是为了将一般性的信号用较规则的、性质良好的三角函数进行表示，从而可以从频域的角度进行信号分析与处理，扩充了信号分析与处理的分析领域，简化了分析与处理的过程。从理论上，cfs、cft、dtft、dfs、dft在满足相应的条件下都可以使用。而在实际应用中，计算机只能处理离散的、序列长度有限的信号，故实际应用中，dft具有应用价值，其它形式的傅里叶变换处理的信号
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是连续的或无限长的，计算机无法处理，所以只能在理论上进行数学运算。而dft利用计算机可以快速算出，被称为快速傅立叶变换（fft）。fft可以减少计算dft时乘法的使用次数，简化运算，提高效率。而现代信号分析与处理中必然要对信号进行采样离散化，输入到计算机中进行处理，得到频域形式，所以dft的实际应用是很广泛的。
2、限制条件及潜在问题
cfs只适用于连续周期性信号，cft只适用于连续非周期信号，dtft只适用于离散时间信号，dfs只适用于离散时间周期信号，dft只适用于有限序列的离散时间信号。cfs、cft、dtft、dfs处理的信号具有连续性或无限长特性，适用于在理论上的定性分析，而在实际应用中，我们需要快速高效地处理信号，这必然用到计算机，而计算机只能处理离散的、有限序列长度的信号，故只有dft有实用意义，cfs、cft、dtft、dfs则不行。而dft计算需要大量的加法与乘法，往往实际应用中不能直接应用，所以实际应用中要根据需要进行优化处理，在提高运算速度与精度之间进行权衡，原始的dft只是具有实际应用中的象征意义。
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