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不等式的恒成立问题
枣阳二中 侯丽
在高中阶段，不等式的恒成立问题是考题中常见的重要题型，但学生尽管训练了一遍又一遍，一到考试又会遇到这样那样的问题。现对这个问题，由例析浅谈一下自己的观点。
例1.已知函数的定义域R，求实数a的取值范围。
解：要使函数有意义，则
①
∵定义域为R
∴①恒成立。
. 当即
时 不满足题意
时 恒成立
.
或
.当时，二次函数不可能恒大于0
由可知：或
结论：Ⅰ.形如①对任意恒成立可讨论两种情况：

Ⅱ.形如②对任意恒成立可讨论两种情况：

只要是形如二次函数的不等式在R上的恒成立问题，都可引用此种方法（判别式法）。
例2.已知函数对任意，恒成立，求实数a的取值范围。
解：

法一：分离变量法
要使恒成立
只需 恒成立

即
法二：应用函数法
令
要使恒成立
只需在的最小值大于或等于0。

结论：只要是不等式在变量的某一区间内（除R上）的恒成立问题，均可用分离变 量法或应用函数法。
分离变量法：把两变量分离到不等式的两边，且把未知范围的变量写到不等式的左边，转变为形如：或。
应用函数法：把不等式看成已知范围的变量的函数，另一变量暂看作已知数，转变为或恒成立，仅需或，转化成求出的最值问题。
例3.已知不等式
（1） 若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围。
（2） 若对于不等式恒成立，求实数x的取值范围。
解 （1）此题是形如二次函数的的不等式且对都成立，所以采用判别式法。
原不等式可化简为
.当时, 不对任意实数成立.
.当时, 无解
由得：m无解
（3） 变量，则可用分离变量法或应用函数法。
法一：分离变量法：
当即或时
恒成立
又
即
又或

当即或
（Ⅰ）当时 恒成立
（Ⅱ）当时 不成立
当 即时
恒成立
又

即或
又

由知：
法二：应用函数法
令
仅需
得：
若同学们对这类题的特征及作法熟练掌握住,无论它形式上怎么变,我们都能应对自如.
练习:
① 若对于任意的实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.
提示:方法一：ⅰ.当时,显然成立.
ⅱ.当＞0时,k≤恒成立k≤1
ⅲ.当＜0时,k≥k≥0.
由ⅰ. ⅱ. ⅲ. 0≤k≤1
方法二:令函数,仅需前个函数图像永在后个函数图像
的上方.解得0≤k≤1
② 若不等式,对任意恒成立,求实数的取值范围.
提示:令,原不等式转化为函数在恒成立 的问题.解得.
③ 当n>1且时,求证恒成立.
提示:令函数,求其最小值.