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圆锥曲线中有关范围的求解策略
湖北省南漳县高级中学 邮编441500 孙 波 电话[phone]
解析几何参数取值范围，有关最值问题，一直是高中数学教学中的重点与难点，也是高考的重要考查点，同时还是学生学习、考试的易错点，它涉及的内容既丰富又综合性强，本文就圆锥曲线如何确定参数取值范围，综合以下几种解答策略，供参考。
一、利用圆锥曲线的几何性质，求参数范围： (a＞b＞0)
中有 ；双曲线 （a＞o,b＞o）中有
例1.已知点p到双曲线 的两焦点后的距离之和为定值，且cos＜F1pF2的最小值为－ .
（1）求点p的轨迹方程式C.
（2）点D（0，3），M.、N是曲线C上两点，且 ＝λ，求λ的取值范围.
解（1）：由余弦定理，重要不等式，椭圆的定义易得：
曲线c的方程为：
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则
＝（x1,y1－3），＝（x2,y2－3）
∵＝λ
①
∴ x1＝λx2 y1－3＝λ（y2－3）
②
∵

①-②×λ2得
y2= ,或λ＝1
∵│y2│≤2
∴│ │≤2
∴ ≤λ≤5
评注：本题利用椭圆　　　　的几何性质：点（x，y）在椭圆上，则有│y│≤b，得到参数λ的不等式，解出参数的取值范围．避免设直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理进行复杂的计算．同时也不需讨论直线斜率是否存在．
练习一：1.已知椭圆M：　　　（a＞b＞0）的离心率e＝ ，过点A（0,－b）和B（a,0）的直线与原点的距离为　 ．
（1）求椭圆M的方程
（2）若P、Q为椭圆M上的两点，线段PQ的垂直平分线与X轴交于点（x0，0）,求x0的取值范围．
2.[10年高考浙江卷]已知m＞1,直线l：x-my- =0，椭圆C: +y2=1,F1、F2分别是椭圆的左右焦点。
（1）.当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程.
（2）.设直线与椭圆交于A、B两点，ΔAF1F2，ΔBF1F2的重心分别为G、H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
二、利用根的别式构造不等式求参数范围．
例2.　0为坐标原点，A（xA，yA），B（xB，yB）两点分别在射线 ：x+y＝0（x≤0），x－y＝0（x≥0）上移动，且，动点p满足 ,记点p的轨迹为C．
（1）求yA 、yB的值
（2）求p点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）设点G（－1,0），若直线y＝kx+m(m≠0)与曲线C交于M、N两点都在以G为圆心的圆上，求k的取值范围.
解：（1）yA .yB＝1
（2）由（1）知：轨迹C的方程为y2－　＝1（y＞0），它表示焦点在y轴的双曲线上支.
（3）由 y2－　＝1 得（3k2-1）+2my-m2-3k2=0，
　　　　　　　y＝kx+m
设M（x1,y1），N（x2,y2），则
Δ＝(2m)2-4(3k2-1)（-m2-3k2）＞0　　　①
　y1+y2=－　　　　　　　　 　 ②
y1·y2=　　　　　　　　　　 　③
由①得，m2+3k2－1＞0,　　　　　 ④
由③得，3k2－1＜0 ⑤
∴由②得 m＞0
∵M、N在以点G为圆心的圆上，
设N的中点为H，则GH⊥MN.
∴KGH·k＝－1
∵
∴

∴ ·k=－1
即4mk=3k2－1
∴m= ⑥
把⑥代入④得
（ ）+3k2－1＞0
∵3k2－1＜0
∴ ＜0
∴19k2－1＜0
又∵m= ＞0, ∴k＜0
∴－ ＜1＜0
评注：本例题通过不等式Δ＞0与等式4mk=3k2-1建立关于参数k的不等式，解不等式得到参数的取值范围。象这样通过不等式Δ＞0以及等式（有关参数的等量关系）建立参数的不等式，解不等式得出参数的取值范围的方法是解圆锥曲线参数范围的常规方法之一，其关键是找出有关参数的相等量关系和不等关系.
练习二 [08年高考 天津卷]
1.已知中心在原点的双曲线c的一个焦点日F（－3，0）,一条渐近线的方程是x-2y=0.
（1）求双曲线C的方程.
（2）若以k(k≠0)的斜率的直线e与双曲线C相交于两个不同的点M、N，且线段MＮ的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求k的取值范围.
2.[10年高考湖北卷]已知一条曲线C在y轴上右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.
（1）求曲线C的方程.
（2）是否存在正数m，对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A、B的任一直线都有＜0？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
三、建立目标函数，利用重要不等式，函数单调性或导数求函数值域.
例3. [08年高考全国Ⅱ]
设椭圆中心在坐标原点，A（2,0）,B（0,1）是它的两个顶点，直线y=kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点. 求四边形AEBF面积的最大值.
解法一：依题意得椭圆的方程为 ，AB的方程为X+2y=2，
设E（x1,y1）,F(x2,y2)，，x1＜x2.
则由
y=kx 得：　(1+4K2)x2=4
∴x2=x1=
∴点Ｅ、Ｆ到ＡＢ的距离分别为
d1= =

d2= =
又∵
∴Ｓ四边形ＡＥＢＦ＝　　　　　　　　　　　　　　　　　
＝　　　　　≤　　　　　　　　（当且仅当k= 时，等号成立）
∴Ｓ的最大值为

　 解法二：由题意知：│OB│=1, │OA│=2.
∴S四边形AEBF＝SΔBEF+SΔAEF
　　　　＝
＝x2+2y2=＝
≤ [ ]
当且仅x2=2y2时，等号成立
∴Ｓ的最大值为
评注：有关求弦长、距离、图形面积的范围时，首先应建立有关参数的目标函数，然后利用重要不等式，函数的单调性或导数，求目标函数的值域来解决相关问题.
练习三 1. 已知双曲线 　　　　（a＞0,b＞0）顶点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点， 又＝2，过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点.
（1）求双曲线的方程.
（2）证明：B、P、N三点共线.
（3）求ΔBMN面积的最小值.
2.已知F1 ,F2分别是椭圆　　　　 的左、右焦点，曲线C日以坐标原点为顶点，以后为焦点的抛轴线，自点F1引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点为M.设　.
（1）求曲线C的方程.
（2）证明：
（3）若λ∈[2,3],求│PQ│的取值范围.
3.设椭圆T： （a＞b＞0），直线L过椭圆左焦点F1且不与X轴重合，L与椭圆交于P、Q两点，左准线与x轴交于点k ,│kF1│=2，当直线L与x轴垂直时，│PQ│= 。 (1)求椭圆T的方程.
（2）直线L的绕着F1旋转，与圆O：x2+y2=5交于A、B两点，若│AB│∈[4,]，求ΔF2PQ的面积S的取值范围（F2为椭圆右焦点）
4.椭圆 　＝1和圆x2+(y- )2=1，点P、Q分别椭圆和圆上的动点，求│PQ│的最大值.
通过以上例题学习和练习题的训练，能基本获得求圆锥曲线有关范围的方法，要根据具体题目具体分析，采用相应的方法来解.
答案：练习一：1.　 ＜x＜ 2.,1＜m＜2
练习二：1. － ＝1；
K∈（－∞，－ ）∪（－ ，0）∪（0, － ）∪（ ，+∞）
2.y2=4x,m∈（）
练习三：1. ，略，s的最小值为18.
2.y2=4x , 略 │PQ│∈[ ， ]
3. ，
4. │PQ│max＝