复杂源于简单.doc

复杂，源于简单
若，则（*）（当且仅当x＝y时，取“＝”号）
此题看似简单，常常被同学们所忽视，但它的条件和结论特征却非常明显，由此联想到带有条件“”的最值和不等式问题，用（*）作“桥”求解，结果十分凑效，充分显示出课本习题（*）的应用价值。下面略举数例予以说明。
例1. 已知，求的最小值。
解：由（*）得

等号当且仅当，即时等号成立。
故

例2. 已知，且，求的最小值。
直接用（*），难解此题，可将（*）推广为：若，且，则。（**）
（当且仅当时，取“＝”号）
解：由（**）得

等号当且仅当，即，时等号成立。
故

例3. 已知，且，求的最小值。
解：由（*）得

由例1知
所以
等号当且仅当时等号成立
故

例4. 设a，b，x，y皆为正实数，且，求证
初看此题，似乎难以入手，但用（*）思考，即可从根号下部分打开突破口。
证明：由（*）得

即
同理可得
两式相加，得

例5. 已知，且，求证
此题与例4不同，条件等式和特征不等式左边根号下部分关系不明显，似乎不能用（*）解答，但考虑到不等式右边根号下部分和等号成立的条件，可对左边根号下部分适当变形。
证明：由（*）得

所以
同理可得
两式相加，得

例6. 设p>0，q>0，且。求证：
此题证法较多，这里用（*）再给出一种独特的证法。
证明：由已知得
由（*）可得

。（利用）
所以
即