2013届北京市门头沟区高三3月抽样测试理科数学试题及答案.doc

北京市门头沟区2013届高三3月抽样测试
2013.3
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．
第Ⅰ卷 (选择题 40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知全集U R，集合A，B，则集合A B等于
(A)
(B)
(C)
(D) R
2. “”是“函数在区间上存在零点”的
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
3．下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是
(A)
(B)
(C)
(D)
4．有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有
(A) 24种
(B) 30种
(C) 36种
(D) 48种

5．如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PA＝AC＝AB，则以下结论不正确的是
(A) CB＝CP
(B) PCAC＝PABC

(C)PC是圆O的切线
(D) BC＝BABP

6．已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是
(A)
(B)
(C)
(D)
主视图
1
左视图
1
俯视图
1
7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是
(A)
(B)
(C)
(D)

8．定义在 R上的函数是减函数，且函数的图象关于点成中心对称，若满足不等式组，则当时，的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷 (非选择题110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．复数，则 ．
10．在等差数列中，，，则等于 ．
11．在ABC中，若，，，则 ．
开始
，

输出S
结束
是
否
12．执行如右图所示的程序框图，输出
的S值为 ．

13．在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则向量 ．
14．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数”。现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则其中是“等比函数”的的序号为 　 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知：函数．
（Ⅰ）求函数的对称轴方程；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．

16．（本小题满分14分）
A
C
D
B
N

在等腰梯形ABCD中，，，，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

17．（本小题满分13分）
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．
早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．
3
4
5
6
7
8
9
交通指数
频率
0.24
0.2
0.16
0.1
组距
（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
18．(本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）函数在点处的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．

2,4,6
19．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中， 动点到直线的距离是到点的距离的倍．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）
对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合．已知，．
（Ⅰ）写出与的值，并用列举法写出集合；
（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；
（III）有多少个集合对，满足，且．

门头沟区2013年高三年级抽样测试数学试卷（理工类）
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
B
A
D
C
C
D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9
10
11
12
13
14

③④
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
15．（本小题满分13分）
已知：函数．
（Ⅰ）求函数的对称轴方程；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）
…………………………… 5分

…………………………… 7分
函数关于直线 对称
所以 对称轴方程为 …………………………… 9分
（Ⅱ）当时，
由函数图象可知，的最大值为1，最小值为……………………………12分
所以函数的最大值为，最小值为 ……………………………13分
16．（本小题满分14分）
A
C
D
B
N

在等腰梯形ABCD中，，，，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：因为，N是BC的中点
所以，又
所以四边形是平行四边形，所以
又因为等腰梯形，，
x
z
y
A
C
D
B
N

所以 ，所以四边形是菱形，所以
所以，即
由已知可知 平面平面，
因为 平面平面
所以平面 ……………………………4分
（Ⅱ）证明：因为，，

所以平面平面
又因为平面，
所以 平面 …………………………8分
（Ⅲ）因为平面
同理平面，建立如图如示坐标系
设，
则,, ，， ……………………………9分
则，
设平面的法向量为，有 ，，
得 ……………………………11分
因为平面，所以平面平面
又，平面平面
所以平面
与交于点O，O则为AN的中点，O
所以平面的法向量 ……………………………12分
所以 ……………………………13分
由图形可知二面角为钝角
所以二面角的余弦值为． ……………………………14分
17．（本小题满分13分）
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．
3
4
5
6
7
8
9
交通指数
频率
0.24
0.2
0.16
0.1
组距
早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．
（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
解：（Ⅰ）
这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………………3分
（Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则
事件B “至少一个路段严重拥堵”，则

所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是……………………………8分
（III）分布列如下表：

30
36
42
60

0.1
0.44
0.36
0.1

此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟．……………………………13分
18．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）函数在点的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围
解： （Ⅰ） ……………………………2分
， ……………………………3分
因为函数在点的切线与直线平行
所以， ……………………………5分
（Ⅱ）
令
当时，，在上，有，函数增；在上，有，函数减， 函数的最小值为0，结论不成立．………………………6分
当时， ……………………………7分
若，，结论不成立 ……………………………9分
若，则，在上，有，函数增；
在上，有，函数减，
只需 ，得到，
所以 ……………………………11分
若，，函数在有极小值，只需
得到，因为，所以 ………………………13分
综上所述， ……………………………14分
19．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中， 动点到直线的距离是到点的距离的倍．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（Ⅰ）解：设点的坐标为．
由题意知 ……………………………3分
化简得
所以动点的轨迹方程为 ……………………………5分
（Ⅱ）设直线的方程为，点
因为∽，所以有，由已知得，
所以有（1） ……………………………7分
由，得，
（2），（3） ……………………………10分
由（1）（2）（3）得或
所以 存在点为 ……………………………13分
20．（本小题满分13分）
对于集合，定义函数对于两个集合，定义集合．已知，．
（Ⅰ）写出与的值，并用列举法写出集合
（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；
（III）有多少个集合对满足，且．
（Ⅰ）解：， 　　　　 …………………………1分
…………………………2分
（Ⅱ），
要使的值最小，一定属于集合，不能含有以外的元素，所以当集合为的子集与集合的并集时，的值最小，最小值是 ……………………………8分
（Ⅲ）因为

所以运算具有交换律和结合律
所以
而
所以，所以，而
所以满足条件的集合对有个 …………………13分
注：不同解法请教师参照评标酌情给分．
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