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(完整)《实变函数》试卷三与参考答案
考生答题不得超此线
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学院第 学年度第 学期
《实变函数》试卷三
题号
一
二
三
四
五
总分
得分

专业_________班级________ 姓名 学号

注 意 事 项
1、本试卷共6页。
2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。
得 分

一、单项选择题（3分×5=15分）
1、设,则（ )
(A) （B）
(C） （D)
2、设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（ ）
(A） (B) (C) =［0，1］ (D)
3、下列说法不正确的是( ）
(A） 若，则 (B） 有限个或可数个零测度集之和集仍
为零测度集 （C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测
4、设是一列可测集，，且,则有（ ）
（A) （B)
（C）；（D)以上都不对
5、设f（x)是上绝对连续函数，则下面不成立的是( ）
(A) 在上的一致连续函数 (B) 在上处处可导
（C）在上L可积 (D） 是有界变差函数
得 分

二。 填空题(3分×5=15分）
1、设集合，则_________
2、设为Cantor集，则 ，_____，=________。
3、设是中点集,如果对任一点集都有_________________________________，则称是可测的
4、叶果洛夫定理：
_________________________________________________________
5、设在上可测，则在上可积的 条件是｜|在上可积.（填“充分”,“必要”，“充要”）

得 分

三、下列命题是否成立?若成立，则证明之；若不成立,则举反例说明.（5分×4=20分)
1、任意多个开集之交集仍为开集。

2、若，则一定是可数集。

3、收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

得 分

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设 ，则在上是否可积,是否可积，若可积，求出积分值。

2、求极限

得 分

五、证明题（6分×4+10=34分)。

1、（6分）试证

2、(6分）设是上的实值连续函数，则对任意常数 c, 是一开集.

考 生 答 题 不 得 超 过 此 线
3、(6分）设是可测集的非负可积函数,是的可测函数，且，则也是上的可积函数。

4、（6分）设在上积分确定，且于,则在上
也积分确定,且

得 分

阅卷人

复查人

5、（10分）设在上，而成立,,则有

考生答题不得超此线

试卷三（参考答案及评分标准）

一、一 单项选择题（3分×5=15分）
1、设,则（ B ）
(A) （B）
(C) （D）
2、设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ）
(A） (B） （C) =[0，1] (D)
3、下列说法不正确的是（ C ）
（A) 若，则 （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍
为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D)凡开集、闭集皆可测
4、设是一列可测集,,且，则有（ A ）
（A) (B）
（C)；（D）以上都不对
5、设f(x）是上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B )
（A) 在上的一致连续函数 (B) 在上处处可导
(C)在上L可积 (D） 是有界变差函数

二。 二 填空题(3分×5=15分)
1、设集合，则__________
2、设为Cantor集，则 ，_0____，=________。
3、设是中点集，如果对任一点集都有__________，则称是可测的
4、叶果洛夫定理：设是上一列收敛于一个有限的函数 的可测函数,则对任意存在子集,使在上一致收敛且。
5、设在上可测，则在上可积的 充要 条件是|｜在上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）

三、下列命题是否成立？若成立，则证明之;若不成立，则举反例说明.（5分×4=20分）
1、任意多个开集之交集仍为开集.
解:不成立 …………2分
反例：设Gn=（ ），n=1，2,L， 每个Gn为开集
但 不是开集. …………5分

2、若，则一定是可数集。
解:不成立 ………………2分

反例:设是集,则， 但c ， 故其为不可数
集 …………….5分

3、收敛的函数列必依测度收敛。

解：不成立 ………………………2分
例如:取作函数列：
显然当.但当时，
且这说明不测度收敛到1 …………5分

4、连续函数一定是有界变差函数。

解:不成立 ……………… 2分
例如：显然是的连续函数.
如果对取分划,则容易证明
,从而得到 …………………5分
四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积,若可积,求出积分值。
解：在上不是可积的,因为仅在处连续，即不连续点为正测度集 ……………………………………。。3分
因为是有界可测函数,在上是可积的 …6分
因为与相等,进一步， …8分

2、求极限
解：记
则在[0，1]上连续，因而在[0,1]上(R）可积和（L）可积. …………….。2分
又 ………………4分
……….6分

且在上非负可积，故由Lebesgue控制收敛定理得
……………、….8分

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分)试证
证明：记中有理数全体,令

显然 ……………………………5分
所以 …………………………………6分

2、（6分）设f（x)是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集。
证明： ……………。1分
因f（x)连续，故。 …………。4分
即。所以是E的内点.
由的任意性，E的每一个点都是内点，从而E为开集. ……………6分

考 生 答 题 不 得 超 过 此 线
3、（6分）设是可测集的非负可积函数，是的可测函数,且，则也是上的可积函数。
证明：， …………………1分

是可测集的非负可积函数

是上的可积函数。 …………………。。 4分
同理，也是上的可积函数.
是上的可积函数。 ……………… 6分

4、(6分）设在上积分确定，且于，则在上
也积分确定，且
证明：于

在上积分确定，在上也积分确定，且

5、（10分）设在上,而成立，，则有
证明:记，由题意知
由知 …………2分
对任意,由于
从而有:
…………6分
又因为在上,故 …………8分
所以
于是：
故在上有 …………10分

（第11页，共11页）