函数模型与应用12.doc

函数模型及其应用
教学目标：
1、 能根据实际问题的情境建立函数模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答。
2、 理解数据拟合是对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助现代计算工具解决一些简单的实际问题。
3、 能利用所学的数学知识分析、探索、研究、解决身边的问题，学会数学地观察世界、感受世界，学会合作交流。
要点导读：
1、 常见的函数模型有：一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等。
2、 解答函数应用性问题的四个步骤（过四关）：
第一步：审模关。逐字逐句，仔细读题，突出字眼，准确理解，领悟问题背景，把握数学实质，搜索数据信息，搞清数量关系。
第二步：建模关。根据题意，合理、恰当地设出变量，运用数量关系，建立函数模型。
第三步：解模关。运用相应的函数知识，解答出所建模型。
第四步：答模关。将数学问题的解还原到生活实际问题，给出最终的答案。
教学过程：
活动1：利用已知函数模型解决问题。
例1、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元。分别写出总成本C（万元）、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总产量x（台）的函数关系式。

例2、在经济学中，函数的边际函数定义为。某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差。
⑴ 求利润函数及边际利润函数；
⑵利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？

活动2：拟合函数模型
例3、（2007年 潮州模拟）可口可乐公司对全世界所有人GDP（即：年人均纯收入）在0.5～8千美元的地区的销售情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对可口可乐的销量最多，然后向两边递减。
⑴ 下列几个模型函数中（x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均可口可乐的销量，单位：升），用哪个描述年人均可口可乐销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由。
① ② ③ ④
⑵ 若人均GDP为1千美元时，年人均可口可乐的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均可口可乐的销量为5升，把⑴中你所选的模拟函数求出来，并求在各个地区中，年人均可口可乐的销量最多为多少？

活动3：分段函数模型
例4、通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生兴趣的激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念能力，（值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），二者之间有以下关系：

=

（1） 开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2） 开讲后5min与开讲后20min比较，学生的接受能力何时强一些？
（3） 一道数学难题，需要55的接受能力以及13min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？

课堂小结：

活动3：反馈检测
1、 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期。
现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要min，那么降温到时，需要多长时间（结果精确到0.1）?

2、某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km ,慢车到终点站需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min后到达终点站。试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式。两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？

3、经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间的函数，且销售量近似地满足。前40天价格为
，后60天价格为。试写出该种商品的日销售额S与时间的函数关系。