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资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。工程数学( 复变函数) 习题课 例1 例3 计算下列各式的值 ( 1) 例4 求满足下列条件的所有复数: ( 1) 是实数, 且; ( 2) 的实部和虚部都是整数, 且实部为奇数。 解: 设, 且不同时为零, 则 由条件( 1) 得: y=0 或: 当, 由, 知这样的x不存在。 当时, 由, 知。 又由( 2) 知为整数, 且为奇数, 即: x=1,3 则当时, ; 当时, 。但因为不是整数, 应除去, 最后满足条件的复数为: , 例6 计算或讨论下列各式的值, 其中为复数。 ( 1) 解 设, 则, 有 显然, m不同, 的值不同, 故极限不存在。 ( 2) 解 由得: 因此: ( 3) 解: 因为 因此: ( 4) 解: 设, 则, 于是 当, 即z沿正实轴0时, f(z)0; 当, 即z沿直线y=x0时, f(z)1; 因此: 不存在。 例9 例10 例11 例20 例23 讨论函数在复平面上何处可导? 何处解析? 解: , 令 则: 由上可知, 在复平面上处处满足C-R条件, 且偏导数连续, 即u, v可微, 因此函数在复平面上处处可导, 处处解析。 例24 讨论函数在复平面上何处可导? 何处解析? 解: , 令 则: 由上可知, 对于, 解析函数的C-R条件处处不满足, 因此函数处处不可导, 处处不解析。 例25 讨论函数在复平面上何处可导? 何处解析? 解: 令, 则: 由上可知, 当y=1/2时才满足C-R条件, 故函数仅在直线y=1/2上可导, 在复平面处处不解析。 例28 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)为解析函数, 试确定l, m和n的值。 解: 因为 由解析函数的C-R条件, , 得: l=n 同例, 由, 得: 3my2+nx2=3x2ly2 最后得: 和 例29 设, 求的值使为调和函数, 并求出解析函数。 解: 因为, 及, 由, 可得: 当时, , 则由, 得: 则 又由, 得: 得: 其中C是一个常数项。 最后得: 同理, 当时, 例33 证明: 和都是调和函数, 但不是解析函数。 例34 例41 计算积分, 为直线段0到。 解: 直线段方程为y=x, 0x1, 因此: 例42 计算积分, C为圆周|z|=1上从1到1的上半圆周。 解: , , , 因此: 例44、 例45 计算或讨论下列各式的值, 其中为复数。( 每小题5分, 共25分) ( 1) 解 在|z|=3内有奇点z=0,1,1, 分解被积函数为部分分式, 再应用柯西积分公式 ( 2) 解: 因为 因此: 例61 讨论级数的敛散性。 解: 因为级数的部分和 当|z|1时, , 故级数收敛于1; 当时, , 故级数收敛于0; 当时, 不唯一, 故级数发散; 当, 而时, zn=cosn+isinn, 因为cosn和sinn的极限都不存在, 因此不存在, 级数发散。 例62 求下列级数的收敛半径。( 每小题3分, 共6分) ( 1) 解: 因为, 而, 因此的收敛半径为。 ( 2) 解: 用根值法 因为, 因此 则, 级数的收敛半径为maxa,b。 ( 3) 解: 用根值法: 则, 级数的收敛半径为 ( 4) 解: 因为, 因此的收敛半径为。 例63 例65 计算或讨论下列各式的值, 其中z为复数。 ( 1) 解: 由 得: ( 2) 解: 由, 两边求导得: 两边再对z求导得: 两边同乘以z2得: 令, 代入上式得: ( 3) 解: 当|z|=1, 及z1时, 不存在, 因此有 例70 例81 判定的孤立奇点的类型, 并求其留数。 解: 由可知是其本性奇点。 又因为次项为, 即 例83 判定的奇点类型, 并求孤立奇点处的留数。 解: ( 1) z=0是一孤立奇点, 而, 因此z=0是其可去奇点, 留数为0。 ( 2) z=1是本性奇点, 其中在z=1解析; 而, 在z=1的罗伦级数含的无限项, 但无m为奇数的项, 故