高一数学——正弦定理、余弦定理的应用（第二课时）.doc

高一数学——正、余弦定理的应用（第二课时）
一、教学目标：
利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题．
二、重点难点：解决一些简单的三角形度量问题．
三、教学过程：
前提测评：
1. 在△ABC中，∠A=，b=1，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的直径为____________
2. 设A是△ABC的最小内角，那么函数的值域是____________
3. 在△ABC中，，则的最大值是________
4. 在△ABC中，若则B的取值范围是_______________。

5. △ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小是____________
6. 2010年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式．如图，在坡度15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 m，则旗杆的高度为________m.

7. 如图，有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为30°(如图)，则坡底应延长________m.

8. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，在A处测得水深AD＝80 m，在B处测得水深BE＝200 m，在C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值为________．
典题互动：
例1．已知向量m=（sinB，1-cosB），且与向量n=（2，0）所成角为,其中A、B、C是△ABC的内角.
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围.

例2.如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为
15°，向山顶前进了100米后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m，求此山对于地平面的斜度的倾斜角的余弦值．

例3．如图，已知的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是上半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D
与圆心分别在PC两侧.
（1）若，试将四边形OPDC的面积
y表示成的函数；
（2）求四边形OPDC面积的最大值.

例4.在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为
30°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？

例5．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．（提示：2种求法，如图）

A
O
D
B
C
H
A
O
D
B
C

例6：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台
风中心位于城市O(如图)的东偏南方向
300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的
方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，
并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到
台风的侵袭。

课后作业：
1．给出四个命题：(1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC为正三角形.以上正确命题的个数是

2. 在△ABC中，，如果不等式恒成立，则实数t的取值范围是
3．货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向为方位角，A处有灯塔，其方位角，在C处观测灯塔A的方位角，由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是
4．△ABC中，已知BC=3，AB=10，AB边上的中线为7，则△ABC的面积等于___________.
5．在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，则cos2(B+C)=__________.
6．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

7.如图，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往处救援，求的值．

8.在锐角△ABC中，求证：

9.设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（1）求的大小；（2）求的取值范围．

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