一道高考模拟题的错解、别解、背景与溯源.doc

一道高考模拟题的错解、别解、背景、溯源

瞿春波（江苏省西亭高级中学　　226301）

2

近几年高考（或模拟）试题中，为了渗透新课程理念，命题者往往受到自身学术和研究领域影响，经常考查一些以高等数学为背景的问题．此类试题设计来源于高等数学，但是解决的方法却用高中数学所学的初等数学知识，对学生思维的逻辑性、抽象性和学生的理解能力、自学能力都提出了很高要求,同时也为学生进入高校继续学习做好准备．另外，少数命题者对以前高考题中的经典问题情有独钟，或许会包装、变化后以新面目再次在高考（或模拟）考试中出现．本文以2012江苏南通高三一调第12题（以下简称南通题）为例，试图从解法探究、背景探析、命题溯源、教学启示等几个方面进行探究．
一　考题再现
南通题：若对任意的都成立，则的最小值是 　　　
二 解法探究
为了分析本题，考后笔者调查了很多考生的解法．其中典型错解如下：
错误解法
当时，符合题意．当时，
,所以，故．而，所以，故．综上所述，的最小值是．
点评　很多学生，看到题中“任意的”、 “都成立”，第一反应就是恒成立问题．事实上，上面解答过程中有两处明显错误．其一，，此时取不到最小值．其二，，即，此时无最小值．
笔者经对本题深入研究以后，发现不仅可以运用图像解答，而且可以用的性质解决，在此给出本题的初数解法和高数解法．
初数解法　
设，．对和的图像（省略）位置关系进行分析， 可知图像总在图像上方（或重合）．因此，当图像过点（或图像总在下方）时，满足题意．所以．故．
设．对和的图像（省略）位置关系进行分析， 可知图像总在图像上方（或重合）．因此，当图像（直线）是在点处的切线（或此切线总在上方）时，满足题意．又，所以，故．综上所述，的最小值是．

高数解法
当时，符合题意．当时，分离参数，得，设．利用性质，可知在区间上单调递减，． 故，即；
，即．综上所述，的最小值是．
点评 两种解法比较以后，不难发现，高数解法简洁明了，只需利用高等数学中重要函数性质，可以迅速求出的最大值和最小值，为考试赢得宝贵时间；而初数解法则需要对两个函数的图像位置关系进行细致分析，有效考查了数形结合、转化与化归、割线逼近切线等数学思想．可见，命题意图是考查学生利用高中数学所学的三角函数、导数、函数图像等有关知识解决性质，要求学生具备高层次的逻辑思维能力和理性思维能力．
三 背景探析
本题的背景知识是函数性质，这里给出它的两条重要性质并用初等数学知识给予证明．
性质1 设函数（1）在区间上单调递减；（2）在区间上单调递增．
证明　（1）由已知，．令
，，由，得，于是在区间上单调递减．所以，所以，所以在区间上单调递减．
（2）由已知，．令 ，，由，得，于是在区间上单调递增．所以，所以，所以在区间上单调递增．
性质2
证明 建立单位圆，当的终边在第一象限时，作出正弦线和正切线，连接．
，, ．当时，，
，利用夹逼准则，， ．故．

四 命题溯源
2009上海卷（理科）第11题：当时，不等式成立，则实数的取值范围是 　　　　
解法一 初数解法．与南通题的初数解法相同，过程略．
解法二 高数解法．原不等式化为，设，则不等式又化为．当时，符合题意．当时，，设，则在上递减，所以，故．

点评　本题给出两种解法，解法一是运用图像，解法二是运用性质．事实上，此题和南通题简直是如出一辙，只是为避熟题所讳，故把此题条件中一个不等关系改为南通题条件中两个不等关系．笔者认为此题就是南通题的源，而南通题是此题的流．可见命题者用心良苦，但也难掩推陈出新之意．因此，从小处讲，推陈出新是高考（或模拟）题命题之法宝；从大处说，培养当代社会所需人才还得继承和创新．
五 教学启示
针对高考（或模拟）试题中出现以高等数学为背景的问题，笔者认为有两点启示，首先要提高教师自身的业务水平和解题能力，掌握初等数学和高等数学知识衔接之处，了解试题的背景和来源，能够用高等数学知识分析和解决初等数学中复杂问题．其次指导好学生沉着应对陌生试题，冷静思考，认真阅读题目所传递的信息，仔细分析，捕捉解题灵感，从而解决问题．另外，对于高考（或模拟）试题中出现似曾相识的问题，笔者认为平时教学中，教师需要把以往高考（或模拟）试题中一些经典问题加以变式后，选择恰当的时机多次呈现给学生．

参考文献
[1]刘玉琏、傅沛仁．数学分析讲义（上册）第三版．北京：高等教育出版社，1996
[2]罗桂芳．浅析高考题中的高等数学背景．福建中学数学，2010（8），37-39